Rätsel der Woche Verflixtes Jahr 2016

Das neue Jahr hat begonnen - und wir nutzen es für eine Knobelei: Addieren Sie zu einer Zahl ihre Quersumme und die Quersumme ihrer Quersumme. Kann dabei 2016 herauskommen? Finden Sie alle Lösungen.

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Sind Sie gut im neuen Jahr angekommen? Ich brauche immer ein Weilchen, bis ich mich an die Jahreszahl gewöhnt habe. Beim Notieren eines Datums schreibe ich anfangs immer wieder die Zahl des Vorjahrs auf. Das Rätsel dieser Woche dreht sich um 2016 - und vielleicht erleichtert die Knobelei ja den Umgang damit.

Finden Sie alle Zahlen, für die gilt:

Die Summe aus der Zahl, ihrer Quersumme und der Quersumme ihrer Quersumme ergibt genau 2016.

Zwei kurze Erläuterungen: Die Quersumme erhalten Sie, wenn Sie die Ziffern einer Zahl addieren. Nehmen wir als Beispiel 21: Die Quersumme von 21 ist 2 + 1 = 3.

Und was ist mit der Quersumme einer Quersumme gemeint? Beispiel 3456: Die Quersumme ist 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Die Quersumme der Quersumme beträgt dann 1 + 8 = 9.

Die in der Aufgabe zu berechnende Summe aus einer Zahl, ihrer Quersumme und der Quersumme ihrer Quersumme ist für 3456 daher 3456 + 18 + 9 = 3483. Das liegt allerdings ein ganzes Stück über dem gesuchten Ergebnis von 2016. Finden Sie alle passenden Zahlen?

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Seite 1
caliper 03.01.2016
1.
Ich dachte es lässt sich zeigen, dass es überhaupt keine Lösungen gibt. Leider ist das nicht der Fall und man wird schnell fündig: 1986; 1992; 2004 und 2010. Das müssten auch alle sein?
h.weidmann 03.01.2016
2.
Die gesuchte Zahl ist kleiner als 2016. Damit muss die Quersumme kleiner oder gleich 28 und die Quersumme der Quersumme kleiner oder gleich 11 sein. Ich finde damit die 1986, 1992, 2004 und 2010. Und jetzt bin ich auf die Lösung des Autors gespannt.
h.weidmann 03.01.2016
3.
Ich hab's mit der Untergrenze etwas anders gelöst, ohne auf die Anzahl Stellen zu schauen. Sei z die gesuchte Zahl q die Quersumme mit q kleiner/gleich 28 und qq die Quersumme der Quersumme mit qq kleiner/gleich 11. Da z kleiner 2016 ist, gilt z groesser/gleich 2016 - q - qq. Daraus ergibt sich z >= 1977. Den Rest hab ich dann von Hand gemacht. Ich hab kein Excel :-)
caliper 03.01.2016
4.
Zitat von h.weidmannIch hab's mit der Untergrenze etwas anders gelöst, ohne auf die Anzahl Stellen zu schauen. Sei z die gesuchte Zahl q die Quersumme mit q kleiner/gleich 28 und qq die Quersumme der Quersumme mit qq kleiner/gleich 11. Da z kleiner 2016 ist, gilt z groesser/gleich 2016 - q - qq. Daraus ergibt sich z >= 1977. Den Rest hab ich dann von Hand gemacht. Ich hab kein Excel :-)
Dass es pro Dekade nur eine Zahl geben kann ist klar. Daher findet man die gesuchten Zahlen auch schnell. Allerdings ist mir nicht klar wie Sie auf 28 und 11 als größte Quersumme bzw. Quersumme der Quersumme kommen.
StonyBrook 03.01.2016
5. Vereinfachung bei der Suche
Die gesuchte Zahl muss durch drei teilbar sein, denn 2016 ist 0 mod 9. Die drei Zahlen haben denselben Rest mod 9, und dieser Rest muss mit drei multipliziert 0 mod 3 ergeben, also selbst 0, 3 oder 6 sein.
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