Trachtenberg-Rechensystem: Plus halber Nachbar statt mal sechs

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Viele Wege führen zum Ziel - erst recht in der Mathematik. Ein faszinierendes Beispiel dafür ist die kaum bekannte Trachtenberg-Schnellrechenmethode. Wer die zauberhaften Zahlentricks ausprobiert, kommt aus dem Staunen kaum heraus.

Jakow Trachtenberg ging es nicht besser als manch anderem Genie. Berühmt wurde er erst nach seinem Tod. Nur wenige Eingeweihte kannten die von ihm entwickelte Schnellrechenmethode, als er 1953 starb. Trachtenberg hatte kurz vor seinem Tod sogar eigens ein mathematisches Institut in Zürich gegründet, an dem Kinder und Erwachsene seine Rechenkunst erlernten.

Doch erst ein 1960 erschienenes Buch zweier amerikanischer Journalisten machte die Trachtenberg-Methode bekannt. Das Buch wurde zum Bestseller, Experten waren begeistert. "Lehrer sollten dieses Buch lesen", empfahl das britische Fachblatt "Teacher's World", die neue Methode könne den Mathematikunterricht in der Zukunft revolutionieren. Das Magazin "Life" schwärmte von "mathematischen Zaubertricks", der SPIEGEL feierte Trachtenberg 1963 als "Magier".

Wie aber funktioniert seine Methode? Können wir sie heute, in der Ära von Excel und Taschenrechnern, überhaupt noch gebrauchen? Ich glaube, das Trachtenberg-System ist in erster Linie etwas für Liebhaber. Sie treibt die Arithmetik auf die Spitze, so wie Hersteller von Automatikuhren die Feinmechanik perfektioniert haben.

Natürlich arbeitet eine Quarzuhr in der Regel genauer und kostet auch viel weniger - trotzdem bewundern Menschen das elegante Zusammenspiel mechanischer Uhrwerke und geben viel Geld dafür aus. Und vielleicht schauen Sie nach dem Lesen dieses Textes ja mit leuchtenden Augen auf Trachtenbergs Rechenregeln - so wie ein passionierter Sammler auf das Schwungrad einer Automatikuhr.

Auf den ersten Blick erscheint Trachtenbergs System tatsächlich wie Zauberei - es handelt sich dabei um eine Sammlung von Rechenkniffen, die den Umgang mit Zahlen erleichtern sollen. Angeblich verkürzt sie die Rechenzeit um 20 Prozent. Ich möchte Ihnen die Methode am Beispiel des Faktors 6 erklären. Nehmen wir die Aufgabe

624 * 6

Beim schriftlichen Rechnen, wie es in der Schule gelehrt wird, multiplizieren wir von rechts beginnend jede der drei Ziffern von 624 mit 6, schreiben den Einer des Ergebnisses hin und merken uns die Zehner für Stelle links daneben.

Bei Trachtenberg rechnen wir nicht mal 6, sondern addieren zu jeder Ziffer ihren halben Nachbarn. Wir operieren also mit viel kleineren Zahlen - und das macht die Methode auch so schnell. Wie das Ganze funktioniert, versteht man am besten am konkreten Beispiel 624 * 6.

Unter jede Ziffer schreiben wir die Summe aus dieser Ziffer und ihrem halben Nachbarn. Bevor wir beginnen, schreiben wir unter die 6 eine 0 - die brauchen wir im letzten Schritt der Rechnung. Wir beginnen ganz rechts bei der 4. Die 4 hat keinen rechten Nachbarn, also kommt darunter eine 4:

0624 * 6
     4

Jetzt ist die Ziffer links neben der 4 dran. Unter die 2 schreiben wir 2 + Hälfte des rechten Nachbarn. Der rechte Nachbar ist 4, also 2+2=4:

0624 * 6
    44

Im dritten Schritt addieren wir zur Ziffer 6 ihren halben Nachbarn. Der rechte Nachbar ist 2, also 6+1=7:

0624 * 6
  744

Unter die 0 kommt 0 + halber Nachbar = 0+3=3 - und wir sind fertig.

0624 * 6
3744

Das war ein einfaches Beispiel. Was aber machen wir, wenn eine Ziffer ungerade ist? Der halbe Nachbar wird bei Trachtenberg stets ganzzahlig berechnet - durch Abrunden auf die nächstkleinere natürliche Zahl. Die Hälfte von 5 beispielsweise ist 2 und nicht 2,5. Außerdem müssen wir zusätzlich eine 5 dazu addieren, damit die Rechnung stimmt. Die vollständige Trachtenberg-Regel für mal 6 lautet daher:

Addiere zu einer Ziffer die Hälfte ihres rechten Nachbarn, und falls die Ziffer (nicht der Nachbar!) ungerade ist, zusätzlich 5.

Das klingt erst einmal verwirrend, ist aber nicht so schwer, wie folgende Beispielaufgabe zeigt:

3467 * 6

Unter die 7 schreiben wir 7 + 0 (kein Nachbar) + 5, weil 7 ungerade ist. Also 7+5=12. Wir notieren 2 und machen links daneben einen Strich für 1 gemerkt.

03467 * 6
      '2

Nächster Schritt: 6 + 3 (Hälfte von 7) + 1 (gemerkt) = 10. Wir schreiben 0 machen links daneben wieder einen Strich für 1 gemerkt.

03467 * 6
     '02

Nun folgt: 4 + 3 (Hälfte von 6) + 1 (gemerkt) = 8

03467 * 6
    802

Die nächste Ziffer: 3 + 2 (Hälfte von 4) + 5 (3 ist ungerade) = 10, macht 0 und ein Strich daneben.

03467 * 6
 '0802

Der letzte Schritt ist einfach: 0 + 1 (Hälfte von 3) + 1 (gemerkt) = 2

03467 * 6
20802

Damit haben wir das Ergebnis herausbekommen und dabei nicht ein einziges Mal mal 6 gerechnet! Sie sehen, dass hier ganz anders vorgegangen wird als in der Schule. Sie müssen das Verfahren natürlich erst einmal lernen und auch automatisieren. Aber dann entdecken Sie seinen Charme: Sie ersparen sich sperrige Multiplikationen wie 9 * 6. Die Zahlen, mit denen Sie operieren, sind nie größer als 20. Und das fällt uns viel leichter, als mit 54 oder 48 zu jonglieren.

Sie wissen nun, wie man nach Trachtenberg mit 6 multipliziert. Es gibt ähnliche Rechenregeln für alle Zahlen von 3 bis 12. In meinem neuen Buch "Nullen machen Einsen groß" können Sie diese Tricks genauer kennenlernen und erfahren auch, warum sie funktionieren.

Ersonnen im Gefängnis

Wie Trachtenberg dazu kam, ein Schnellrechensystem zu entwickeln - das ist eine interessante und zugleich tragische Geschichte. Im Alter von 20 Jahren war er bereits Chefingenieur einer großen Werft in St. Petersburg. Nach der Oktoberrevolution floh er nach Berlin, wo er sich als Russland-Experte verdingte und als Pazifist engagierte.

Mit den Nazis bekam er schnell Probleme und flüchtete nach Wien. Doch schließlich fiel er der Gestapo in die Hände und verbrachte nahezu fünf Jahre in Gefängnissen und Konzentrationslagern.

Die Arithmetik wurde für ihn zum Fluchtpunkt aus dem brutalen Lageralltag. Mangels Papier kritzelte er seine Ideen auf Packpapierfetzen und Rückseiten gebrauchter Formulare. Oft konnte er nur im Kopf rechnen - und das hat sicher dazu beigetragen, dass er die Kniffe immer weiter optimierte. Die Schnellrechenmethode sei "in 22 Gefängnissen und Kellern der Gestapo" ersonnen worden, erklärte Trachtenberg später.

Dass er die Nazizeit überlebte, verdankte er in erster Linie seiner Frau. Sie organisierte die Flucht aus der Haft, die das Paar schließlich 1945 in die Schweiz führte.

Trachtenberg hat mit seiner Methode keinesfalls das Schnellrechnen erfunden. Viele der von ihm genutzten Tricks waren schon länger bekannt. Sein Verdienst besteht darin, dass er die verschiedenen Zahlenkunststücke zu einem System zusammengefügt hat.

Ich schätze die Trachtenberg-Methode sehr, ich finde, sie ist ein echtes Juwel der Arithmetik. Aber verstehen Sie mich bitte nicht falsch: Die Rechenregeln werden aus ihrer Nische kaum herauskommen. Sie haben sich in den Sechzigerjahren nicht durchgesetzt, als man sie als revolutionär feierte. Und sie werden sich auch heute nicht mehr durchsetzen.

Für den mathematisch Interessierten bietet Trachtenbergs System aber einen spannenden Einblick in den Maschinenraum der Arithmetik, der in der Schule schon lange kein Thema mehr ist. Das Rechensystem zeigt, dass es sehr unterschiedliche Wege gibt, die zum Ziel führen. Es ist also Mathematik im besten Sinne.


Dies ist ein Auszug aus meinem neuen Buch "Nullen machen Einsen groß". Darin finden Sie noch mehr Mathe-Tipps und -Tricks für alle Lebenslagen - etwa Telefonnummern merken, Krawatten binden oder Kunststücke mit Zirkel und Lineal.


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insgesamt 63 Beiträge
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1. Da fehlt wohl was...
raidizzle 08.07.2013
... denn wenn 624*6 ganz schnell und einfach gerechnet 4 ergibt, dann kann ich auch ein Schnellrechensystem veröffentlichen. Das gilt dann auch für komplizierteste Rechenoperationen! ;)
2. mal 5 plus sich selbst ist halt das gleiche wie mal 6
Mario V. 08.07.2013
Oder genauer *10/2 plus sich selbst. Geht im Falle der 6. Da steckt nicht viel Zauberei dahinter. Im Falle der anderen Zahlen gibt es dann wohl ähnliche Schnellrechenregeln. Jede Regel für sich ist bestimmt schneller als die herkömmliche Methode, dafür hat sie aber auch nur einen sehr eingeschränkten Geltungsbereich, ist also genaugenommen ein Sonderfall, im Gegensatz zum hier als schwierig dargestellten schriftlichen multiplizieren, das mit jeder Zahl funktioniert. Vielleicht hilft es tatsächlich dem einen oder anderen beim Kopfrechnen, sich alle diese Regeln zu merken, aber ob Mathe damit im Allgemeinen leichter wird, wage ich zu bezweifeln.
3. Text ganz lesen hlift
Mario V. 08.07.2013
Zitat von raidizzle... denn wenn 624*6 ganz schnell und einfach gerechnet 4 ergibt, dann kann ich auch ein Schnellrechensystem veröffentlichen. Das gilt dann auch für komplizierteste Rechenoperationen! ;)
Der Artikel ist an dieser Stelle noch nicht zu Ende.
4. Werbung...
baka13 08.07.2013
so also da dies wohl Irgendeine Werbung für ein Buch ist von einem Spiegel Autor, werde ich mir lediglich die Version von 1960 kaufen.
5. Mathematik ungleich Rechnen....
SimonSays 08.07.2013
Die "Rechenregeln" mögen Mathematik im reinsten Sinne sein, wenn man die Hintergründe, WARUM es funktioniert beleuchtet und versteht...da gelangt man relativ schnell in den Bereich der Zahlentheorie. Aber im reinen Auswendiglernen und Anwenden dieser Rechenregeln liegt weder eine besondere Beschäftigung mit Mathematik an sich, noch ein sinnvoller Verwendungszweck. Ja....es mag toll sein, eine Rechenregel für die Multiplikation mit 6 zu haben....wenn man mit 6 multiplizieren muss...und nur das. Wenn man allerdings ab und zu auch mit 4, 7, etc. multiplizieren will, kann man sich entweder für alles unterschiedliche Regeln merken....oder eine Methode lernen, die immer funktioniert. Ich überlasse es dem geneigten Leser, zu entscheiden, was wohl sinnvoller ist...
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