Verschwundene Dinge So suchen Sie richtig

Schlüssel verlegt? Portemonnaie weg? Menschen suchen oft intuitiv richtig, wie eine mathematische Analyse zeigt. Doch es gibt Situationen, in denen es riskant wird, allein aufs Bauchgefühl zu vertrauen.

Autoschlüssel: Wo liegt er bloß?
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Autoschlüssel: Wo liegt er bloß?

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Wer kennt das nicht? Man will gerade die Wohnung verlassen, doch der Schlüssel ist verschwunden. Er müsste auf dem Tisch liegen - doch da ist er nicht. Wo könnte er sein? Stress! Ist es vielleicht besser, die Suche abzubrechen und einfach die Tür ins Schloss zu werfen? Kinder und Partner haben ja eigene Schlüssel.

Die Suche nach vermissten Dingen beschäftigt auch Wissenschaftler - Thomas Fanshawe von der Oxford University hat das Phänomen nun mathematisch analysiert. Der Statistiker wollte wissen, wie lange sich das Suchen überhaupt lohnt. Und wovon es abhängt, wie intensiv wir uns durch Schubladen, Schrankfächer und Zimmer wühlen.

Lohnt sich das Kramen?

Im Fachblatt "Royal Society Open Science" beschreibt Fanshawe seine Methode an einem simplen Beispiel:

Gesucht ist ein Objekt, zum Beispiel ein Schlüssel. Er könnte in zwei verschiedenen Fächern liegen. Allerdings ist nicht sicher, dass der Schlüssel tatsächlich dort ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 0,5. Dies bedeutet auch, dass mit einer Quote von 50 Prozent kein Schlüssel gefunden wird, weder im ersten noch im zweiten Fach.

Nehmen wir an, wir haben bereits das erste Fach durchsucht, ohne fündig zu werden. Wie groß sind dann die Chancen, dass der Schlüssel in Fach zwei liegt? Lohnt es sich überhaupt weiterzusuchen?

Mathematisch ähnelt diese Frage dem legendären Ziegenproblem. Und wie bei dem aus einer Quizshow stammenden Rätsel ist die Antwort überraschend: Die Wahrscheinlichkeit, den Schlüssel in Fach zwei zu finden, ist eins zu drei und nicht etwa eins zu zwei, wie mancher vielleicht erwartet hat. Die Erklärung dafür und eine ausführliche Beschreibung des Ziegenproblems finden Sie hier:

Suche in zwei Fächern
Das Problem
Sie suchen einen Schlüssel. Er könnte in einem von zwei Fächern liegen - oder auch nicht. Die Wahrscheinlichkeit ihn in einem der beiden Fächer zu finden, beträgt 1/2. Sie haben das erste Fach bereits durchsucht, ohne fündig zu werden. Wie groß sind die Chancen, dass der Schlüssel in Fach Nummer zwei liegt?

Die gängige Antwort lautet wohl 1/2. Allerdings ist sie falsch. Das zeigt die folgende Fallunterscheidung:
Die Rechnung
Folgende Fälle sind möglich: Der Schlüssel ist in Fach 1, in Fach 2 oder in keinem Fach. Weil die Chancen, den Schlüssel zu finden, 1/2 sind, müssen wir den dritten Fall quasi zweimal mitzählen. Dann haben wir insgesamt vier Fälle, und in den ersten beiden ist der Schlüssel tatsächlich da.

Wir wissen, dass im ersten Fach kein Schlüssel liegt. Daher fällt Fall 1 heraus, es sind nur noch die Fälle 2 (Schlüssel in Fach 2), 3 und 4 (kein Schlüssel da) möglich.

Wir haben drei Fälle, die gleich wahrscheinlich sind. Aber nur in einem Fall, dem zweiten, finden wir in Fach zwei einen Schlüssel. Deshalb betragen die Chancen dafür 1/3.
Das Ziegenproblem
Das Rätsel
In einem TV-Studio sind drei Türen aufgebaut. Hinter einer steht ein Auto, der mögliche Gewinn. Hinter den anderen beiden wartet je eine Ziege, die Nieten. Der Kandidat wählt eine Tür, die aber zunächst verschlossen bleibt. Stattdessen öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen - und zwar eine, hinter der eine Ziege steht. Nun bietet der Moderator dem Kandidaten an, dass er sich umentscheiden darf. Soll der Spieler dies tun?
Die Bauchantwort
Viele Menschen antworten spontan: Nein! Was soll sich schon ändern? Doch dieser Gedanke ist falsch, die Chance zum Wechsel der Tür verdoppelt sogar die Gewinnchancen.

Nehmen wir an, der Kandidat wählt Tür eins. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist eins zu drei. Nun könnte man denken, dass das Wechselangebot des Moderators an dieser Wahrscheinlichkeit nichts bringt. Doch das ist ein Trugschluss. Um das zu verstehen, brauchen wir nur die folgenden drei Fälle zu unterscheiden:
Fall eins
Hinter Tür eins steht tatsächlich das Auto. Würde der Kandidat seine Auswahl ändern, wäre der Gewinn verloren. Dies ist also ein schlechter Fall.
Fall zwei
Das Auto steht hinter Tür zwei. Wenn nun der Moderator Tür drei mit der Ziege dahinter öffnet, brächte ein Wechsel von Tür eins zu Tür zwei den Gewinn - sonst geht der Kandidat leer aus. Dies ist also ein günstiger Fall.
Fall drei
Das Auto steht hinter Tür drei. Analog zum vorherigen Fall gilt: Wenn nun der Moderator Tür zwei mit der Ziege dahinter öffnet, brächte ein Wechsel von Tür eins zu Tür drei den Gewinn - sonst geht der Kandidat leer aus. Auch dies ist also ein günstiger Fall.
Fazit: Chancen verdoppelt
Weitere Fälle gibt es nicht. Damit steht fest: Ein Wechsel führt in zwei von drei Fällen zum Erfolg - ein Beharren auf Tür eins nur in einem Fall. Die Siegchance beträgt durch die Wechselchance jetzt also zwei zu drei. Die Wahrscheinlichkeit, mit dem Auto heimzufahren, ist plötzlich doppelt so hoch.
Fanshawe hat natürlich nicht nur die Suche nach Objekten in zwei Fächern analysiert, sondern allgemein in n Fächern, von denen zuvor bereits m Fächer vergeblich durchsucht wurden. Bei m und n handelt es sich um beliebig große natürliche Zahlen, wobei n größer als m ist. Zusätzlich berücksichtigte Fanshawe auch Fehler beim Suchen, also dass man ein Fach öffnet, den darin liegenden Schlüssel aber übersieht. Schließlich berechnete er wieder die Wahrscheinlichkeit, den Schlüssel in den noch nicht geöffneten Fächern zu finden.

Wie stehen die Chancen? Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeit, das gesuchte Objekt in den noch nicht geöffneten Fächern zu finden, wenn man bereits in m der insgesamt n Fächer nachgeschaut hat. Die Zahl q gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das gesuchte Objekt in einem der n Fächer befindet.
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Wie stehen die Chancen? Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeit, das gesuchte Objekt in den noch nicht geöffneten Fächern zu finden, wenn man bereits in m der insgesamt n Fächer nachgeschaut hat. Die Zahl q gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das gesuchte Objekt in einem der n Fächer befindet.

Dabei stellte sich heraus, dass ein entscheidender Faktor die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Schlüssel überhaupt da ist. Also letztlich die Erwartungen des Suchenden, überhaupt fündig zu werden. Je geringer diese Wahrscheinlichkeit ist, umso mathematisch sinnvoller ist es, die Suche abzubrechen, wenn man viele Fächer bereits vergeblich geöffnet hat.

Der liegt ganz sicher in der Küche!

"Wie genau und wie lange wir suchen, hängt davon ab, wie groß wir die Chancen einschätzen, etwas zu finden", erklärt Fanshawe. Diese intuitive Vorgehensweise werde nun mathematisch bestätigt. Der Statistiker kennt das auch aus eigener Erfahrung: "Wenn ich ganz sicher bin, dass der Autoschlüssel in der Küche liegt, werde ich auch bevorzugt dort suchen." Man kontrolliere bestimmte Stellen dann sogar zwei- oder dreimal.

Die eher oberflächliche Suche bei niedrigen Erwartungen kann aber zum Problem werden - etwa beim Brustkrebs-Screening. Ärzte analysieren eine Röntgenaufnahme nach der anderen, nur selten entdecken sie dabei Auffälligkeiten. Ihre Erwartung, kaum fündig zu werden, beeinflusst dabei die Suchintensität. Dies hätten frühere Studien gezeigt, berichtet Fanshawe. Wüssten die Mediziner, dass Funde häufig sind, schauten sie auch genauer hin.

Eine weitere Anwendung seiner Studie sei auch das Screening von Gepäck auf Flughäfen. Fanshawe kann sich vorstellen, dass regelmäßig in Koffern und Taschen verteilte verdächtige Gegenstände die Aufmerksamkeit erhöhen: "Das Sicherheitspersonal weiß dann, dass es auf jeden Fall mit Funden rechnen kann." Dies könnte die Suche intensivieren und verbessern.

Bei der Fahndung nach dem verlegten Autoschlüssel empfiehlt der Statistiker vor allem eins: systematisches Vorgehen. "Suchen Sie nicht oberflächlich oder zufällig. So vermeiden Sie Fehler und finden den Schlüssel hoffentlich schnell."

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insgesamt 161 Beiträge
Alle Kommentare öffnen
Seite 1
santoku03 27.07.2015
1. Weiterlesen lohnt nicht
"Gesucht ist ein Objekt, zum Beispiel ein Schlüssel. Er könnte in zwei verschiedenen Fächern liegen. Allerdings ist nicht sicher, dass der Schlüssel tatsächlich dort ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 0,5. Dies bedeutet auch, dass mit einer Quote von 50 Prozent kein Schlüssel gefunden wird, weder im ersten noch im zweiten Fach." Welcher "Forscher" würde solchen Unsinn verzapfen? Mit 50% Wahrscheinlichkeit im ersten, im zweiten oder in gar keinem Fach, ja? Macht 150%, Mahlzeit.
sebastian.teichert 27.07.2015
2. Hmm
Also ich würde die Intensität der Suche eher daran heften, wie dringend ich den Gegenstand brauche. Aber vllt bin ich auch der einzige der das kurzschließen meines Autos vermeiden möchte? Typisch Theoretiker. Kein Plan. Aber mit verkappten Rechnungen schlau wirken wollen. -.-
eSVau 27.07.2015
3. Ach?
Zitat von santoku03"Gesucht ist ein Objekt, zum Beispiel ein Schlüssel. Er könnte in zwei verschiedenen Fächern liegen. Allerdings ist nicht sicher, dass der Schlüssel tatsächlich dort ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 0,5. Dies bedeutet auch, dass mit einer Quote von 50 Prozent kein Schlüssel gefunden wird, weder im ersten noch im zweiten Fach." Welcher "Forscher" würde solchen Unsinn verzapfen? Mit 50% Wahrscheinlichkeit im ersten, im zweiten oder in gar keinem Fach, ja? Macht 150%, Mahlzeit.
Na, wer hätte das gedacht: wenn der Schlüssel nicht da ist, geht die Wahrscheinlichkeit ihn zu finden gegen null. Ja, die Existenz des Schlüssels scheint wirklich einen entscheidenden Einfluss zu haben.
MartinB. 27.07.2015
4. Zwischen Lesen und Kommentieren....
Zitat von santoku03"Gesucht ist ein Objekt, zum Beispiel ein Schlüssel. Er könnte in zwei verschiedenen Fächern liegen. Allerdings ist nicht sicher, dass der Schlüssel tatsächlich dort ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 0,5. Dies bedeutet auch, dass mit einer Quote von 50 Prozent kein Schlüssel gefunden wird, weder im ersten noch im zweiten Fach." Welcher "Forscher" würde solchen Unsinn verzapfen? Mit 50% Wahrscheinlichkeit im ersten, im zweiten oder in gar keinem Fach, ja? Macht 150%, Mahlzeit.
Zwischen Lesen und Kommentieren sollte immer erst das Verstehen kommen... Zu 50% liegt der Schlüssel in einem der Fächer. Zu 50% liegt er in keinem der beiden Fächer. Statt jetzt den Satz falsch zu verstehen, auf gesamt 150% zu kommen und über den Autor zu lästern, wie wäre es mit nochmal nachdenken und feststellen, dass sich die ersten 50% auf beide Fächer *zusammen* beziehen (also 25% pro Fach)?
Bibendumx 27.07.2015
5. Ärgerlich
Und es ist ist das ärgerlichste, dass man das Gesuchte immer erst dort findet, wo man als letztes gesucht hat!
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