Rätsel der Woche Kuchen schneiden wie ein Zahlengott

Gerechtes Aufteilen ist wichtig - ganz besonders, wenn es um leckeren Blechkuchen geht. Die einen mögen die Randstücke, die anderen so gar nicht. Wenn beide Gruppen gleich groß sind, wird es kniffelig.

Käsekuchen mit Himbeeren: Die einen lieben den Rand, die anderen die Mitte
Corbis

Käsekuchen mit Himbeeren: Die einen lieben den Rand, die anderen die Mitte

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Ihr Backofen kann spannende mathematische Probleme hervorbringen, wie das Rätsel dieser Woche zeigt. Stellen Sie sich vor, Sie backen einen großen, rechteckigen Blechkuchen. Den fertigen Kuchen zerschneiden Sie in gleich große, rechteckige Stücke. Gehen wir mal davon aus, dass die Hälfte der Leute Randstücke mag. Die andere Hälfte aber will auf keinen Fall ein Stück mit Rand abbekommen.

Nun die Frage: Für welche Anzahl von Personen können Sie den Blechkuchen so aufteilen, dass jeder genau ein Stück nach seinen Vorlieben bekommt und keins übrigbleibt? Exakt die Hälfte der Personen bekäme dann ein Randstück und die andere Hälfte ein Stück aus der Mitte.

Ein Beispiel: Wenn Sie den Blechkuchen in 4x4=16 Stücke aufteilen, erhalten Sie 12 Randstücke und 4 Stücke ohne Rand. Diese Zerlegung kommt daher als Lösung nicht in Frage.

Noch ein paar Hinweise, damit es keine Missverständnisse gibt: Sie dürfen den Kuchen nur mit geraden, parallelen Schnitten zerschneiden, die über das ganze Blech gehen. Der Abstand benachbarter paralleler Schnitte muss gleich sein. Die Stücke selbst müssen rechteckig und sämtlich gleich geformt sein. Die vier Eckstücke sollen als normale Randstücke gelten.

Das Rätsel ist eine durchaus typische Aufgabe aus der Welt der Zahlentheorie, die sich mit den Eigenschaften ganzer Zahlen beschäftigt. Probleme aus der Zahlentheorie sind selbst für Laien meist gut zu verstehen, etwa die berühmte und bis heute ungelöste Goldbachsche Vermutung, in der es um Summen aus Primzahlen geht. Lösungen solcher Probleme können jedoch sehr kompliziert sein und weit über das hinausgehen, was wir in der Schule gelernt haben. Keine Angst - im Fall des Blechkuchens ist das nicht der Fall. Aber einfach ist die Lösung trotzdem nicht.

Und? Haben Sie das Rätsel schon geknackt? Falls nicht, hier bekommen Sie ein paar Tipps dazu.

Zur Lösung bitte hier entlang.

Die Inspiration zu diesem Rätsel stammt übrigens von der Webseite Mathekalender.de, die ich allen Schülern ab Klassenstufe 4 und Mathe-Interessierten sehr empfehlen kann. Jeden Tag gibt es ein neues Rätsel - und mit etwas Glück am Ende sogar einen Preis.

Am 1. Dezember ging es in der Aufgabe für die Klassen 4 bis 6 genau um das Kuchenblech-Problem. Aber die Schüler sollten nicht nach sämtlichen möglichen Lösungen suchen, sondern nur unter vier Lösungsvorschlägen jenen finden, der tatsächlich funktioniert.

Falls Sie die Rätsel der vergangenen beiden Wochen verpasst haben - hier sind die Links:

insgesamt 19 Beiträge
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Seite 1
LurchiD 14.12.2014
1.
Anzahl der Schnitte in einer Richtung:s Anzahl der Randstücke: r = 4*s - 4 Anzahl der Mittelstücke: m = s^2 - r = s^2 - 4*s - 4 Nun gesetzt: m := r Daraus ergibt sich: m = r s^2 - 4*s - 4 = 4*s - 4 s^2 - 8*s = 0 Quadratische Gleichung mit zwei Lösungen: s1 = 0 s2 = 8 Erster Fall: 0 Mittelstücke, 0 Randstücke Zweiter Fall: 28 Mittelstücke, 28 Randstücke
herbert_schwakowiak 14.12.2014
2.
Für Profis: Die Hälfte der Erwachsenen Gäste haben Kinder mitgebracht, wobei wiederum die Hälfte ein Kind, die andere zwei hat. Die Kinder haben auch ihre Präferenzen, und zwar will ein Drittel ein Mittelstück, ein Drittel ein Randstück, und ein Drittel ein Eckstück. Frage: Wie laut ist das Geschrei?
territrades 14.12.2014
3. Niedlich :D
Sei der Kuchen in n x m Stücke geschnitten. Die Anzahl der Randstücke beträgt folglich: 2(m+n)-4 Die Anzahl der Innenstücke: (m-2)(n-2) Die die beiden Zahlen übereinstimmen sollen, stellt man die beiden Terme gleich: 2(m+n)-4 = (m-2)(n-2) Diese Gleichung löst man nach einer der Variablen auf, ich nehme hier mal n: n=(4m-8)/(m-4) Bei der Schreibweise sieht man noch nicht viel, daher führt man eine Polynomdivision durch: n = 4 + 8/(m-4) Damit n eine ganze Zahl ist, muss der hintere Bruch auch eine ganze Zahl ergeben, d.h. (m-4) muss ein Teiler von 8 sein. Die Teiler von 8 sind 1,2,4 und 8, und damit ergeben sich als mögliche m 5,6,8 und 12. Die Lösungspaare (n,m) lauten folglich: (5, 12), (6, 8), (8, 6), (12, 5). Das jeweils das gespiegelte Paar verkommt verwundert nicht, denn schließlich kann man den Kuchen ja einfach um 90° drehen. Die Lösung sind dann jeweils 24 bzw. 30 Rand- und Innenstücke. Ich hoffe der Kuchen ist dafür groß genug. PS: Und ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet!
ligako 14.12.2014
4. gibt es nicht zwei Lösungen
A: 5*12 Stücke macht je 30 Rand- und 30 Mittelstücke B: 6*8 mit je 24 Stücken. Bei der Verschärfungen von Herrn schwakowiak ist nicht geklärt um welchen Kuchen es sich handelt. Daher ist keine eindeutige Antwort möglich.
fifty-fifty 14.12.2014
5. Zeichnen geht auch
Die vorgeschlagene Lösung (a-4) x (b-4) = 8 lässt sich auch geometrisch deuten und ermitteln: Dazu zeichnen wir einen relativ großen geschnittenen Kuchen, wobei wir die Stücke im Rahmen der Randstücke rot markieren. Innerhalb dieses Rahmens von Randstücken markieren wir einen zweiten Rahmen mit Mittelstücken grün und vergleichen die Anzahl der roten Stücke mit den grünen. Wir stellen fest, dass zu jedem grünen Stück ein rotes Stück gehört, mit Ausnahme der Eckstücke: Auf jedes grüne Eckstück kommen drei rote Stücke des äußeren Rahmens. Bei insgesamt vier Ecken macht das einen Unterschied von 8. Daraus folgt: das Rechteck innerhalb des inneren Rahmens muss noch 8 weitere Stücke enthalten. Daraus ergibt sich geometrisch: (a-4) x (b-4) = 8
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