Rätsel der Woche Im Würfelglück

Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Wie oft muss man ihn werfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist?

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Von und (Grafik)


Sabine spielt mit einem Würfel. Immer wieder lässt sie ihn über den Tisch rollen. Welche Augenzahl dabei herauskommt, ist Zufall - das weiß Sabine natürlich.

Aber andererseits unterliegt auch der Zufall gewissen Gesetzmäßigkeiten. Wenn man den Würfel oft genug wirft, treten die sechs verschiedenen Augenzahlen etwa gleich häufig auf.

"Weil die Werte gleich wahrscheinlich sind", meint Sabine, "müsste ich nach einer gewissen Anzahl von Würfen doch eigentlich jede Augenzahl von 1 bis 6 mindestens einmal gewürfelt haben, oder?"

So ganz kann das nicht stimmen, stellt sie nach kurzem Nachdenken fest. "Ich kann ja auch immer wieder eine 1 würfeln." Die Wahrscheinlichkeit für eine solche lange Serie aus Einsen ist zwar sehr, sehr klein - aber eben nicht null.

Sabine stellt die Frage daher etwas anders: "Wie oft muss ich einen Würfel im Durchschnitt werfen, bis jede der Augenzahlen von 1 bis 6 mindestens einmal aufgetreten ist?"

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insgesamt 97 Beiträge
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Seite 1
permissiveactionlink 25.02.2018
1.
Angenommen, man fordert eine Wahrscheinlichkeit von 99,9999% dafür, dass nach x Würfen von jeder Augenzahl mindestes eine gewürfelt wurde. Wie groß ist dann x ? Die Anzahl aller möglichen Wurfabfolgen ist dann doch 6^x. Und die Anzahl der Wurfabfolgen, in denen mindestens eine Augenzahl fehlt, ist dann 6 * (5^x). Man kann dann die Gleichung aufstellen : 6*(5^x)/6^x = 0,000001. Löst man diese nach x auf, dann erhält man x = 85,603..., also mindestens 86 Würfe. Für größere Wahrscheinlichkeiten muss man häufiger werfen. Für x = 14,7 erhält man lediglich die Wahrscheinlichkeit von 5^14,7/6^13,7 = 0,4113... bzw 41,13%. Wo steckt mein Fehler ?
herbert.wuenstel 25.02.2018
2. Aufgabe und Lösung passen nicht zusammen.
Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Wie oft muss man ihn werfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist? Bis man jede Zahl mindestens einmal gewürfelt hat, muss man u.U. mit sehr viel mehr Würfen rechnen, als angegeben. Im Lösungstext ist dann erst ersichtlich, wie die Aufgabe gemeint war. Nun addieren wir diese sechs Zahlen und erhalten so die m i t t l e r e Anzahl von Würfen, die man braucht, um alle sechs Augenzahlen mindestens einmal zu haben. Ergebnis: 14,7 mal.
cri cri 25.02.2018
3. Das ist also die mittlere Wahrscheinlichkeit..
.. wenn man 100 Probanden das Würfel Experiment machen lässt, wird die Mehrzahl mit 15 Würfen die 6 Zahlen gewürfelt haben? Wie groß ist aber der Prozentsatz der Teilnehmer die genau 15 Würfe brauchen, bzw. der Prozentsatz derer die weniger oder mehr Würfe benötigen? Oder ist die Berechnung nicht vielmehr so zu verstehen dass ein Prozentsatz von X% 6..15 Würfe braucht und ein Prozentsatz von Y% 16 oder mehr um die Zahlen 1..6 zu erreichen (Gaußsche Glockenkurve)?
rotella 25.02.2018
4. Mein Ergebnis 14 7/10
Ohne die Antwort gelesen zu haben, komme ich auf 14 7/10. Mal sehen, ob es stimmt :) Rechnung: Es gibt sieben Zustände, von z(0) noch gar keiner Zahl erwürfelt bis zu z(6) alle sechs Zahlen erwürft. Wieviele Würfe brauche ich, um von Zustand n auf Zustand n+1 zu kommen? z(n nach n+1) = n/6 * (1 + z(n nach n+1)) + (6 - n)/6 *(1) Der erste Teil n/6 * (1 + z(n nach n+1)) steht für den Fall, dass ich eine bereits erwürfelte Zahl noch einmal würfele, der zweite Teil (6 - n)/6 *(1) für den Fall, dass ich eine noch nicht erwürfelte Zahl erwürfele. Damit errechne ich z(0) bis z(5) und addiere die errechneten durchschnittlichen Anzahlen an Würfen. z(0 nach 1) = 1 z(1 nach 2) = 6/5 z(2 nach 3) = 3/2 z(3 nach 4) = 2 z(4 nach 5) = 3 z(5 nach 6) = 6 z(6) ist der Endzustand, bei dem keine weiteren Würfe notwendig sind. Summe = 1 + 2 + 3 + 6 + 12/10 + 15 /10 = 14 7/10. Wenn das stimmt und es keinen einfacheren Rechenweg gibt, war das für ein Rätsel der Woche diesmal ein eher schwierigeres Rätsel.
sepia688 25.02.2018
5. Frage falsch gelöst
Die Frage lautet, wie oft man würfeln muss, um jede Zahl mindestens 1x zu würfeln. Die Lösung bezieht sich aber auf die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit. Also nicht die Antwort darauf, bei wie vielen Würfen SICHER jede Zahl einmal gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeit wird zwar verschwindend gering, aber für eine konkrete Antwort müsste man eine gewisse Wahrscheinlichkeit annehmen - wie Forist #1 bereits angemerkt hat.
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