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09. September 2018, 07:08 Uhr

Rätsel der Woche

Wie viele neue Bahnhöfe gibt es?

Von und (Grafik)

Auf jedem Bahnhof werden Fahrkarten zu jedem anderen Bahnhof verkauft. Dann wird das Streckennetz erweitert, und 34 neue Fahrkarten kommen hinzu. Wie viele Bahnhöfe gibt es nun?

Der folgenden Knobelei merkt man an, dass sie aus einer anderen Zeit stammt. Erinnern Sie sich noch an vorgedruckte Fahrkarten, die früher an den Ticketschaltern verkauft wurden? Es gab sie fast für jede denkbare Strecke: Berlin-Hamburg zum Beispiel und natürlich auch ein zweites Ticket für die Gegenrichtung Hamburg-Berlin.

Wir sind in einem kleinen Land mit einem Eisenbahnnetz, das aus mehreren Bahnhöfen besteht. An jedem Bahnhof gibt es vorgedruckte Tickets zu kaufen für eine Fahrt zu jedem anderen Bahnhof des Netzes. Hin- und Rückfahrt gelten als verschiedene Tickets, weil Start- und Zielbahnhof ja auf beiden Tickets verschieden sind.

Nun wird das Netz erweitert, es kommen neue Bahnhöfe hinzu. Diese bilden dann zusätzliche Ziele für Reisende von den bisherigen Bahnhöfen - und von den neu hinzugekommenen Bahnhöfen kann man natürlich auch zu jedem anderen Bahnhof reisen, egal ob dieser neu ist oder schon existierte.

Die Druckerei muss infolge der Netzerweiterung 34 neue Fahrkarten in das Sortiment aufnehmen, in ausreichender Menge drucken und an die Bahnhöfe verteilen.

Wie viele Bahnhöfe sind neu hinzugekommen?

Hier geht es zur Lösung

Es sind genau zwei. Und das Netz bestand ursprünglich aus acht Bahnhöfen, nach der Erweiterung sind es zehn.

Man kann die Lösung bestimmt auch durch geschicktes Ausprobieren finden. Dann ist jedoch unter Umständen nicht gesichert, ob es wirklich nur eine Lösung gibt, was der Aufgabentext ja suggeriert.

Ich habe das Problem so gelöst: n soll die ursprüngliche Zahl der Bahnhöfe sein. Durch die Netzerweiterung kommen k neue Bahnhöfe hinzu.

Vor der Erweiterung gab es n*(n-1) verschiedene Fahrkarten, von jedem der n Bahnhöfe zu jedem der n-1 anderen Bahnhöfe.

Nach der Erweiterung um k Bahnhöfe sind es (n+k)*(n+k-1) verschiedene Fahrscheine.

Die Differenz von (n+k)*(n+k-1) und n*(n-1) muss genau 34 ergeben.

34 = n2 + 2nk + k2 - n - k - 1 - (n2 - n)
34 = k2 + 2nk - k

Wir können auf der rechten Seite k ausklammern und erhalten:

34 = k*(k + 2n - 1)

Weil n und k beides natürliche Zahlen sind, müssen k und (k + 2n - 1) Teiler von 34 sein. Die Zahl 34 hat genau vier Teiler:

1, 2, 17, 34

Wir probieren nun einfach diese vier Teiler für k aus und schauen, ob es damit tatsächlich eine Lösung für n gibt.

k=1 führt zu n=17.

k=2 ergibt n=8.

Für k=17 und k=34 existiert jeweils keine positive, ganzzahlige Lösung für n.

Wir haben also zwei Lösungen gefunden. Doch k=1 scheidet aus, weil dann das Netz nur um einen einzigen Bahnhof erweitert worden wäre, in der Aufgabenstellung heiß es jedoch, "es kommen neue Bahnhöfe hinzu" - im Plural! Deshalb bestand das Netz ursprünglich aus acht Bahnhöfen und wurde um zwei erweitert.

Gefunden habe ich diese Aufgabe in einem Buch aus dem Jahr 1981: "Denken mit Spaß" von Richard Zehl.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die vergangenen zehn:

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