Zahlentheorie: Mathematiker will Primzahlrätsel geknackt haben

Von Holger Dambeck

Jede ungerade Zahl ab fünf lässt sich als Summe dreier Primzahlen schreiben. Was der Mathematiker Christian Goldbach einst als Vermutung formulierte, ist bis heute unbewiesen. Offenbar klappt die Zerlegung aber mit fünf Primzahlen - ein erster Schritt zum Beweis der Goldbachschen Vermutung?

Primzahl-Zerlegung: 10 = 5 + 3 + 2 Fotos
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Primzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Sie sind nur durch eins und sich selbst teilbar. Vor allem größeren Zahlen sieht man auf den ersten Blick nicht an, ob sie eine Primzahl sind oder nicht. Lange galt ihre Erforschung als rein akademische Aufgabe. Doch seit immer mehr Informationen verschlüsselt werden, zum Beispiel Passwörter im Internet, sind Primzahlen auch von großer praktischer Bedeutung (siehe Kasten links).

Mathematikern bereiten die Zahlensonderlinge jedoch bis heute Kopfzerbrechen. Zum Beispiel weiß niemand, wie viele Primzahlen sich in einem beliebigen Intervall befinden, etwa zwischen 1020 und 1020 + 10.000. Die sogenannte Riemannsche Vermutung, die sich genau damit beschäftigt, gehört zu den großen ungelösten Problemen der modernen Mathematik.

Auch die berühmte Vermutung des Mathematikers Christian Goldbach harrt noch eines Beweises - und zwar schon seit 270 Jahren! 1742 hatte er in einem Brief an Leonard Euler die Behauptung aufgestellt, jede ungerade natürliche Zahl größer als 5 sei als Summe dreier Primzahlen darstellbar. Beispiele dafür sind:

7 = 2 + 2 + 3
35 = 19 + 13 + 3

Doch es gibt Hoffnung, dass zumindest die Vermutung Goldbachs schon bald bewiesen werden kann. Terence Tao von der University of California in Los Angeles hat eine wichtige Vorarbeit dafür geleistet. Er will bewiesen haben, dass sich jede ungerade natürliche Zahl größer als 1 als Summe von höchstens fünf Primzahlen darstellen lässt. Seine Arbeit ist auf arxiv.org veröffentlicht, die Prüfung durch Kollegen (peer review) steht noch aus.

Eulers starke Vermutung

Die Primzahlhypothese Goldbachs, auch bezeichnet als Schwache Goldbachsche Vermutung, hat noch einen großen Bruder, die sogenannte Starke Goldbachsche Vermutung. Sie stammt von Euler und besagt, dass jede gerade natürliche Zahl größer als 2 sich als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Zwei Beispiele dafür sind:

8 = 5 + 3
36 = 31 + 5

Mit Computern haben Mathematiker bereits die Gültigkeit der beiden Goldbachschen Vermutungen für sämtliche natürlichen Zahlen bis zu 18, 19 Stellen gezeigt. Ein allgemeiner Beweis fehlt.

Die beiden Primzahlhypothesen und das nun von Tao bewiesene Theorem hängen übrigens eng miteinander zusammen: Wenn die Starke Goldbachsche Vermutung gilt, dann trifft automatisch auch die Schwache zu. Der Beweis dafür ist einfach: Wenn sich eine gerade Zahl a in zwei Primzahlen p1 und p2 zerlegen lässt, gilt:

a = p1 + p2

Wir ziehen von beiden Seiten der Gleichung nun 1 ab und erhalten:

a - 1 = p1 + p2 - 1

Weil a gerade ist, muss a - 1 eine ungerade Zahl sein. Zugleich ist p2 - 1 eine gerade Zahl, denn alle Primzahlen außer 2 sind ungerade. Jede gerade Zahl, also auch p2 - 1, lässt sich aber als Summe zweier Primzahlen darstellen, wenn die Starke Goldbachsche Vermutung gilt. Wir nennen diese beiden Primzahlen p3 und p4. Also können wir schreiben:

p2 - 1 = p3 + p4

Und wiederum:

a - 1 = p1 + p3 + p4

Damit ist die Schwache aus der Starken Goldbachschen Vermutung abgeleitet. Ganz ähnlich kann man zeigen, dass aus der Schwachen Goldbachschen Vermutung (jede ungerade Zahl ist als Summe von drei Primzahlen darstellbar) folgt, was der Mathematiker Tao nun gezeigt hat: Jede ungerade Zahl lässt sich als Summe von fünf Primzahlen aufschreiben.

"Viele kleine Kniffe"

Taos Beweis ist natürlich nicht so leicht wie diese Ableitungen, nur versierte Zahlentheoretiker können ihn nachvollziehen - siehe Fotostrecke. Tao nutzt dabei unter anderem den Satz von Winogradow, der besagt, dass die Schwache Goldbachsche Vermutung für "genügend große Zahlen" gilt. Diesen Satz kombiniert er mit Ergebnissen, die am Computer berechnet wurden. Er habe frühere Berechnungen mit "vielen kleinen Kniffen" verbessert, sagte Tao dem Magazin "Scientific American". So habe er die Gültigkeitsbereiche der beiden Vermutungen soweit überlappen können, dass zumindest eine Zerlegung in fünf Primzahlen bewiesen sei.

Tao hofft, dass er seinen Beweis nun noch so erweitern kann, dass er auch für die Schwache Goldbachsche Vermutung, also Summen aus drei Primzahlen, gilt. Dies dürfte eher gelingen als der Beweis der Starken Goldbachsche Vermutung. Eine Zahl als Summe dreier Primzahlen aufzuschreiben, sei leichter, als wenn man nur zwei Primzahlen erlaube, sagte Tao. "Es gibt dabei viel größere Chancen, das Glück zu haben, dass alle Zahlen tatsächlich Primzahlen sind."

Die bisher am Computer gefundenen Belege der Goldbachschen Vermutung sprechen dafür, dass diese tatsächlich für alle natürlichen Zahlen gilt. Denn je größer eine untersuchte Zahl ist, umso mehr der geforderten Primzahlzerlegungen lassen sich finden. Für 4 gibt es nur eine Zerlegung (2 + 2), bei 16 sind es schon zwei (3 + 13, 5 + 11) und bei 100 dann sechs (3 + 97, 11 + 89, 17 + 83, 29 + 71, 41 + 59, 47 + 53).

Ein Beweis im strengen mathematischen Sinne ist das freilich nicht, sondern höchstens ein Indiz.

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insgesamt 95 Beiträge
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1.
Matis 15.05.2012
"Primzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar." Warum fängt ein Artikel über Primzahlen gleich mit einem Fehler an. Nach der zitierten Aussage wäre die 1 auch eine Primzahl. Ist sie aber nicht! Ich danke meinem alten Mathelehrer Herrn Lübke, der mir das in der 6. Klasse beigebracht hat!
2. naja
Cleverslinger 15.05.2012
Zitat von Matis"Primzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar." Warum fängt ein Artikel über Primzahlen gleich mit einem Fehler an. Nach der zitierten Aussage wäre die 1 auch eine Primzahl. Ist sie aber nicht! Ich danke meinem alten Mathelehrer Herrn Lübke, der mir das in der 6. Klasse beigebracht hat!
Da sie schreiben, dass Primzahlen durch 1 und sich selbst teilbar sind, und nicht, dass jede Zahl die durch 1 und sich selbst teilbar ist ein Primzahl ist, ist das föllig korrekt.
3. optional
kommentor 15.05.2012
Sehr schön. Und jetzt machen wir uns bitte nochmal schlau, was das Sieb des Eratosthenes überhaupt ist. Nämlich keine hübsch gerasterte Darstellungsweise von ein paar Zahlen, sondern eine Vorgehensweise. (Auf fremdwortisch Algorithmus)
4. 45646
kein Ideologe 15.05.2012
Zitat von Matis"Primzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar." Warum fängt ein Artikel über Primzahlen gleich mit einem Fehler an. Nach der zitierten Aussage wäre die 1 auch eine Primzahl. Ist sie aber nicht! Ich danke meinem alten Mathelehrer Herrn Lübke, der mir das in der 6. Klasse beigebracht hat!
dann hat Herr Lübke leider nur halbe Arbeit geleistet. Die Aussage :"Primzahlen...sind nur durch 1 und sich selbst teilbar" ist richtig. Im Gegensatz dazu wäre die Aussage:"Primzahlen sind (genau die natürlichen Zahlen die) nur durch 1 und sich selbst (ganzzahlig) teilbar sind", falsch. Der Satz im Artikel ist eine Aufzählung von zwei Bedingungen, keine Definition.
5.
Nevermeind 15.05.2012
Zitat von Matis"Primzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar."
Das ist schon richtig, wenn auch unvollstaendig, denne der Satz gilt fuer Zahlen >1. Und diese Ihre (Umkehr-)Schlussfolgerung ist falsch! Schliesslich steht da nicht "Alle durch nur durch 1 und sich selbst teilbaren Zahlen sind Primzahlen". Falsch ist im Artikel allerdings die Formulierung der ternaeren Goldmann'schen Vermutung, die besagt naemlich "(...) ungerade Zahlen > 5(...) und nicht >= ("ab")!
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