Rätsel der Woche Schaffen Sie genau 100 Punkte?

Die Punktzahlen auf dieser Zielscheibe sind seltsam, damit Ihre Aufgabe nicht zu leicht ist. Wie viele Pfeile brauchen Sie, um auf exakt 100 Punkte zu kommen?

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Von und (Grafik)


Bogenschießen ist eine eher exotische Sportart. Und exotisch darf man auch die Punkteverteilung auf der Zielscheibe nennen, die sich der Rätselerfinder Sam Loyd schon vor mehr als hundert Jahren ausgedacht hat.

Ein Treffer im äußersten Ring gibt 16 Punkte. Weiter innen folgen die Punktzahlen 17, 23, 24 und 39. Und im Kreis in der Mitte steht eine 40 - siehe oben.

Sie sollen genau die Zahl von 100 Punkten erreichen. Wie viele Pfeile brauchen Sie dafür, wenn wir davon ausgehen, dass Sie immer den Ring treffen, den Sie anvisiert haben?



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dasfred 30.06.2018
1. Schöne Übung zum Kopfrechnen
Hatte zuerst geprüft, ob sich die hohen Zahlen einsetzen lassen. Da gab es dann keine Kombination, die genau auf hundert führt. Zahlenkombinationen, die zu vierzig oder achtzig summieren nutzen auch nicht. Als klar war, zwei mal siebzehn plus sechzehn ergibt fünfzig, war klar, ich brauche sechs Pfeile. Alle höheren Ringe führen am Ziel vorbei.
hbbroeker 30.06.2018
2. Modulo 8
Mein Beweis funktioniert mit deutlich weniger was-wäre-wenn, finde ich. Wenn man sich die beteiligten Zahlen ansieht, sticht heraus, dass drei der sechs Ringe durch 8 teilbare Zahlen tragen. Das legt nahe, sich das durch eine "modulo 8" Brille anzusehen, also nur zu betrachten, was bei der Division durch 8 als Rest herauskommt. Die anderen drei Ringe haben modulo 8 den Wert 1 (17) bzw. 7 (23 und 39). Das Ziel, 100 hat modulo 8 den Wert 4. Dazu kommt, dass 7 modulo wie -1 wirkt. Um mit diesen Zutaten das Ziel 4 modulo 8 zu erreichen, braucht man mindestens vier mal +1, oder vier mal -1. Letzteres ergibt -4, und das ist modulo 8 gleich +4. Andere Kombinationen bringen einen nicht weiter, weil sich dann +1 und -1 gegenseitig aufheben, statt dass man näher an +4 bzw. -4 kommt. Jetzt kommt die modulo 8 Brille wieder ab, und man sieht: vier mal Rest 7 hat mindestens 92 Punkte ... das klappt nicht, weil man die verbleibenden 8 nicht mehr schafft. Bleiben also die Möglichkeit mit vier mal Rest 1. Die erreicht man mit vier Schüssen auf die 17, für insgesamt 68 Punkte. Dann braucht man noch 32. Das erfordert zwei mal die 16, und somit insgesamt 6 Pfeile.
rotella 30.06.2018
3. Welche Zahl lässt sich NICHT darstellen?
Nun lässt sich leicht beweisen, dass sich alle Zahlen ab einer bestimmten Größe aus den gegebenen sechs Summanden bzw. deren Vielfachen (0x, 1x, 2x, 3x, ...) darstellen lässt, welches ist aber die größte Zahl, bei der das nicht möglich ist?
timnapf 30.06.2018
4. Etwas kniffliigere Frage: Die größte Zahl, die man NICHT bilden kann
Die 100 geht ganz gut, über 100 kann man auch alle Zahlen bilden. Aber welches ist die größte Zahl, die man NICHT als Summe der genannten Zahlen bilden kann?
timnapf 30.06.2018
5. Andere Abwandlung
Nenne für jede Pfeilzahl die kleinste Zahl, für die man mindestens diese Anzahl von Pfeilen benötigt. Beispiel: 100 ist die kleinste Zahl, für die man mindestens 6 Pfeile benötigt. Und 345 ist die kleinste Zahl, für die man mindestens 10 Pfeile benötigt.
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