Statik Diese Brücken haben den Bogen raus

Das Design von Brückenbogen ist Jahrhunderte alt. Nun hat eine Forscherin aus England herausgefunden: Die bislang genutzten Formen sind gar nicht ideal.

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Der Engländer Robert Hooke experimentierte mit einer hängenden Kette, um die Idealform für einen gemauerten Bogen zu finden. 1670 präsentierte der Universalgelehrte seine Idee vor der Royal Society in London.

Basis sei die Kurve, die sich beim Hängen einer Kette zwischen zwei gleich hohen festen Punkten ergebe, erklärte Hooke damals. Man brauche diese Kurve nur umzudrehen und erhalte die Form eines stabilen Bogens.

Diese sogenannte umgekehrte Kettenlinie wird bis heute von Architekten und Statikern genutzt, etwa von Antoni Gaudí im berühmten Casa Milà in Barcelona oder beim spektakulären, 192 Meter hohen Gateway Arch in St. Louis (siehe Fotostrecke oben).

Heute wissen wir, dass die Kettenlinie tatsächlich die statisch ideale Lösung darstellt, solange das Eigengewicht des Bogens so groß ist, dass man die vom Bogen getragene Last im Vergleich dazu vernachlässigen kann. Manche Bogen besitzen aber auch eine Parabelform, die optimal für Brücken ist, bei denen das Eigengewicht des Bogens gegenüber der Decklast vernachlässigbar klein ist, etwa bei gemauerten Viadukten.

Biegemomente minimiert

Wanda Lewis, Statik-Professorin an der University of Warwick, hat die Frage nach dem perfekten Brückenbogen nun allgemein beantwortet, also für all die Varianten, die nicht zu den beiden Spezialfällen passen. Das mathematische Modell dazu beschreibt sie im Fachblatt "Proceedings A" der Royal Society.

Das Ziel von Lewis war, die am Bogen auftretenden Biegemomente möglichst klein zu halten. So ermittelte sie die optimale Bogenform, die sich durchaus von der umgekehrten Kettenlinie und der Parabel unterscheidet, wenn auch nur minimal - siehe folgendes Diagramm:

Der ideale Bogen

Hinweis: Sie können in der Legende eine oder mehrere Linien anklicken, dann werden diese im Diagramm nicht mehr angezeigt, wodurch verdeckte Linien sichtbar werden.

Die oberen drei Kurven zeigen die von Lewis berechnete optimale Lösung im Vergleich zu Parabel und Kettenlinie für den Fall, dass der Bogen doppelt so breit wie hoch ist. Die unteren drei Linien sind kaum noch zu unterscheiden - hier ist der Bogen viermal so breit wie hoch.

"Für Brückenbogen existieren bereits viele verschiedene Optimierungslösungen", sagt Lewis, "aber nach meinen Recherchen haben diese unrealistische Annahmen oder gehen von starken Vereinfachungen aus." Parabel und Kettenlinie würden nur für die Spezialfälle gelten, wenn entweder die Masse des Bogens oder die Deckenlast der Brücke vernachlässigbar seien. "Meine Berechnungen gelten, wenn Bogenmasse und Deckenlast eine Rolle spielen."

Bei einer geringen Krümmung der Kurve, also einem flachen Bogen, seien die Unterschiede zwischen ihrer Lösung und den bekannten Varianten nur sehr gering. Ohnehin kann man dann auf den ersten Blick Parabel und Kettenlinie kaum unterscheiden. "Doch je stärker die Krümmung des Bogens ist, umso weiter ist die optimale Lösung von der Parabel und der Kettenlinie entfernt."

Je steiler, umso tragfähiger

Der Bremer Bauingenieur Martin Speth hält die Theorie von Lewis für "spannend", glaubt aber nicht, dass die berechneten Bogen in der Praxis eine große Rolle spielen werden. Die Unterschiede seien nur minimal - vor allem bei flachen Bogen.

Konstruktion von Martin Speth: Schalenbogen aus Mauerwerk
Martin Speth

Konstruktion von Martin Speth: Schalenbogen aus Mauerwerk

Der Professor für Architektur an der Hochschule Bremen hat sich selbst intensiv mit Bogenstatik beschäftigt - auch in seiner Dissertation, in der er 15 Meter weit spannende Brücken aus zwölf Zentimeter dicken Backsteinen baute - siehe Foto über diesem Absatz.

"Die Ideallinie eines Brückenbogens hängt von der Belastung ab", sagt Speth. "Je steiler ein Brückenbogen ist, umso größere Lasten kann er halten." Die von Lewis berechneten Bogen dürften nur schwer umzusetzen sein, meint er. "Zum Beispiel wirken sich Temperaturschwankungen oder nachgebende Auflagen gravierend aus - besonders bei flachen Bogen."

Lewis räumt ein, dass ihre Arbeit primär theoretischer Natur ist. Doch angesichts immer präziserer Fertigungsverfahren glaubt sie trotzdem an eine Umsetzung. Womöglich lässt sich so Stahl sparen, weil die Beanspruchung des Materials geringer ist.

Bis ans unterste Limit wird aber kein Statiker gehen. Schon aus Sicherheitsgründen planen sie immer eine sogenannte Tragreserve mit ein. Meist ist diese genauso groß wie das Eigengewicht und die Belastung durch den Verkehr zusammen. Treten aber technische Defekte auf, kann es trotzdem zu einem Einsturz kommen. Wie im August 2008, als eine achtspurige Brücke über den Mississippi in Minneapolis kollabierte und 50 Autos ins Wasser fielen.

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insgesamt 11 Beiträge
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LJA 10.06.2016
1. Der
Gateway Arch in St. Louis ist von daher ein schlechtes Beispiel, als das es sich dabei um ein reines Kunstwerk handelt, welches deshalb auch keine Last zu tragen hat, außer sich selbst. Ganz anders als Brücken oder Stützgewölbe.
wilam 10.06.2016
2. mathematisch
hatte Leibniz schon die Kettenlinie untersucht, auch unter verschiedenen Bedingungen. In der Praxis, waren aber soviele andere Bedingungen (Minimierung des Bogenschubs, Verkehrslasten, Fertigungsmöglichkeiten...) entscheidend, dass die Jungs besser mit Überlieferung und statischem Gefühl (s. Loriot) lagen.
querulant_99 10.06.2016
3.
Zitat von wilamhatte Leibniz schon die Kettenlinie untersucht, auch unter verschiedenen Bedingungen. In der Praxis, waren aber soviele andere Bedingungen (Minimierung des Bogenschubs, Verkehrslasten, Fertigungsmöglichkeiten...) entscheidend, dass die Jungs besser mit Überlieferung und statischem Gefühl (s. Loriot) lagen.
Leibniz konnte aber damals nicht ahnen, dass über seine Brücken Gigaliner fahren werden.
radnomade 10.06.2016
4. Gaudi hatte den Bogen raus
die oben geschilderten zusätzlichen Lasten annahmen auf die Kettenlinie waren Gaudi sehr wohl bekannt. Auch wenn er dafür keine PC Programme hatte und die vorhandenen Rechenmodelle hierfür keine Lösung vorsahen behalf er sich einfach mit viel einfacheren Mitteln. Er formte einfach eine negative Kettenlinie mit einer aufgehängten Kette und befestigte an den Stellen, wo zusätzliche Lasten auf die Kette einwirkte, Sandsäcke welche im proportionalen Verhältnis entsprechend mit Sandgewicht gefüllt waren. Sehr schön kann man das übrigens an Gaudis Baumodell in der Sagrada Familia sehen. Gaudi fertigte zudem keine Entwurfspläne an sondern erst das Modell, danach wurden dann die entsprechende Baupläne davon erstellt.
Achmuth_I 10.06.2016
5. Durchaus möglich...
Zitat von wilamhatte Leibniz schon die Kettenlinie untersucht, auch unter verschiedenen Bedingungen. In der Praxis, waren aber soviele andere Bedingungen (Minimierung des Bogenschubs, Verkehrslasten, Fertigungsmöglichkeiten...) entscheidend, dass die Jungs besser mit Überlieferung und statischem Gefühl (s. Loriot) lagen.
...das er sich hier von Hooke inspirieren lassen hat.
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