Weltrekord-Methode In 11,6 Sekunden die 13. Wurzel ziehen

Seine enorme Rechengeschwindigkeit machte ihn zum Weltrekordler. In SPIEGEL ONLINE erläutert Gert Mittring, wie er in nicht einmal zwölf Sekunden die 13. Wurzel einer hundertstelligen Zahl gezogen hat.


Es gibt beim vorliegenden Problem verschiedene Strategien, die Lösung zu finden. Ich versuche, eine Variante, die ich in etwa angewendet habe, zu erläutern. Wer möchte, kann gern alternative Strategien ersinnen. Wünschenswert ist in jedem Fall eine "gedächtnisökonomische" Variante.

Die Ermittlung der achtstelligen (ganzzahligen) 13. Wurzel aus einer hundertstelligen Zahl geschieht in drei Großschritten:

  • Die Schätzung des Aufgabenzahl-Logarithmus,
  • die Division durch 13 (dem Wurzelexponenten). Das Ergebnis ist der Lösungslogarithmus,
  • der Lösungslogarithmus wird durch Delogarithmierung in die Lösung überführt.

Meine "Rekordaufgabenzahl" lautete 7 066 437 381 674 286 102 234 008 830 240 157 375 704 233 170 702 632 731 269 721 516 000 395 709 065 419 973 141 914 549 389 684 111.

Es reicht, die ersten sechs Stellen der hundertstelligen Zahl zu betrachten. Sie fängt gerundet mit "706644" x 1094 an.

Wie kann effizient der Aufgabenzahl-Logarithmus geschätzt werden? Ich weiß nur die Logarithmen der Primzahlen bis 100 auswendig (2, 3, 5, ..., 97). Das sind insgesamt 25 Logarithmenwerte mit jeweils sieben Nachkommastellen - das entspricht vom Gedächtnisaufwand her 15 Telefonnummern.

Der erste, große Schritt:

Eine Schätzung ist folgende, simple Anwendung der Logarithmus-Regeln mittels Zerlegung der Zahl 706644 x 1094 in Primzahlfaktoren und späterem Zusammenfassen (Log 2 + Log 5 = 1):

Log (706644 x 1094)

~ 94 + 2 x Log 2 + 5 x Log 3 + (6 x Log 3 + 2 x Log 5 + Log 29) / 2

= 95 + Log 2 + 8 x Log 3 + Log 29 /2 ~ 99,849199 ... (Der exakte Wert wäre 99,849200...).

Der zweite Schritt ist simpel:

Durch meine Erfahrungen beim Multiplizieren weiß ich sofort, dass 7,68 x 13 = 99,84 ist. Unmittelbar erhalte ich die weiteren Nachkommastellen 07077 (aufgerundet und wohl wissend, dass die Aufgabenlogarithmus-Schätzung eine untere Schranke bildet).

Drittens:

Im letzten Schritt muss ich den Wert 7,6807077 delogarithmieren. Eine grobe lineare Schätzung über

Log 48 = 4 x Log 2 + Log 3 und Log 47

liefert die Anfangsziffern der Lösungszahl 4794. Offenbar gilt

Log 4794 x 104 = 4 + Log 2 + Log 3 + Log 17 + Log 47 (von oben schon bekannt)

~ 7,6806980.

Die Differenz beträgt nur noch 97 x 10-7. Offensichtlich sind 97 x "gut 11 Einheiten" noch zu addieren. Die Schätzlösung ist dann "etwas größer" als 47941067.

Zur Kontrolle lassen sich die Endziffern der Aufgabenzahl analysieren: Weil am Ende der hundertstelligen Zahl die letzten Stellen "11" waren, lässt sich mit einer Regel ableiten, dass die Lösungszahl auf "71" endet. Somit spricht alles für die Lösung "47941071", welche ich dann frei gab und welche die richtige war.

Dr. Dr. Gert Mittring



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