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Symmetrie-Spielereien: Im verrückten Spiegelkabinett des Professors

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Wundertapeten, gekrümmte Räume und ein Blick in die Unendlichkeit: In einer Ausstellung an der FU Berlin können Besucher mit Symmetrien spielen. Drehbare Spiegel öffnen den Blick in abstrakte Welten - und das ganz ohne komplizierte Formeln. So wird Mathematik spielend leicht.

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Das Makellose, das Regelmäßige ist es, was uns Menschen anzieht. Psychologen haben beobachtet, dass ein symmetrisches Gesicht die Attraktivität von Personen erhöht. Gleiches gilt für einen Körper, bei dem sich rechte und linke Hälfte so gut wie nicht voneinander unterscheiden. Die Leidenschaft für Symmetrien ist in der Natur nicht nur dem Menschen vorbehalten. Unter anderem bevorzugen Weibchen der japanischen Skorpionsfliegen die Männchen mit dem höchsten Symmetriegrad der Flügel.

Doch Symmetrie ist nicht gleich Symmetrie. Geht es um Gesichter oder Fliegen, ist die sogenannte Spiegelsymmetrie gemeint. Es gibt auch noch die Rotationssymmetrie. Dabei wird ein Objekt solange gedreht, bis es sich mit dem nichtgedrehten Objekt deckt. Mathematiker haben das Phänomen der Symmetrie genauestens untersucht und dabei Überraschendes festgestellt. Es gibt zum Beispiel nur 17 verschiedene Tapetenmuster, die sich, wenn man die Papierbahnen an die Wand klebt, unendlich oft in allen Richtungen wiederholen.

Der Grund dafür: Ein Ornament lässt sich nur verschieben, drehen oder spiegeln. Natürlich kann man diese geometrischen Operationen auch miteinander kombinieren. Letztlich bleiben aber nur 17 unterschiedliche Varianten übrig. Sie bilden die sogenannte Wallpaper Group .

Konrad Polthier von der Freien Universität Berlin hat eine ganz besondere Schwäche für Symmetrien. Für den Geometrie-Professor ist das Thema eine wunderbare Möglichkeit, Menschen spielerisch mit höherer Mathematik in Berührung zu bringen. In der Bibliothek seines Fachbereichs hat er eine Ausstellung organisiert, die sich an Schüler, aber auch an interessierte Erwachsene richtet.

Fotostrecke

15  Bilder
Geometrie: Spielen mit Symmetrien
Die an der Universität Mailand konzipierten Exponate machen Geometrie zu einem Abenteuer, bei dem man immer wieder Überraschungen erlebt. Da sind zum Beispiel zwei Spiegel, die in Form eines aufgeklappten Buches senkrecht auf dem Tisch stehen (siehe Fotostrecke). Legt man Bälle oder und andere Gegenstände in den Zwischenraum, dann spiegeln sich die Objekte nicht nur einmal, sie scheinen vielmehr unendlich oft auf dem Tisch zu liegen. Und weil der Winkel zwischen den beiden Spiegeln flexibel ist, können die Ausstellungsbesucher das entstehende Bild sogar verändern.

Freunde von Mustern kommen beim sogenannten Ebenenkaleidoskop auf ihre Kosten. Es besteht aus drei senkrecht auf dem Tisch stehenden Spiegeln. Sie sind so aneinander befestigt, dass sie ein Dreieck bilden, und die Spiegelflächen sich in dessen Inneren befinden. Neben dem Kaleidoskop liegen verschiedene Formen und mit Mustern bedruckte Plastikscheiben. Wer sie in das Kaleidoskop legt, kann beeindruckende, scheinbar unendlich große Muster erzeugen. Mathematiker sprechen von Parkettierungen.

Die Anordnung ist gleichzeitig der Schlüssel für einen Ausflug in die vierte Dimension. "Ich frage zum Beispiel die Kinder, mit welchen regelmäßigen N-Ecken man eine Ebene vollständig auslegen kann, so dass keine Lücken frei bleiben", sagt Polthier. Fast alle wissen natürlich, dass es mit Quadraten geht, diese Form kennt man ja von gefliesten Fußböden.

Die vollständige Parkettierung funktioniert jedoch auch mit gleichseitigen Dreiecken und gleichseitigen Sechsecken. Wie aber sieht es mit einem gleichseitigen Fünfeck aus? Polthier legt Fünfecke aus Papier aneinander, aber das Parkettieren will einfach nicht gelingen. Wenn drei Fünfecke mit ihren Ecken an einem Punkt zusammenstoßen, dann bleibt immer eine kleine Lücke frei.

Das kann man auch leicht geometrisch beweisen. Der Innenwinkel bei regelmäßigen Fünfecken ist 108 Grad groß. Stoßen drei solche Winkel aneinander, kommt man zusammen auf 324 Grad. Es fehlen also noch 36 Grad, um auf 360 Grad zu kommen und die Ebene damit lückenlos zu bedecken.

Den Raum zupflastern

An dieser Stelle beginnt das Abenteuer 4D. "Wir könnten die Ebene ja auch krümmen", sagt Polthier, "so dass sich die Lücke schließt". Dann entsteht aus dem ursprünglich flachen unvollständigen Parkett plötzlich ein dreidimensionales Gebilde - siehe Fotostrecke. Und wenn insgesamt zwölf Fünfecke lückenlos aneinander gelegt sind, geschieht etwas Magisches. Ein platonischer Körper, das Dodekaeder, ist entstanden.

Die Spielerei in der Ebene hat den dreidimensionalen Raum erreicht - und dort ist immer noch nicht Schluss. "Man kann nicht nur eine Ebene parkettieren, sondern auch den Raum", sagt Polthier. Die einfachste Variante ist dabei, analog zum Quadrat in zwei Dimensionen, der Würfel. Würfel können den Raum ebenfalls vollständig ausfüllen.

Mit welchen anderen platonischen Körpern klappt dies noch? In der Symmetrieausstellung können Besucher Figuren wie Tetraeder (eine Pyramide aus vier gleichseitigen Dreiecken) oder Ikosaeder, ein Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken, selbst bauen und aneinanderlegen. Mit Tetraedern oder Ikosaedern lässt sich der Raum nicht lückenlos füllen.

Was aber ist mit dem Dodekaeder, dem Körper aus 12 Fünfecken? Wie die Fünfecke in der Ebene macht der Dodekaeder auch im Raum keine gute Figur. Fügt man drei aus Papier gebastelte Dodekaeder an einer gemeinsamen Kante zusammen, bleibt wieder eine Lücke. Diesmal ist es knapper als bei den Fünfecken in der Ebene, aber es sind immer noch etwa 10 Grad, die zum vollständigen ausfüllen des Raumes fehlen.

Der Geometrie-Professor weiß aber auch hier Rat. "Wir können den dreidimensionalen Raum zusammenbiegen, damit sich die Lücke schließt", erklärt Polthier. Und für diese Krümmung müsse man noch eine Dimension höher in den vierdimensionalen Raum.

Das dabei entstehende geschlossene Gebilde besteht aus 120 Dodekaedern und wird als Hyperdodekaeder oder auch 120-Zell bezeichnet. An jeder der 600 Ecken stoßen vier Dodekaeder zusammen. Insgesamt 720 Fünfecke enthält die Figur.

Wie aber sieht ein 120-Zell aus? Wir können es uns eigentlich nicht vorstellen - aber zumindest eine Ahnung davon ist möglich. "Es ist genau wie bei den Fünfecken in der Ebene", erklärt Polthier. Wenn man die Lücken zwischen ihnen schließe, entstehe eine geschlossene Sphäre in der nächsthöheren Dimension, Zwölfflächner oder Dodekaeder genannt. Analog bildeten die 120 Dodekaeder eine Sphäre im vierdimensionalen Raum, also ein geschlossenes Gebilde mit einem Hohlraum in der Mitte.

Mathematiker können das kaum fassbare Fünfeckungetüm aber mit einem Trick doch sichtbar machen: Sie zeigen seinen Schatten als Animation in drei Dimensionen, wie in dem YouTube-Video zu sehen ist. Das funktioniert ganz ähnlich wie der Schatten dreidimensionaler Objekte in der Ebene, die ja nur zwei Dimensionen hat.

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insgesamt 12 Beiträge
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1. .
atomkraftwerk, 04.03.2011
Nicht schlecht, diese Ausstellung würde ich mir gerne mal ansehen. Leider ist Berlin so weit weg. Sowas haben wir uns früher versucht selbst zu bauen, Kaleidoskope und so Zeug, das war immer äußerst spannend was es zu sehen gab, wie andere Welten das Farb- und Formenspiel.
2. .
Dylan Hunt 04.03.2011
Spiegel sind schon irre. Da kann man sich im Raum total verlieren. Wenn man einen Spiegel vor den anderen hält entsteht ein Schlauch aus Spiegeln. Da fragt man sich wie lang das ist. Oder, wo führt es hin? Aber genau genommen hat es gar keine Länge oder Tiefe. Schon verrückt.
3. pfui titel
Jesper2304 04.03.2011
Zitat von atomkraftwerkNicht schlecht, diese Ausstellung würde ich mir gerne mal ansehen. Leider ist Berlin so weit weg. Sowas haben wir uns früher versucht selbst zu bauen, Kaleidoskope und so Zeug, das war immer äußerst spannend was es zu sehen gab, wie andere Welten das Farb- und Formenspiel.
Da kann ich Dir nur zustimmen! Wirklich sehr interessant :) Schade, dass Berlin so weit weg ist..
4. Das stimmt nicht...
systembolaget 04.03.2011
...so ganz, wie hier dargestellt; mit einem gleichseitigen D1 Pentagon 3.3.4.3.4 (1) läßt es sich lückenlos kacheln; nicht kacheln läßt es sich mit dem als regelmäßigen bekannten. ---Zitat--- Wie aber sieht es mit einem gleichseitigen Fünfeck aus? Polthier legt Fünfecke aus Papier aneinander, aber das Parkettieren will einfach nicht gelingen. Wenn drei Fünfecke mit ihren Ecken an einem Punkt zusammenstoßen, dann bleibt immer eine kleine Lücke frei. ---Zitatende---
5. .
tubaner 04.03.2011
Zitat von Jesper2304Da kann ich Dir nur zustimmen! Wirklich sehr interessant :) Schade, dass Berlin so weit weg ist..
Ist München für euch näher? Die TU München hat mit dem ix-quadrat nämlich eine ähnlich konzipierte Ausstellung: http://www-m10.ma.tum.de/ix-quadrat/
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