Pi-Rekord: Wie Bellard gerechnet hat

Im Januar 2010 hat der Franzose Fabrice Bellard einen Weltrekord aufgestellt: Er hat die Kreiszahl Pi auf knapp 2,7 Billionen Dezimalstellen genau ermittelt. Das Ergebnis benötigte einen Speicherplatz von 1137 GB*.

Hier einige Nachkommastellen von Pi in der Dezimaldarstellung:

Kommastellen von Pi in der Dezimaldarstellung
Position Dezimalstellen
1 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
51 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
951 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
1.001 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
1.951 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
2.001 9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2.951 9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
3.001 5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
3.951 2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
4.001 6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4.951 7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5.001 5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
5.951 2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
6.001 2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
6.951 8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
7.001 4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
7.951 8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
8.001 5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
8.951 2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9.001 9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
9.951 4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 5256375678
10.001 5667227966 1988578279 4848855834 3975187445 4551296563
19.951 2968106203 7765788371 6690910941 8074487814 0490755178
20.001 2038565390 9910477594 1413215432 8440625030 1802757169
29.951 2271724863 2202889842 5125287217 8260305009 9451082478
30.001 3572905691 9885554678 8607946280 5371227042 4665431921
39.951 5091576463 9074693619 8815078146 8526213325 2473837651
40.001 1929901561 0918977792 2008705793 3964638274 9068069876
49.951 0652623405 3394391421 1127181069 1052290024 6574236041
50.001 3009369188 9255865784 6684612156 7955425660 5416005071
59.951 7057843289 5980288233 5059828208 1966662490 3585778994
60.001 0333152274 8177769528 4368163008 8531769694 7836905806
69.951 2193448667 3248275907 9468078798 1942501958 2622320395
70.001 1312520141 0996053126 0696555404 2486705499 8678692302
79.951 0726460556 8592577993 2207033733 3398916369 5043466906
80.001 9482843662 9980037414 5276277165 4762382554 6170883189
89.951 3024138051 6490717456 5964853748 3546691945 2358031530
90.001 1969160480 9946068149 0403781982 9732360930 0871357607
99.951 7015078933 7728658035 7127909137 6742080565 5493624646
100.001 4126002437 9684543777 3390264725 1281941632 0076848736

Der Großteil der Berechnung erfolgte laut Bellard auf einem handelsüblichen Desktop-Computer im Wert von weniger als 2000 Euro. Die vorangegangenen Rekorde seien seit 1995 mithilfe mehrerer Millionen Euro teurer Supercomputer erzielt worden.

Folgende Berechnungszeiten gibt Bellard an:

  • Berechnung der Stellen in der Binärdarstellung: 103 Tage
  • Überprüfung der Stellen in der Binärdarstellung: 13 Tage
  • Umwandlung in die Dezimaldarstellung: 12 Tage
  • Überprüfung der Umwandlung in die Dezimaldarstellung: 3 Tage
  • Insgesamt: 131 Tage

Der bisherige Rekord mit ungefähr 2,577 Billionen Dezimalstellen wurde von Daisuke Takahashi am 17. August 2009 veröffentlicht.

Formeln und Überprüfung

Für die Hauptberechnung benutzte Bellard den sogenannten Chudnovsky-Algorithmus, der das Ergebnis in der Binärdarstellung lieferte. Anschließend sei dieses Ergebnis in die Dezimaldarstellung umgewandelt worden.

Das Ergebnis in der Binärdarstellung, so Bellard, wurde anhand einer vom ihm selbst entwickelten Formel mithilfe des Bailey-Borwein-Plouffe-Algorithmus berechnet, der die n-te Stelle in der Hexadezimaldarstellung von Pi liefert. Mit diesem Algorithmus seien die letzten 50 Hexadezimalstellen des Ergebnisses in der Binärdarstellung überprüft worden. Eine Prüfsumme modulo einer 64-Bit-Primzahl in der letzten Multiplikation des Chudnovsky-Algorithmus habe für eine vernachlässigbare Fehlerwahrscheinlichkeit gesorgt.

Die Umwandlung der Binär- in die Dezimaldarstellung wurde anhand einer Prüfsumme modulo einer 64-Bit-Primzahl überprüft, so Bellard.

Hardware

Technische Daten des für die Berechnung benutzten PCs:

  • Core-i7-Prozessor mit 2,93 GHz
  • 6 GB* RAM
  • 7,5 TB auf fünf Festplatten mit jeweils 1,5 TB (Seagate Barracuda 7200.11)

Die Datensicherung erfolgte auf Festplatten mit 2 TB (Seagate Barracuda LP).

Die Überprüfung der Stellen in der Binärdarstellung benötigte auf 9 vernetzten Arbeitsplatzrechnern 34 Stunden. Mit einem Mehraufwand von 13 Tagen hätte die Überprüfung allerdings auch auf demselben PC wie die Hauptberechnung stattfinden können, so Bellard.

Betriebssystem

Als Betriebssystem wurde die 64-Bit-Linux-Distribution Fedora 10 (Red Hat) benutzt. Der Festplattenspeicher von 7,5 TB wurden per Software-RAID-0 mit dem Dateisystem ext4 verwaltet. Während der Berechnung wurden Dateien mit einer Größe von bis zu 2,5 TB gehandhabt.

Pi-Software

Sämtliche Softwareprogramme hat Bellard nach eigenen Angaben selbst geschrieben. Der wichtigste Teil sei eine Programmbibliothek, mit deren Hilfe sehr große Zahlen auf der Festplatte rechnerisch beliebig genau gehandhabt werden können. Technische Einzelheiten stehen hier zur Verfügung.


* Es werden die Standard-SI- und Binärpräfixe benutzt. Beispielsweise:

1 GB = 10^9 Byte
1 TB = 10^12 Byte
1 GiB = 2^30 Byte (ca. 1,07 GB)

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