Abstraktion und Eleganz Was ist schöne Mathematik, Herr Ziegler?

Das Fach gilt als dröge. Günter Ziegler aber schwärmt von der Eleganz der Mathematik. Hier erklärt der Berliner Geometrie-Spezialist, was einen raffinierten Beweis ausmacht.

Mathematiker Günter Ziegler
Kay Herschelmann/BMS

Mathematiker Günter Ziegler

Ein Interview von


Mathematik spaltet die Menschen. Die einen lieben die Klarheit und Gewissheit der abstrakten Welt, in der es eigentlich keinen Streit über richtig und falsch geben kann. Die anderen erinnern sich mit Grauen an den Matheunterricht, in dem sie stupide Aufgaben lösen mussten, deren Sinn sie kaum verstanden haben.

Dass Mathematiker nach dem Lesen eines Beweises leuchtende Augen haben und ihn als schön und elegant bezeichnen, dürfte all jene verblüffen, die mit dem Fach nur wenig anfangen können. Aber Schönheit ist tatsächlich eine nicht ganz unwichtige Kategorie, wenn es um das Beurteilen mathematischer Arbeiten geht.

Mathematik wirkt oft kompliziert - und viele Beweise sind es auch. Die philosophische Frage dabei ist, ob das zwingend so sein muss. Und ob es auf zumindest einige Fragen womöglich auch elegante, kürzere Antworten gibt.

Heureka - ich hab's gefunden!
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Wer schöne Mathematik erleben möchte, muss sich die Mühe machen, tiefer in die Gedankenwelt des Fachs einzudringen. Vielleicht findet sie oder er ganz allein einen mathematischen Beweis. Oder erkennt, wie genial und elegant der eine oder andere Mathematiker unlösbar erscheinende Probleme gelöst hat. Etwa die Frage, ob es unendlich viele Primzahlen gibt? (Ja, gibt es.) Oder warum man Zahlen wie Pi, e oder e2 nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen schreiben kann? (Weil sie irrationale Zahlen sind.)

Der 1996 verstorbene ungarische Mathematiker Paul Erdös liebte elegante Mathematik und erzählte Kollegen immer wieder von einem Buch, in dem Gott die perfekten mathematischen Beweise gesammelt habe. Erdös glaubte zwar selbst nicht an die Existenz Gottes. Er meinte aber, als Mathematiker solle man an die Existenz des Buches glauben.

Auch für Laien zu verstehen

Erdös sammelte eifrig Ideen und Vorschläge von Kollegen für das Buch, starb jedoch, bevor das Projekt umgesetzt wurde. 1998 schließlich, zwei Jahre nach seinem Tod, veröffentlichten zwei Berliner Mathematiker, Martin Aigner und Günter Ziegler, das Buch, von dem der Ungar immer gesprochen hatte.

"Proofs from THE BOOK" heißt es in der englischen Erstausgabe, 2002 erschien es auf Deutsch als "Das BUCH der Beweise". In fünf Kapiteln sind darin Dutzende Beweise aufgeführt. Das Buch setzt ein solides mathematisches Grundwissen voraus. Viele Beweise sind zumindest aber für interessierte Laien durchaus zu verstehen.

Gerade arbeiten die beiden Autoren an der sechsten und wohl auch letzten Auflage des Buchs. Im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE erklärt der Geometrie-Spezialist Ziegler, wie Schönheit und Mathematik zusammenkommen.

Zur Person
  • Kay Herschelmann/BMS
    Günter M. Ziegler, Jahrgang 1963, ist Mathematik-Professor an der FU Berlin. Er leitet die Arbeitsgruppe Diskrete Geometrie. 2001 erhielt der den Leibniz-Preis. Als damaliger Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) koordinierte er 2008 das Wissenschaftsjahr der Mathematik. Seit 2016 leitet er die Berlin Mathematical School.

SPIEGEL ONLINE: Sie sammeln die schönsten Beweise der Mathematik. Was verstehen Sie dabei unter schön?

Ziegler: Wir haben uns immer geweigert, die Schönheit eines Beweises zu definieren. Denn das geht genauso wenig wie Kriterien für Schönheit eines Gedichts festzulegen.

SPIEGEL ONLINE: Aber Sie müssen die Schönheit ja doch irgendwie zu fassen kriegen.

Ziegler: Der Franzose Émile Borel hat die Mathematik als "Poesie der Ideen" beschrieben. Für mich ergibt sich die Schönheit daraus, dass Dinge zusammenpassen, dass es überraschende Verbindungen gibt, dass man plötzlich Elemente zusammensetzen kann zu einer Kette, bei der vielleicht auch überraschende Erkenntnisse herauskommen.

SPIEGEL ONLINE: Kann man als Laie die Schönheit der Mathematik nachempfinden? Oder ist das Mathematikern vorbehalten?

Ziegler: Mathematik hat sehr viele verschiedene Ebenen. Die Einsichten, die wir aus der griechischen Mathematik haben, die wir aus der elementaren Zahlentheorie kennen - das sind Sachen, die man auch als Laie goutieren kann. Man muss sich da natürlich auch ein bisschen hineinknien. Aber wer da Lust darauf hat, hat auch die Chance, tolle Einblicke zu bekommen.

SPIEGEL ONLINE: Zum Beispiel?

Ziegler: Das vielleicht beste Beispiel für mich ist der Beweis von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Er gibt uns sogar ein Rezept dafür, wie ich eine neue Primzahl finde, wenn ich schon ein paar habe. Es ist ganz einfach: Ich multipliziere die Primzahlen miteinander, die ich habe. Ich addiere Eins dazu. Und die Zahl, die dabei herauskommt, ist entweder eine neue Primzahl. Oder sie enthält eine neue Primzahl als Faktor. Eine elegante, auch für Laien leicht zu verstehende Beweistechnik ist das Schubfachprinzip.

Methode aus dem "BUCH der Beweise"

SPIEGEL ONLINE: Mancher hat Mathematik in der Schule als ausgesprochen hässlich erlebt: Da wurde stupide gerechnet, man hat mechanisch Werte in Formeln eingesetzt…. Wo bleibt da die Eleganz?

Ziegler: In der Schule geht es eben erstmal darum, Beweistechniken zu lernen. Man lernt das Handwerk, das ist der Pflichtteil. Der Kürteil aber, bei dem man erleben kann, wie Ideen funktionieren, der darf dabei nicht vergessen werden. Wie auch in der großen Kunst steckt auch in schöner Mathematik Handwerk. Man muss die beiden Dinge zusammenbringen.

SPIEGEL ONLINE: Heutzutage legen Mathematiker Beweise vor, die über Hunderte Seiten gehen. Ist das nicht eher hässliche Mathematik?

Ziegler: Die moderne Mathematik ist eine hochentwickelte Wissenschaft. Die ganz kurzen Beweise für neue, große Erkenntnisse kann es kaum mehr geben. Die Tatsache, dass wir heute in der Mathematik so viel weiter sind als vor 200 Jahren, hängt auch damit zusammen, dass wir auf viel größere Theoriegebäude aufbauen können. Wir haben eine viel größere Vielfalt an Hilfsmitteln. Wir arbeiten zum Beispiel mit Computern, um Fallunterscheidungen abzuarbeiten. Damit können wir viel größere Gedankengebäude errichten. Und die passen nicht auf ein paar Seiten.

SPIEGEL ONLINE: Aber wo bleibt die Eleganz Euklids? Bräuchte man dafür nicht auch überschaubare Ideen, also kürzere Beweise?

Ziegler: Wenn ein Beweis hundert Seiten hat, heißt das noch nicht, dass er nicht schön ist. Die Leute, die einen solchen Beweis verstehen, etwa die Arbeit von Andrew Wiles zur Vermutung von Fermat, berichten zum Beispiel, dass der Beweis so viele wunderbare Ideen enthält, dass er wirklich schön ist. Auch wenn es jenseits meiner mathematischen Reichweite liegt, diese Dinge zu verstehen. Um die Schönheit der Arbeit von Wiles zu erkennen, muss man diesen speziellen Bereich der Mathematik über viele Jahre studiert haben.

SPIEGEL ONLINE: Ist mathematische Schönheit dann weniger spontane Eingebung als sehr, sehr harte Arbeit? So wie das vielleicht auch der eine oder andere Künstler sagen würde?

Ziegler: Ein brillanter Beweis ist wie ein funkelnder Diamant. Aber er hat nicht von Anfang an gefunkelt, das ist das Ergebnis eines langen Arbeitsprozesses. Jemand hat den Rohdiamanten gesucht und entdeckt. Das hat womöglich Jahre gedauert, und die Entdeckung hat ihn berühmt gemacht. Der Rohdiamant ist der erste Beweis, er funktioniert, aber er ist meist noch nicht wirklich schön.

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Martin Aigner, Günter M. Ziegler:
Das BUCH der Beweise

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Einen Diamanten muss man schleifen, damit er richtig funkelt. Das ist wiederum schwierig, weil Diamanten ein hartes Material sind (aber genau deshalb sind sie ja nicht nur schön, sondern auch nützlich, das ist bei der Mathematik genauso). Letztlich geht es darum, die Idee eines Beweises immer klarer herauszuarbeiten und unnötiges Beiwerk wegzulassen. Dadurch werden die Beweise oft auch wieder kürzer. Dieser Prozess, das Immer-besser-Aufschreiben von Mathematik, ist ein wesentlicher Teil des Erkenntnisprozesses.



insgesamt 40 Beiträge
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forensicher 01.05.2018
1. Empfehlenswert
Ich besitze dieses Buch (2. Auflage/2003) und kann es nur empfehlen. Allerdings halte ich die Aussage, es sei für den interessierten Laien durchaus zu verstehen, für gewagt. Der interessierte Leser sollte schon eine sehr fundierte mathematische Bildung haben.
Sibylle1969 01.05.2018
2. Sätze der Funktionentheorie
Ich habe Mathematik an der Uni studiert, und mir haben am besten die Beweise von einigen Sätzen in der Funktionentheorie gefallen, das ist das Teilgebiet, das sich mit der Welt der komplexen Zahlen befasst. Da sind einige Beweise von solch einer Kürze und Eleganz, dass es wahrlich erstaunlich ist. Auch gefallen mir die Beweise von einigen Sätzen in der Stochastik gut. Stochastik, Funktionentheorie und Numerische Mathematik waren meine Lieblingsgebiete im Mathematikstudium. Mit Algebra und Geometrie konnte ich hingegen eher wenig anfangen. Ich habe das Buch „Fermats letzter Satz“ gelesen, und auch wenn ich den Beweis von Andrew Wiles nicht im Detail kenne, kann ich mir nicht vorstellen, dass der Beweis „schön“ ist. Dafür ist er zu lang und zu umständlich, da der Satz erst in mehreren Zwischenschritten bewiesen wird. Den einfachen und kurzen Beweis, den Fermat laut eigener Aussage gefunden haben will, hat er also definitiv nicht gefunden, auch wenn natürlich völlig unklar ist, ob Fermat den Satz tatsächlich bewiesen hat, denn sein Beweis ist ja nicht überliefert.
duggy 01.05.2018
3. NICHT für Laien
Hallo! Das Buch ist schön, aber NICHT für Laien geeignet. Ich bin Dipl. Mathematiker und habe in Mathematik promoviert, dennoch sind die meisten Beweise des Buches keine Bettlektüre sondern erfordern konzentriertes nachvollziehen, gerne auch mit Stift und Papier. Wer also eine Buch auf dem Niveau Steven Hawking (Physik), Ian Stewart (Mathematik) o.Ä. erwartet, ist hier falsch.
Sokrates1939 01.05.2018
4. Irrational-Zahlen
Im Zusammenhang mit den Irrational-Zahlen e und Pi hätte noch erwähnt werden können, daß es sich bei beiden um sogenannte transzendente Irrational-Zahlen handelt, weil sie sich nicht als Resultat einer algebraischen Gleichung darstellen lassen. Algebraische Irrational-Zahlen sind beispielsweise Quadratwurzeln von Primzahlen.
stefan.martens.75 01.05.2018
5. Zum Schubladenfachbeweis
Wenn die Chance 1 zu 200.000 ist und 3.5 Millionen Menschen spielen. Dann muss mindestens einer Gewinnen? Was ist den das für ein Beweis? Wie viele Haare exakt ich auf dem Kopf habe ist doch reiner Zufall. Klingt für mich nicht nach einem Beweis sondern reinem postulieren.
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