Rätsel der Woche Wie teilt man das Quadrat?

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Von und (Grafik)

2. Teil: Hier geht es zur Lösung


Die Zerlegung klappt für alle geraden natürlichen Zahlen ab n=4.

Für n=4 ist die Lösung einfach - wir vierteln das Quadrat einfach. Wie aber gehen wir für größere n vor?

Folgende Grafik zeigt eine Lösung für n=12.

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Wir teilen die Seitenlänge des Quadrats durch die Hälfte von n, also durch 6. Dies ist die Seitenlänge der elf kleinen Quadrate, die wir am linken und oberen Rand in das große Quadrat einzeichnen. Zusammen mit dem großen Quadrat rechts unterhalb der elf Quadrate ergibt sich die gesuchte Anzahl von zwölf Quadraten.

Die allgemeine Lösung geht folgendermaßen: Wenn n=2k ist, dividieren wir die Seitenlänge l des Quadrats durch k. Damit haben wir die Seitenlänge der 2k-1 kleinen Quadrate, die gemeinsam zwei Streifen der Breite l/k am Rand des großen Quadrats bilden. Dann bleibt noch ein großes Quadrat übrig - macht zusammen 2k=n Quadrate.

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aquin13 14.04.2018
1. Die Lösung ist unvollständig
Es ist für jede 1, 4 und jede natürliche Zahl größer 6 möglich. Die Lösung für ungrade Zahlen vesteckt sich im Bild auf der 1. Seite, die eine zerlegung für 7 Quadrate zeigt.
emil_erpel8 14.04.2018
2.
Zitat von aquin13Es ist für jede 1, 4 und jede natürliche Zahl größer 6 möglich. Die Lösung für ungrade Zahlen vesteckt sich im Bild auf der 1. Seite, die eine zerlegung für 7 Quadrate zeigt.
Da bin ich gespannt, wie Sie ein Quadrat in 1 kleinere Quadrate zerlegen wollen.
h.weidmann 14.04.2018
3.
Das geht nicht nur für gerade n. Die geforderte Zerlegung ist für alle n größer gleich 6 möglich. Für gerade n siehe Herrn Dambecks Lösung. Für ungerade n = 2k + 1 lege man jeweils k - 1 gleich große Quadrate zu dem oberen bzw. linken Streifen aneinander (siehe Zeichnung in n Herrn Dambecks Beweis). Das ergibt 2(k - 1) - 1 = 2k - 3 = n - 4 Quadrate. Dann zerteilt man das große Teilquadrat in 4 Quadrate und erhält somit n - 4 + 4 = n Teilquadrate.
HMH 14.04.2018
4. ... und wie sieht es aus mit ungeraden Zahlen?
Die allgemeinere Frage ohne die Einschränkung auf gerade Zahlen wäre spannender gewesen ...
whitewisent 14.04.2018
5.
Manchmal fühle ich mich hier klein und unbedeutend, oder im falschen Film. Ganz simples Beispiel, Teilung in 28 Quadrate, indem man es in 25 Teile teilt, und eines nochmal in 4. "Die allgemeine Lösung geht folgendermaßen: Wenn n=2k ist, dividieren wir die Seitenlänge l des Quadrats durch k. Damit haben wir die Seitenlänge der 2k-1 kleinen Quadrate, die gemeinsam zwei Streifen der Breite l/k am Rand des großen Quadrats bilden. Dann bleibt noch ein großes Quadrat übrig - macht zusammen 2k=n Quadrate." Wo ist da der Beweis, außer der Feststellung das 2k = n eine bloße Spiegelung von n = 2k ist. Weder ist ein Bezug auf 1/5l noch auf 1/10l zu n dargestellt. "
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