Rätsel der Woche Wie viele neue Bahnhöfe gibt es?

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Von und (Grafik)

2. Teil: Hier geht es zur Lösung


Es sind genau zwei. Und das Netz bestand ursprünglich aus acht Bahnhöfen, nach der Erweiterung sind es zehn.

Man kann die Lösung bestimmt auch durch geschicktes Ausprobieren finden. Dann ist jedoch unter Umständen nicht gesichert, ob es wirklich nur eine Lösung gibt, was der Aufgabentext ja suggeriert.

Ich habe das Problem so gelöst: n soll die ursprüngliche Zahl der Bahnhöfe sein. Durch die Netzerweiterung kommen k neue Bahnhöfe hinzu.

Vor der Erweiterung gab es n*(n-1) verschiedene Fahrkarten, von jedem der n Bahnhöfe zu jedem der n-1 anderen Bahnhöfe.

Nach der Erweiterung um k Bahnhöfe sind es (n+k)*(n+k-1) verschiedene Fahrscheine.

Die Differenz von (n+k)*(n+k-1) und n*(n-1) muss genau 34 ergeben.

34 = n2 + 2nk + k2 - n - k - 1 - (n2 - n)
34 = k2 + 2nk - k

Wir können auf der rechten Seite k ausklammern und erhalten:

34 = k*(k + 2n - 1)

Weil n und k beides natürliche Zahlen sind, müssen k und (k + 2n - 1) Teiler von 34 sein. Die Zahl 34 hat genau vier Teiler:

1, 2, 17, 34

Wir probieren nun einfach diese vier Teiler für k aus und schauen, ob es damit tatsächlich eine Lösung für n gibt.

k=1 führt zu n=17.

k=2 ergibt n=8.

Für k=17 und k=34 existiert jeweils keine positive, ganzzahlige Lösung für n.

Wir haben also zwei Lösungen gefunden. Doch k=1 scheidet aus, weil dann das Netz nur um einen einzigen Bahnhof erweitert worden wäre, in der Aufgabenstellung heiß es jedoch, "es kommen neue Bahnhöfe hinzu" - im Plural! Deshalb bestand das Netz ursprünglich aus acht Bahnhöfen und wurde um zwei erweitert.

Gefunden habe ich diese Aufgabe in einem Buch aus dem Jahr 1981: "Denken mit Spaß" von Richard Zehl.

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supergrobi123 09.09.2018
1. Hm.
Hin- und Rückfahrt sind unterschiedliche Tickets. Damit stehen 34 neue Tickets für 17 neue Strecken. Ein neuer Bahnhof, der mit 17 alten verbunden wird, ergibt doch wohl eben diese 17 neuen Strecken, das Restnetz bleibt ja unverändert. Insgesamt sind es dann 18 Bahnhöfe. Oder mache ich einen Denkfehler?
querulant_99 09.09.2018
2.
Ich bin der Ansicht, dass auch die Lösung mit 17 alten und 1 neuen Bahnhof zulässig ist. In der Regel wird so ein Eisenbahnnetz kontinuierlich ausgebaut, so dass die neuen Bahnhöfe nach und nach einzeln hinzukommen. In diesen Fall müssen rechtzeitig vor der Eröffnung der 18. Station 34 neue Fahrkarten gedruckt werden.
timtooky 09.09.2018
3. Schade. Eigentlich ein schönes Rätsel...
Och nö. Wieder so eine Wort-Aufpass-Geschichte. *rolleyes* Dabei ist dieses Rätsel schön und schwierig genug und hat das gar nicht nötig. Einfach deutlich hinschreiben, dass es sich um mehrere Bahnhöfe handelt und die Leser nicht um ein schönes Rätsel bringen.
anonguest 09.09.2018
4. @supergrobi
Sie machen den gleichen "Fehler" wie ich. "Neue Bahnhöfe" bedeutet, dass es mindestens 2 sein müssen. Ein Bahnhof sind halt keine Bahnhöfe. Etwas spitzfindig, aber muss man wohl so hinnehmen.
Steve B 09.09.2018
5. Was mit Summen
Man kann auch anders herangehen: Wenn man ein Netz aus n Bahnhöfen um einen Bahnhof erweitert, kommen n neue Verbindungen dazu. Erweitert man um zwei oder drei Bahnhöfe, kommen n + (n+1) bzw. n + (n+1) + (n+2) Verbindungen dazu. Die Anzahl der neuen Fahrkahrtenvarianten ist immer doppelt so groß. Bei 34 neuen Fahrkahrtenvarianten lautet die Frage also: Wie lässt sich 17 als Summe von 1, 2, 3 oder mehr aufeinanderfolgenden Zahlen darstellen?
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