Raffiniert kalkuliert: Rechentricks für Zahlenmuffel

Von Holger Dambeck

DPA

Seit Generationen büffeln wir das Einmaleins, viele erleben Rechnen als schematisches Pauken. Dabei gibt es verblüffende Tricks, mit denen Zahlen tatsächlich Spaß machen. Schade, dass sie in der Schule kaum Thema sind.

Was ist eigentlich 8466 mal 5? Oder 8345 mal 11? Sie könnten jetzt zum Taschenrechner greifen, aber den brauchen Sie gar nicht. Aufgaben wie diese lassen sich nämlich sehr elegant lösen - vorausgesetzt, Sie haben genügend Rechentricks in petto. Damit wird stupides Addieren oder Multiplizieren zur kreativen Herausforderung. Einige solcher Kniffe möchte ich Ihnen hier vorstellen.

Beginnen wir mit dem Faktor 5. Nehmen wir beispielsweise die Aufgabe 74 mal 5. Das Ergebnis habe ich wahrscheinlich schneller hingeschrieben, als Sie die Zahlen in Ihren Taschenrechner tippen können: 370.

Wie geht der Trick? Er nutzt die Zahl 10. Wenn wir eine Zahl mit 5 multiplizieren, können wir auch ihre Hälfte verzehnfachen - also 1/2 mal 10 rechnen. Solange eine Zahl gerade ist, macht die Rechnung kaum Schwierigkeiten. Ich halbiere die Zahl und hänge eine Null an:

74 * 5 = 37 * 10 = 370

Das funktioniert auch bei größeren Zahlen

8466 * 5 = 4233 * 10 = 42330

...und auch mit Geldbeträgen:

34,98 € * 5 = 17,49 € * 10 = 174,90 €

Was tue ich aber, wenn die Zahl ungerade ist? Etwa bei 27 * 5? Ich halbiere die 27 - und komme auf 13,5. Das Komma streiche ich weg und bin fertig: 135. Und so mache ich das immer, wenn das Halbieren nur mit Rest klappt.

27 * 5 = 13 * 10 + 5 = 130 + 5 = 135

Gruppen sehen

Bei zweistelligen, vielleicht auch noch bei dreistelligen Zahlen, bereitet es kaum Probleme, diese im Kopf zu halbieren. Bei größeren Zahlen, fünfstelligen beispielsweise wie 34588, wird das schon schwieriger. Hier hilft es ungemein, die Zahl in leicht überschaubare Gruppen aufzuspalten. Ich setze einfach senkrechte Striche zwischen die Ziffern und multipliziere dann jede Gruppe separat mit 5. Das heißt, ich halbiere sie und hänge ganz am Ende eine 0 an - oder eine 5, falls die letzte Ziffer ungerade ist. Aus 34588 * 5 wird deshalb:

34 | 58 | 8 * 5 = 17 | 29 | 40 = 172940

Sie ahnen schon, worauf das Ganze hinausläuft: Wer geschickt rechnen will, muss genau hinschauen. Schnell noch ein zweites Beispiel:

249857830583 * 5 =
24 | 98 | 578 | 30 | 58 | 3 * 5 =
12 | 49 | 289 | 15 | 29 | 15 = 1249289152915

Die letzte Rechnung verdeutlicht, dass der Trick dann am besten funktioniert, wenn die Ausgangszahl viele gerade Ziffern enthält, so dass ich möglichst immer Zweierpäckchen bilden kann, die geradzahlig sind.

Der Gruppierungstrick funktioniert übrigens nicht nur beim Multiplizieren mit 5, sondern auch mit anderen einstelligen Faktoren.

523 * 3 = (5 | 23) * 3 = 15 | 69 = 1569
816 * 6 = (8 | 16) * 6 = 48 | 96 = 4896
911 * 8 = (9 | 11) * 8 = 72 | 88 = 7288

Multiplikation mit 11

Fast schon ein Klassiker ist das Rechnen mal 11. Besonders leicht geht das bei zweistelligen Zahlen. Was ist 43 mal 11? Das Ergebnis ist eine dreistellige Zahl. Ganz links steht die 4, ganz rechts die 3. Und in der Mitte die Summe aus 4 und 3, also 7.

43 * 11 = 4 | 4 + 3 | 3 = 473

Diese Rechnung funktioniert wunderbar, solange die Summe der beiden Ziffern einstellig ist.

54 * 11 = 5 | 5 + 4 | 4 = 594
81 * 11 = 8 | 8 + 1 | 1 = 891

Wenn die Summe zweistellig wird, ist das aber auch nicht weiter dramatisch, dann muss ich mir nur ihre linke Ziffer, das kann nur eine 1 sein, merken. Diese 1 addiere ich dann zur Ziffer ganz links hinzu:

68 * 11
= 6 | 6 + 8 | 8
= 6 | 14 | 8
= 6 + 1 | 4 | 8
= 748

Zahl endet auf 5

Die bisher beschriebenen Rechentricks waren sämtlich von allgemeiner Art. Das heißt: Sie funktionieren prinzipiell für alle Zahlen, die Sie zum Beispiel mit 5 oder 11 multiplizieren. Zahlen sind jedoch sehr verschieden. Manche sind sperrig, mit anderen rechnet es sich leichter. Wenn man das weiß, kann man es gezielt ausnutzen.

Die Kniffe, die ich Ihnen nun vorstellen möchte, klappen leider nur bei ganz speziellen Rechenoperationen und Zahlenkonstellationen. Aber sie sind genial - und deshalb sollten Sie sie kennen!

Wenn Sie 35 mal 35 ausrechnen wollen, nehmen Sie einfach die 3 und multiplizieren sie mit 3 + 1 = 4. Hinter das Ergebnis 12 schreiben Sie dann 5 mal 5 = 25, und schon sind Sie fertig!

35 * 35 = 3 * 4 | 25 = 1225

Die Methode funktioniert auch bei dreistelligen Zahlen:

115 * 115 = 11 * 12 | 25 = 13225

Warum klappt das Ganze? Wenn wir die auf 5 endende Zahl in der Form 10a + 5 schreiben, dann ist ihr Quadrat:

(10a + 5)2 = 100a2 + 2 * 10a * 5 + 25
= 100a2 + 100a + 25
= 100* a * (a + 1) + 25

Der letzte Ausdruck entspricht genau der Rechenvorschrift dieser Methode. Ich multipliziere a mit a + 1 und hänge dann 25 an.

Zehner gleich und Einer zusammen 10

Hübsch finde ich auch den noch spezielleren Fall, dass bei einem Produkt von zweistelligen Zahlen die Zehner gleich sind und die Einer zusammen 10 ergeben. Zum Beispiel 32 * 38. Der Rechenweg ist im Grunde genauso wie beim Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden. Zuerst multipliziere ich 3 mit (3 + 1) und erhalte 12. Und an das Ergebnis hänge ich im zweiten Schritt 2 * 8 = 16 an.

32 * 38 = (3 * 4) (2 * 8) = 1216

Ein zweites Beispiel:

61 * 69 = (6 * 7) (1 * 9) = 4209

Wichtig ist, dass Sie das Produkt der Einer immer zweistellig notieren. Hier ist es mit 9 ja eigentlich einstellig, wir müssen aber noch eine 0 davorschreiben, damit das richtige Ergebnis herauskommt. Selbst dreistellige Produkte lassen sich mit diesem Verfahren berechnen:

123 * 127 = (12 * 13) (3 * 7) = 15621

Schnapszahl mal 9

Zum Schluss möchte ich Ihnen noch einen einfachen Trick mit Schnapszahlen vorstellen. 33 oder 222 fallen in diese Kategorie. Mit diesem Trick ist es ein Kinderspiel, eine solche Zahl mit 9 zu multiplizieren. Rechnen wir zum Beispiel 8888 * 9. Wir nehmen die 8 ganz rechts weg und multiplizieren sie mit 9. Das Ergebnis ist 72. Zwischen die 7 und die 2 setzen wir dann so viele Neunen, wie noch Achten geblieben sind. In diesem Fall sind es drei. Und schon sind wir fertig.

8888 * 9 = 7 | 999 | 2 = 79992

Der Trick klappt bei jeder Schnapszahl - probieren Sie es selbst aus!


Dies ist ein Auszug aus meinem neuen Buch "Nullen machen Einsen groß". Darin finden Sie noch mehr Mathe-Tipps und -Tricks für alle Lebenslagen - etwa Telefonnummern merken, Krawatten binden oder Kunststücke mit Zirkel und Lineal vollführen.


Diesen Artikel...
Aus Datenschutzgründen wird Ihre IP-Adresse nur dann gespeichert, wenn Sie angemeldeter und eingeloggter Facebook-Nutzer sind. Wenn Sie mehr zum Thema Datenschutz wissen wollen, klicken Sie auf das i.

Auf anderen Social Networks teilen

  • Xing
  • LinkedIn
  • Tumblr
  • studiVZ meinVZ schülerVZ
  • deli.cio.us
  • Digg
  • reddit
Forum - Diskutieren Sie über diesen Artikel
insgesamt 66 Beiträge
Alle Kommentare öffnen
    Seite 1    
1. Mit Mathe
ernstl1704 28.06.2013
hat "Rechnen" aber wenig zu tun. Wobei zugegebenermassen der Spass am Rechnen auch den Spass an Mathe später vergrößern kann. Viel wichtiger als z.b. im Kopf 234567 * 7 rechnen zu können ist auch eher abzuschätzen ob das Ergebnis was mir der Taschenrechner ausgibt, auch plausibel ist. Daran hackt es zum großen Teil, selbst bei Studierenden der Ingenieurswissenschaften. Es wird einfach blind dem geglaubt was der Rechner ausgibt.
2. Ich glaub es hackt, weil es bei manchen
si tacuisses 28.06.2013
Zitat von ernstl1704hat "Rechnen" aber wenig zu tun. Wobei zugegebenermassen der Spass am Rechnen auch den Spass an Mathe später vergrößern kann. Viel wichtiger als z.b. im Kopf 234567 * 7 rechnen zu können ist auch eher abzuschätzen ob das Ergebnis was mir der Taschenrechner ausgibt, auch plausibel ist. Daran hackt es zum großen Teil, selbst bei Studierenden der Ingenieurswissenschaften. Es wird einfach blind dem geglaubt was der Rechner ausgibt.
bei logischem Denken hakt. Wenn die Engabe bei irgendeinem Rechner korrekt erfolgt. kann das Ergebnis nie falsch sein. Voraussetzung beim Kopfrechnen aber ist: Man muß es trainiert haben. In der Schule z.B. Da aber dort bereits ab der 3. Klasse das Hirn durch ein Blechhirn ersetzt wird, verkümmert diese Fähigkeit sehr schnell. Lassen Sie heute mal einen Abiturienten im Kopf 10 % von € 12,95 rechnen. Sie werden sich vor Lachen kringeln was dabei rauskommt.
3. Weitere Tricks
Sique 28.06.2013
Für zweistellige Zahlen mit gleichem Zehner gibt es auch eine Abkürzung: 1. Man addiert den Einer der einen Zahl zur zweiten Zahl. 2. Man multipliziert das Ergebnis mit dem Zehner. 3. Man hängt eine 0 an. 4. Man multipliziert die Einer. 5. Man addiert das Produkt der Einer zu der ersten Zahl.
4. optional
kommentator911 28.06.2013
... und bei manchen hackt es schon an der Rechtschreibung...
5. Taschenrechner zu Bierdeckeln!
Schäfer 28.06.2013
Ich kenne auch einen genialen Trick: Man muss ja oft das Produkt aus 897 und 17 ermitteln, bspw. beim Einkauf. Dafür nehme ich die Quadrate her, 804609 und 289, multipliziere sie, ziehe dann die Wurzel und voilà, das Ergebnis: 15249. Negative Zahlen vorher mit i multiplizieren.
Alle Kommentare öffnen
    Seite 1    
News verfolgen

HilfeLassen Sie sich mit kostenlosen Diensten auf dem Laufenden halten:

alles aus der Rubrik Wissenschaft
Twitter | RSS
alles aus der Rubrik Mensch
RSS
alles zum Thema Numerator
RSS

© SPIEGEL ONLINE 2013
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung der SPIEGELnet GmbH

SPIEGEL ONLINE Schließen


  • Drucken Versenden
  • Nutzungsrechte Feedback
  • Kommentieren | 66 Kommentare
  • Zur Startseite
Buchtipp

Fotostrecke
Primzahlen: Die Jagd nach den Zwillingen
Fotostrecke
Faszination Mathematik: Denken, Rätseln, Entdecken