Rätsel der Woche Zaubern mit Zahlen

Die Zuschauer nennen zwei beliebige Ziffern - ein Zauberer bildet daraus eine sechsstellige Zahl. Diese ist immer durch 7 teilbar. Wie ist das möglich?

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Von und (Grafik)


Mit Zahlenmagie kann man Menschen beeindrucken. Sie kennen vielleicht den Trick, bei dem ein Zuschauer sich eine Zahl aussucht und diese für sich behält. Dann bittet der Zauberer den Zuschauer, mit dieser Zahl eine aus mehreren Schritten bestehende Berechnung auszuführen. Am Ende verrät der Zauberer das richtige Ergebnis, obwohl er die Ausgangszahl gar nicht kannte.

Der Zahlentrick aus diesem Rätsel ist von etwas anderer Art. Ein Zauberer bittet zwei Zuschauer, ihm jeweils eine Ziffer größer als Null zu nennen. Also je eine einstellige, positive, ganze Zahl. Wir nennen diese beiden Ziffern A und B.

Dann bildet der Zauberer aus diesen beiden Ziffern die folgende sechsstellige Zahl:

ABABAB

Er schreibt sie auf ein großes Blatt Papier und behauptet: "Diese Zahl ist immer durch 7 teilbar - egal welche beiden Ziffern A und B Sie mir auch nennen."

Die Zuschauer staunen. Stimmt das wirklich für alle denkbaren Ziffern A und B? Falls ja, warum?

insgesamt 54 Beiträge
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loquimur 28.05.2017
1. Einfacher
Die Zahl ABABA ist (10101 * B) + (101010*A), wie man leicht sieht. Denn die Nuller beider Terme bleiben bei der Multiplikation Nuller, die Einser werden die Ziffer A bzw. B. Ein Überlauf von einer Stelle zur nächsten kommt bei diesen Multiplikationen auch nicht vor (denn 1 * 9 ist 9, und sowohl A als auch B sind nicht größer als 9). Nun gilt: 10101 ist 7 * 1443, also durch 7 teilbar; und 101010 ist das Zehnfache von 10101, also auch durch 7 teilbar. Damit ist das A-fache von 101010 sowie das B-fache von 10101 auch durch 7 teilbar -- somit auch die Summe.
Boris Feinbrandt 28.05.2017
2. Alternative Lösung
Jede Zahl der Form ABABAB kann durch x * 10101 dargestellt werden. Beispiel: 262626 = 26 * 10101, 888888 = 88 * 10101 etc. 10101 ist durch 7 teilbar, also sind auch alle Vielfachen durch 7 teilbar.
rotella 28.05.2017
3. klappt immer, weil:
ABABAB = 3 * 7 * 13 *37 * (10 *A + B) hat unabhängig von A oder B die Teiler 3, 7, 13 und 37. Die Zahl ist also stets durch 3, 7 , 13 oder 37 oder beliebigen Produkten aus diesen Primzahlen teilbar.
lorn order 28.05.2017
4. wozu einfach wo es auch schwierig geht
der schöne Beweis ist überhaupt nicht notwendig. ABABAB ist gleich AB mal 10101. 10101 geteilt durch 7 ist gleich 1443. Damit ist auchABABAB = AB * 10101 durch 7 teilbar.
derneuetom 28.05.2017
5. etwas umständlich, oder?
B + 10 A + 100 B + 1000 A + 10000B + 100000 A =10101 B + 101010 A = 10101 x (B + 10 A) und: 10101 / 7 = 1443 ... fertig!
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