Rätsel der Woche Im Würfelglück

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2. Teil: Hier geht es zur Lösung


Es sind knapp 15 Würfe. Ist das mehr, als Sie gedacht hatten? Der exakte Wert liegt übrigens bei 14,7.

Die Aufgabe ist verwandt mit dem Sammelbilderproblem. Dabei geht es um die Frage, wie viele Sammelbilder einer Serie mit verschiedenen Motiven man durchschnittlich kaufen muss, bis die Serie vollständig ist.

Das klassische Beispiel dafür sind Sammelalben für große Fußballturniere. Zur EM 2016 gab es 680 verschiedene Motive. Wer auf das Tauschen mit anderen Sammlern verzichtete, musste im Schnitt fast 5000 Sticker kaufen, um jeden Aufkleber dabei zu haben.

Wir können den Würfel als Serie mit sechs verschiedenen Motiven interpretieren. Jeder Wurf entspricht dem zufälligen Ziehen eines Motivs - und wir möchten jedes Motiv mindestens einmal haben. Mit der Sammelbilder-Formel lässt sich leicht berechnen, wie viele Würfe dafür durchschnittlich nötig sind.

Der erste Wurf ergibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 eine Augenzahl, die wir noch nicht hatten. Also brauchen wir genau einen Wurf, um eine von sechs Augenzahlen zu haben.

Beim zweiten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit p=5/6, eine Zahl zu würfeln, die nicht der zuerst gewürfelten entspricht. Wir brauchen dann im Schnitt 1/p = 6/5 Würfe, um zwei verschiedene Augenzahlen zu haben.

Wenn wir zwei verschiedene Augenzahlen haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Wurf p=4/6, eine der vier Zahlen zu würfeln, die noch fehlen. Um eine dieser Zahlen tatsächlich zur würfeln, sind im Mittel 1/p = 6/4 Würfe nötig.

So geht es immer weiter: Für die vierte Augenzahl sind 6/3 Würfe erforderlich, für die fünfte 6/2 und für die letzte fehlende Augenzahl schließlich 6/1.

Nun addieren wir diese sechs Zahlen und erhalten so die mittlere Anzahl von Würfen, die man braucht, um alle sechs Augenzahlen mindestens einmal zu haben. Das Ergebnis lautet:

1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14,7

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Seite 1
permissiveactionlink 25.02.2018
1.
Angenommen, man fordert eine Wahrscheinlichkeit von 99,9999% dafür, dass nach x Würfen von jeder Augenzahl mindestes eine gewürfelt wurde. Wie groß ist dann x ? Die Anzahl aller möglichen Wurfabfolgen ist dann doch 6^x. Und die Anzahl der Wurfabfolgen, in denen mindestens eine Augenzahl fehlt, ist dann 6 * (5^x). Man kann dann die Gleichung aufstellen : 6*(5^x)/6^x = 0,000001. Löst man diese nach x auf, dann erhält man x = 85,603..., also mindestens 86 Würfe. Für größere Wahrscheinlichkeiten muss man häufiger werfen. Für x = 14,7 erhält man lediglich die Wahrscheinlichkeit von 5^14,7/6^13,7 = 0,4113... bzw 41,13%. Wo steckt mein Fehler ?
herbert.wuenstel 25.02.2018
2. Aufgabe und Lösung passen nicht zusammen.
Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Wie oft muss man ihn werfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist? Bis man jede Zahl mindestens einmal gewürfelt hat, muss man u.U. mit sehr viel mehr Würfen rechnen, als angegeben. Im Lösungstext ist dann erst ersichtlich, wie die Aufgabe gemeint war. Nun addieren wir diese sechs Zahlen und erhalten so die m i t t l e r e Anzahl von Würfen, die man braucht, um alle sechs Augenzahlen mindestens einmal zu haben. Ergebnis: 14,7 mal.
cri cri 25.02.2018
3. Das ist also die mittlere Wahrscheinlichkeit..
.. wenn man 100 Probanden das Würfel Experiment machen lässt, wird die Mehrzahl mit 15 Würfen die 6 Zahlen gewürfelt haben? Wie groß ist aber der Prozentsatz der Teilnehmer die genau 15 Würfe brauchen, bzw. der Prozentsatz derer die weniger oder mehr Würfe benötigen? Oder ist die Berechnung nicht vielmehr so zu verstehen dass ein Prozentsatz von X% 6..15 Würfe braucht und ein Prozentsatz von Y% 16 oder mehr um die Zahlen 1..6 zu erreichen (Gaußsche Glockenkurve)?
rotella 25.02.2018
4. Mein Ergebnis 14 7/10
Ohne die Antwort gelesen zu haben, komme ich auf 14 7/10. Mal sehen, ob es stimmt :) Rechnung: Es gibt sieben Zustände, von z(0) noch gar keiner Zahl erwürfelt bis zu z(6) alle sechs Zahlen erwürft. Wieviele Würfe brauche ich, um von Zustand n auf Zustand n+1 zu kommen? z(n nach n+1) = n/6 * (1 + z(n nach n+1)) + (6 - n)/6 *(1) Der erste Teil n/6 * (1 + z(n nach n+1)) steht für den Fall, dass ich eine bereits erwürfelte Zahl noch einmal würfele, der zweite Teil (6 - n)/6 *(1) für den Fall, dass ich eine noch nicht erwürfelte Zahl erwürfele. Damit errechne ich z(0) bis z(5) und addiere die errechneten durchschnittlichen Anzahlen an Würfen. z(0 nach 1) = 1 z(1 nach 2) = 6/5 z(2 nach 3) = 3/2 z(3 nach 4) = 2 z(4 nach 5) = 3 z(5 nach 6) = 6 z(6) ist der Endzustand, bei dem keine weiteren Würfe notwendig sind. Summe = 1 + 2 + 3 + 6 + 12/10 + 15 /10 = 14 7/10. Wenn das stimmt und es keinen einfacheren Rechenweg gibt, war das für ein Rätsel der Woche diesmal ein eher schwierigeres Rätsel.
sepia688 25.02.2018
5. Frage falsch gelöst
Die Frage lautet, wie oft man würfeln muss, um jede Zahl mindestens 1x zu würfeln. Die Lösung bezieht sich aber auf die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit. Also nicht die Antwort darauf, bei wie vielen Würfen SICHER jede Zahl einmal gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeit wird zwar verschwindend gering, aber für eine konkrete Antwort müsste man eine gewisse Wahrscheinlichkeit annehmen - wie Forist #1 bereits angemerkt hat.
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