Rätsel der Woche Trenchcoat-Roulette in Pullach

In Pullach ist die Welt noch in Ordnung: Tagsüber wird spioniert, und abends treffen sich die Agenten auf ein Helles in der Kneipe. Doch leider herrscht an der Garderobe ein ziemliches Durcheinander.

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Von und (Grafik)


Vier Männer vom BND gehen abends in Pullach in eine Kneipe. Sie tragen die übliche Dienstkleidung - einen hellen Trenchcoat der Hausmarke "Victor Secret". Weil die Männer auch etwa die gleiche Statur haben, sind ihre Mäntel gleich groß und praktisch nicht zu unterscheiden.

Sie geben ihre Mäntel an der Garderobe ab. Nach zwei Runden Bier gehen sie zurück zur Garderobe und bekommen die Mäntel in zufälliger Reihenfolge ausgehändigt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Mann seinen eigenen Mantel bekommen hat?



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rotella 21.07.2018
1. Fixpunktfreie Permutation
Ein Lieblingsthema vom Foristen Permissiveactionlink. Nachdem das Thema bei jedem Wahrscheinlichkeitsrätsel hier im Forum auftaucht, hat es Herr Dambeck also nun auch endlich entdeckt, allerdings ohne überhaupt den einzig interessanten Clou bei diesem Problem zu erwähnen. Da das Thema aber wie gesagt PAL "gehört", will ich hier nicht vorgreifen.
permissiveactionlink 21.07.2018
2. #1, rotella
Stimmt, aber Herr Dambeck hat die Problematik ein bisschen dadurch abgewandelt, dass eben gerade nach den n i c h t fixpunktfreien Permutationen gefragt wird. Wenn ich mich nicht irre, ist die Lösung dann 1 - (!4/4!) = 0,625 bzw. 62,5 %. Da neun fixpunktfreie Permutationen von vier verschiedenen Elementen existieren, und 24 Permutationen insgesamt, findet man die Lösung auch ohne Fakultäts- und Subfakultätsschreibweise zu 1 - (9/24) = 15/24 = 5/8. Je mehr Mäntel von immer mehr Schlapphüten an der Garderobe abgegeben werden, desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Spion seinen eigenen Trenchcoat zurückerhält, dem Wert 1 - 1/e = 0,6321205588.... = 63,21...%. Die Subfakultät von n (!n), also die Anzahl fixpunktfreier Permutationen von n, ist zumindest in der klassischen Kryptographie von erheblicher Bedeutung. Die legendäre ENIGMA verschlüsselte immer dreizehn Paare von Buchstaben über Kreuz, also z.B. a durch X und x durch A, allerdings in jedem Verschlüsselungsschritt mit einem anderen Schlüsselalphabet. Kein Buchstabe konnte jemals durch sich selbst verschlüsselt werden ! In diesem besonderen Fall sank die Anzahl theoretisch möglicher Schlüsselalphabete von insgesamt 26! nicht nur auf !26, sondern auf äußerst bescheidene 25!!. (26! = 4,03*10^26, !26 = 1,48*10^26 und 25!! = 7,91*10^12), und die fixpunktfreie Verschlüsselung in jedem einzelnen Verschlüsselungsschritt ermöglichte (u.a.) den Alliierten den Einbruch in die geheime Kommunikation der Deutschen. Der Vorteil an Dambecks Aufgabenstellung besteht darin, dass man sie für kleine n auch ohne die Formel zur Herleitung der Subfakultät noch durch Ausprobieren lösen kann. (!n = n! * (1 - (1/1!) + (1/2!) - (1/3!) + (1/4!) - ......+ (-1)^n * (1/n!))).
ManeGarrincha 21.07.2018
3. Enttäuschende Lösung
Dass das Problem bei der Anzahl n=4 einfach durch Auflistung aller Fälle gelöst werden kann, ist trivial. Enttäuschend ist, wie schon der erste Kommentar erwähnt, dass nicht die allgemeine Lösung präsentiert wird, bei n-> inf geht die Wahrscheinlichkeit gegen 1/e, das Problem heißt fixpunktfreie Permutation oder Derangement.
permissiveactionlink 21.07.2018
4. #3, ManeGarrincha
Jain ! Zugegeben, für den kleinen, erlesenen Kreis der "üblichen Verdächtigen", die sich hier im Forum Samstags oder Sonntags tummeln, ist die Aufgabe vermutlich keine mathematische Herausforderung. Aber man sollte nicht vergessen, dass die Zahl der Leser, die sich an den Aufgaben versuchen, vermutlich sehr deutlich die kleine, überschaubare Zahl von regelmäßig bzw. sporadisch in diesem Forum postenden Foristen übersteigt. Sicher sind viele darunter, die sich mehr für eine schöne Nummer interessieren als für Zahlen und Permutationen. Das Rätsel sollte auch Nicht-Mathematikfreaks einen Einstieg in die Problematik ermöglichen, ohne zusätzlichen Frust bezüglich der Mathematik aufzubauen. Das Niveau muss ja nicht Woche für Woche auf dem der Mathematikolympiade liegen. Dann würde das hier auch eine ziemlich eintönige Angelegenheit. Ich sehe es genau andersherum : Besonders interessant wird es hier immer, wenn sich ausgehend von Dambeck Aufgabe deutlich schwierigere Fragen stellen. Da gibt es bisweilen verblüffende Überraschungen !
dasfred 21.07.2018
5. Zu Nr.4
Ich danke für Ihren Verweis auf diejenigen, die eben nicht si tief in der Materie stecken. Bei vielen, wie bei mir, ist der Mathematik Unterricht eben Jahrzehnte her und die meisten Inhalte, hat man in Beruf und Alltag nie mehr abrufen brauchen. Von daher sind die kleinen Wochenend Rätsel immer ein Ansporn, längst verdrängtes Wissen wieder auszugraben, ohne gleich die Frustrationsschwelle zu überschreiten. Ein kleines Erfolgserlebnis zum Sonntag ist für uns mathematische Laien somit trotzdem zu erzielen. Und, wie man sieht, für die Kenner eben Ansporn zu tieferer Betrachtung.
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