Rätsel der Woche Verflixter Plus-Minus-Würfel

Über die Ecken und Seitenflächen eines Würfels sind die Zahlen +1 und -1 verteilt. Die Werte auf den Flächen ergeben sich aus benachbarten Ecken. Kann die Summe über alle Zahlen Null sein?

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Von und (Grafik)


Mit einem Zauberwürfel haben Sie sicher schon gespielt. Und vielleicht wissen Sie sogar noch, wie man die Ebenen drehen muss, damit auf jeder Seite nur eine Farbe zu sehen ist.

Im neuen Rätsel geht es um einen ganz ähnlichen Würfel. Allerdings sollen Sie ihn nicht verdrehen, sondern die auf seinen Ecken stehenden Zahlen verändern.

Jede der acht Ecken des Würfels trägt eine der beiden Zahlen +1 oder -1. Im Bild oben sind der Einfachheit halber nur die Vorzeichen notiert.

Und auch der Mitte jeder der sechs Seitenflächen ist eine Zahl zugeordnet - dabei sind ebenfalls nur die Werte +1 oder -1 möglich. Der jeweilige Wert wird berechnet als Produkt der vier Ecken, die sich an der jeweiligen Seitenfläche befinden.

Betragen die Werte an den vier Ecken zum Beispiel sämtlich +1, erhält man für die Seitenfläche ebenfalls eine +1, denn (+1)*(+1)*(+1)*(+1) = +1. Tragen eine Ecke eine -1 und die drei anderen +1, steht in der Mitte der Seitenfläche eine -1. Denn es gilt (-1)*(+1)*(+1)*(+1) = -1.

Auf den acht Ecken und den sechs Seitenflächen stehen insgesamt 14 Zahlen. Sie dürfen die acht Zahlen auf den acht Ecken frei wählen - zur Auswahl stehen jeweils +1 und -1. Die sechs Zahlen auf den Seitenflächen werden direkt aus den zugehörigen vier Eckzahlen berechnet - sie ist ihr Produkt.

Kann die Summe der insgesamt 14 Zahlen auf dem Würfel Null sein?



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syracusa 16.06.2018
1.
"Wenn ich bei einer Zahl auf einer Ecke das Vorzeichen ändere, ändert sich - wie wir gleich sehen werden - die Summe über alle 14 Zahlen um ein ganzzahliges Vielfaches von 4 - also zum Beispiel um -4, -8, 0 oder +4. Ich kann allen Ecken Schritt für Schritt den Wert +1 zuweisen, so dass dann automatisch an allen 14 Positionen eine +1 steht. Dann beträgt die Summe über alle Ecken und Seiten 14." Warum 14? Es sind 24 Zahlenfelder an den 8 Ecken des Würfels. Also ist die Null problemlos erreichbar.
Düsseldoc 16.06.2018
2. Geht auch einfacher
Kann man auch anders machen: (1) Die Anzahl aller Minusse auf einer Seite ist immer grade (Beweis: Ist die Anzahl der Eckminusse grade, so ergibt sich als gesuchtes Produkt für das Mittelfeld ein Vielfaches von (-1)*(-1), was immer gleich 1 ist, daher steht in der Mitte ein Plus, und die Anzahl der Minusse bleibt gleich und somit grade. Ist dagegen die Anzahl der Eckminusse ungerade, so ist das Produkt gleich (-1) mal einem Vielfachen von (-1)*(-1), also immer gleich -1, in der Mitte steht also ein Minus. Die Anzahl der Minusse erhöht sich um 1 und wird grade) (2) Die Anzahl aller Minusse auf dem gesamten Würfel ist grade (Beweis: Folgt aus (1), da die Summe grader Zahlen immer auch grade ist) Angenommen, es existiert tatsächlich eine Lösung, d.h. die 14 betrachteten Zahlen (die entweder -1 oder 1 sind) summieren sich zu Null auf. Dann müssen genau 7 dieser Zahlen gleich -1 sein. Wenn nun n die Anzahl der Eckwürfelchen mit einem Minus ist, dann ist die Anzahl der Mittelfelder mit einem Minus gleich 7 - n. Da jedes Eckwürfelchen drei sichtbare Seiten hat, ergibt sich die Anzahl aller Minusse auf dem gesamten Würfel aus (3 * n) + (7 - n) = 2 * n + 7, ist also ungerade (das Doppelte von n muss grade sein, 7 ist ungerade, und die Summe einer graden und einer ungeraden Zahl ist ungerade). Das kann aber wegen (2) nicht sein, also kann es keine Lösung geben.
Düsseldoc 16.06.2018
3. Geht auch einfacher
Kann man auch anders machen: (1) Die Anzahl aller Minusse auf einer Seite ist immer grade (Beweis: Ist die Anzahl der Eckminusse grade, so ergibt sich als gesuchtes Produkt für das Mittelfeld ein Vielfaches von (-1)*(-1), was immer gleich 1 ist, daher steht in der Mitte ein Plus, und die Anzahl der Minusse bleibt gleich und somit grade. Ist dagegen die Anzahl der Eckminusse ungerade, so ist das Produkt gleich (-1) mal einem Vielfachen von (-1)*(-1), also immer gleich -1, in der Mitte steht also ein Minus. Die Anzahl der Minusse erhöht sich um 1 und wird grade) (2) Die Anzahl aller Minusse auf dem gesamten Würfel ist grade (Beweis: Folgt aus (1), da die Summe grader Zahlen immer auch grade ist) Angenommen, es existiert tatsächlich eine Lösung, d.h. die 14 betrachteten Zahlen (die entweder -1 oder 1 sind) summieren sich zu Null auf. Dann müssen genau 7 dieser Zahlen gleich -1 sein. Wenn nun n die Anzahl der Eckwürfelchen mit einem Minus ist, dann ist die Anzahl der Mittelfelder mit einem Minus gleich 7 - n. Da jedes Eckwürfelchen drei sichtbare Seiten hat, ergibt sich die Anzahl aller Minusse auf dem gesamten Würfel aus (3 * n) + (7 - n) = 2 * n + 7, ist also ungerade (das Doppelte von n muss grade sein, 7 ist ungerade, und die Summe einer graden und einer ungeraden Zahl ist ungerade). Das kann aber wegen (2) nicht sein, also kann es keine Lösung geben.
syracusa 17.06.2018
4.
Eine Fläche kann entweder sein: 4 Ecken +1, 0 Ecken -1, also Mitte +1, also Summe +5 3 Ecken +1, 1 Ecke -1, also Mitte -1, also Summe +1 2 Ecken +1, 2 Ecken -1, also Mitte +1, also Summe +1 1 Ecke +1, 3 Ecken -1, also Mitte -1, also Summe -3 0 Ecken +1, 4 Ecken -1, also Mitte +1, also Summe -3 Es gibt keine Möglichkeit, 6 Seiten mit jeweils entweder 5, 1 oder -3 zu bestücken, und so auf die Summe von 0 über alle Seiten zu kommen. Wenn man nur einmal die -3 einsetzt, dann ist das kleinste, was alle anderen Seiten zusammen haben können, die 5. Wenn man die -3 zweimal einsetzt, dann ist +4 das kleinste, was die anderen Seiten zusammen haben können (Summe wäre -2), aber der nächsthöhere Wert wäre schon der anderen Seiten wäre schon 8, also Gesamtsumme +2. Man kommt bei keiner denkbaren Verteilung von +5, +1 und -3 auf die Seiten auf Null.
U. Haleksy 17.06.2018
5. Textformulierung kommt vor Textverständnis
Nach dem zweiten Logik- oder Sprach-(?)Fehler hab ich aufgehört: 1. Es gibt hier keine benachbarten Ecken, denn zwischen 2 Ecken ist an jeder Seite ein Mittelstück. 2. Jede der 8 Ecken des Würfels trägt nicht ZWEI Zahlen, sondern DREI (weil jede Ecke an 3 Flächen grenzt). Auch wenn ich meine vermuten zu können was der Autor überzeugt war geschrieben zu haben, macht das keinen Spaß. Merke: Bei Logik-Spielchen sollte die Aufgabenstellung schon logisch (und sprachlich) einwandfrei formuliert sein.
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