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Rätsel der Woche: Das Lebkuchenproblem aus der Abi-Prüfung
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Waren die Prüfungsaufgaben in Mathe zu schwer, wie viele Abiturienten beklagt haben? Testen Sie Ihre eigenen Mathe-Skills - an einer Abi-Aufgabe aus Bayern.

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bran_winterfell 12.05.2019, 23:51
100. Volksfest

Zitat von permissiveactionlink
… Wenn zum Volksfest 61 Personen erscheinen, und das 11. Lebkuchenherz noch nicht vergeben wurde, dann ist die exakte Wahrscheinlichkeit (51/61)^24 * (10/61) * 25 + (51/61)^25 = 6,7144 Prozent. Das ist ein prozentualer Unterschied von immerhin 6,754 Prozent. Nicht weltbewegend, aber auch nicht wirklich wenig. Ich bestreite nicht, dass die Schüler hätten wissen müssen, dass die Aufgabe mit einer festen Wahrscheinlichkeit von 1/6 zu berechnen ist, und wie das geht. Aber wenn man das Auswahlexperiment mit den 25 Zufallsauswahlen bei dem Volksfest mit 61 Besuchern 100.000 mal durchführen würde, dann hätte man in 6714 Durchgängen nur höchstens einmal einen Besucher mit Lebkuchenherz dabei, also nicht nur in 6290 Durchgängen. Bei der Aufgabe wäre der Hinweis hilfreich gewesen, dass die Anzahl der Besucher als so groß anzunehmen ist, dass die Auswahlwahrscheinlichkeit als 1/6 anzunehmen ist, auch dann, wenn die Besucherzahl kein Vielfaches von sechs ist.
Ich wage ja doch stark zu bezweifeln, dass sich die hier angesprochenen "Volksfeste" mit 61 Personen oder gar nur 6 Personen mit der Lebenswirklichkeit der Schüler decken. Und dass nicht wirklich genau "jeder sechste" Besucher so ein Herz trägt, sollte nach dem dazugehörigem Mathematikunterricht auch jedem Schüler klar sein. Und hoffentlich auch, das Ergebnisse wie 6,2896% eine Scheingenauigkeit vortäuschen, die es nicht gibt. "Höchstens einmal Lebkuchen" ist eher unwahrscheinlich, kann aber durchaus in etwa einem von 20 Fällen vorkommen - ist also nicht völlig ausgeschlossen. Wenn Schüler das so ausrechen + einschätzen kann, finde ich das gut und auch vergleichsweise wichtig.

"Aber wenn man das Auswahlexperiment mit den 25 Zufallsauswahlen bei dem Volksfest mit 61 Besuchern 100.000 mal durchführen würde, dann hätte man in 6714 Durchgängen nur höchstens einmal einen Besucher mit Lebkuchenherz dabei, also nicht nur in 6290 Durchgängen." - das ist aber streng mathematisch gesehen nicht ganz korrekt und es wäre ziemlicher Zufall, wenn tatsächlich 6714 bzw. 6290 rauskäme ;-).

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IQ149 13.05.2019, 00:39
101. Drehkreuz mit Lebkuchen-Herz-Auswurf

Die Besucher eines berechenbaren Volksfestes betreten dieses durch ein zentrales Drehkreuz. Dort werden sie gezählt und jedem sechsten fällt automatisch ein Lebkuchenherz um den Hals. Das ist eine ziemlich kranke Vorstellung vom Ablauf eines Festes und vor allem von dem, was Stochastik dabei leisten kann. Dann doch lieber ohne das ganze Primborium: In einem Zufallsexperiment tritt das Ereignis X mit der Wk 1/6 ein. Wie groß ist dann die Wk, dass X in 25 solchen Experimenten höchstens 1 Mal eintritt? Wenn man aber Anwendungsbezug herstellen will, gehört dazu auch die Erkenntnis, dass Volksfeste zwar manchmal gut, aber niemals exakt als Bernoulli-Experiment modelliert werden können. Zum Glück aber auch!

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egonv 13.05.2019, 02:11
102.

Als Nicht-Lehrer und Nicht-Schüler kann man das schwer einordnen. Also möchte ich mal meinen Senf als Mathelehrer abgeben: Das ist die Standardaufgabe schlechthin. Die Schüler lernen die Formel für Bernoulli-Ketten und fertig. An der Aufgabe scheitern nur Schüler, die ohnehin jeden Mathekurs mit mangelhaft abgeschlossen haben.
Hier jetzt die genaue Anzahl von Besuchern und die sich verändernde Wahrscheinlichkeit zu betrachten ist nicht Teil des Lehrplans (auch weil das für große n vernachlässigt werden kann - Vereinfachung als Sinn eines Modells), das macht man nur bei kleineren n. Z.B. aus einer Urne mit 10 Kugeln ziehen, dann ohne oder mit Zurücklegen.
An der Aufgabe liegt sicher keine Beschwerde, diese Format wird umfangreich geübt, da glaube ich bei dem miesesten Unterricht dran.

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kangootom 13.05.2019, 07:54
103. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathe hatte mir in der Oberstufe immer Spaß gemacht, bis das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung kam. Ich konnte für mich persönlich keine übliche Mathelogik in das Themengebiet bringen und ich stehe heute noch auf Kriegsfuß damit. Solange man aber kein 1.0 Abi braucht um sich für ein Medizin- oder Jurastudium zu bewerben ist es doch kein Beinbruch ein Themengebiet zu vergeigen. Man muss Schwächen eben mit anderen Stärken ausgleichen können. Auch das muss man als Abiturient erst mal lernen und auch lernen damit umzugehen. Ich habe den Eindruck die heutige Schülergeneration hat Probleme mit Rückschlägen.

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WernerGg 13.05.2019, 08:46
104. Komplikationen

Mir ist zwar die Lust am Erfinden von Komplikationen geläufig, ich glaube aber nicht, dass es der Sinn von Rätseln oder Abiaufgaben ist, möglichst trickreiche Einwände gegen die Aufgabenstellung zu erfinden. Sondern es geht darum, die Aufgabe im Rahmen der Angaben so vernünftig, also so naheliegend und einfach wie möglich zu interpretieren.

Ein schönes Beispiel hatten wir vor zwei Wochen mit den drei Hunden. Wenn man einwendet, dass sich das Ganze nicht auf einer Ebene, sondern der Erd"kugel" abspielt, und dass Herr und Hund nicht gleich groß sind, die Leinen also schräg statt waagerecht laufen, und im Übrigen keinesfalls gespannt sein müssen, dann wird das Rätsel mit den tatsächlich vorliegenden Angaben natürlich unlösbar. Nur: Was ist dann gewonnen, außer dass man bewiesen hat, dass man die Dinge bis zur Unlösbarkeit komplizieren kann.

Ich würde einem Schüler, der so argumentiert, einen Pluspunkt geben, weil er mögliche Fallstricke erkannt hat, und einen Minuspunkt, weil er vor lauter Fallstricken nicht mehr voran kommt.

Im aktuellen Rätsel wird eingewendet:
1. Jeder Sechste geht gar nicht, wenn die Besucherzahl kein positives Vielfaches von 6 ist.
2. Nach jedem Zug könnte der gezogene Besucher entfernt werden. Also kein Zurücklegen stattfinden.
3. Gemeint ist gar nicht, wie viele Lebkuchen gefunden werden, sondern wie viele verschiedene Personen mit Lebkuchen.

Jeder dieser Einwände ist möglich und führt zu einer anderen Aufgabe und damit Lösung. Aber es handelt sich um unnötige Komplikationen - siehe oben.

Meine schlichte - besser vernünftige, weil einfache - Sicht ist:

1. Zu "Jeder Sechste": Mit "jeder Sechste" ist synonym "Trefferwahrscheinlichkeit 1/6" gemeint. Egal, wie die zustande kommt. Richtig ist, dass diese Vorgabe nur bei positiven Vielfachen von sechs Besuchern zutreffen kann. Na und? Dann ist das eben so.

2. Zu "Mit oder ohne Zurücklegen": Ohne Zurücklegen ist denkbar, die Aufgabe enthält aber keinerlei Hinweis darauf. Also ist Zurücklegen nach jedem Zug gemeint.

3. Zu "Personen oder Herzen": Aus der Formulierung "Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz trägt." könnte man durchaus begründet darauf kommen, dass es nicht um gefundene Lebkuchen, sondern um gefundene Individuen mit Lebkuchen geht. Das wäre dann eine andere, schwierigere Aufgabe. Auf die Schnelle meine ich, dass das Ziehen ohne Zurücklegen bedeuten würde, und damit die Anfangszahl der Besucher eine Rolle spielen würde. Da davon aber keine Rede in der Aufgabenstellung ist, schließe ich diese Möglichkeit aus. Der Autor hat sich umgangssprachlich salopp ausgedrückt und hätte besser sagen sollen: "Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Ziehungen höchstens eine mit Lebkuchenherz ist".

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ps71 13.05.2019, 08:54
105.

Zitat von archie21
Das sehe ich auch so. Insbesondere an dieser Feststellung hier führt kein Weg vorbei: [Zitat]Trivial einzusehen wird das für den Fall, daß es überhaupt nur sechs Besucher gibt: Da ist die Wahrscheinlichkeit 100%, weil auf dem Fest überhaupt nur ein Besucher mit Lebkuchenherz herumläuft. [/Zitat] Daher ist die Lösung zweifellos von der Zahl der Festbesucher abhängig. Diejenigen Leute, die 6,3% herausbekamen, haben sich die Sache zu einfach gemacht, sind also einem dummen Irrtum unterlegen. Ich muss gestehen, dass ich die Lösung auch nicht so ohne weiteres hinbekomme, jedenfalls nicht in wenigen Minuten, wiewohl ich mich mit mathematischer Wahrscheinlichkeitstheorie auch im Studium beschäftigt habe. Ich nehme an, dass man am Ende eine recht umständliche Formel in Abhängigkeit von der Besucherzahl erhält. Dass den Abiturienten die Aufgabe zu schwer war, ist nachvollziehbar.
Ich bin zwar nicht der Meinung, dass man die Aufgabe so verstehen muss, dass ein Besucher mit Herz nur einmal gezählt werden darf (weil ich 'unter den ausgewählten Besuchern' als 'unter den Ergebnissen der einzelnen Auswahlvorgänge' verstehen würde): Ich fand es aber dennoch interessant einmal auszurechnen, welche WK sich ergeben, wenn man einen einmal ausgewählten Besucher mit Herz nicht noch ein zweites Mal zählen darf:

Bei einer Besucherzahl von 6 ergibt sich wie bereits diskutiert natürlich ein Wert von 1, bei 60 Besuchern beträgt die WK 0.078 und bei 600 Besuchern liegt die WK mit 0.064 schon nur noch knapp über der WK, die sich ergibt, wenn Besucher mit Herz auch doppelt gezählt werden dürfen.

Die Berechnung ist deutlich aufwändiger und die Aufgabe in diesem Sinne ist natürlich ohne Angabe einer Besucherzahl nicht lösbar. Ich würde aber auch stark bezweifeln, dass das wirklich jemand so verstanden hat.

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bernd_ullrich 13.05.2019, 09:16
106. Wo ist da das Problem?

Ich wäre 1964 in Baden-Württemberg froh über derart einfache Aufgaben gewesen.

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Klekih_petra 13.05.2019, 09:26
107. Varianten gefällig?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Besuchern genau zwei Besucher ein Lebkuchenherz tragen?
oder
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Besuchern alle 25 ein Lebkuchenherz tragen?

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permissiveactionlink 13.05.2019, 09:31
108. #100, bran_winterfell

Sie werden sich wundern, das sehe ich genauso. Allerdings gehen nicht alle bayrischen Abiturienten in München oder Nürnberg zur Schule, manche leben auch in kleineren Orten, wo Volksfeste nicht zigtausendfach besucht sind. Ich habe von Anfang an gesagt, dass die Aufgabe unabhängig von der Anzahl der Besucher zu berechnen ist, und auch mit "Zurücklegen" der zufällig gezogenen Personen und Mehrfachzählung des Lebkuchenherzens einer Person. Mein Hinweis auf die Anzahl der Besucher war lediglich ergänzend gemeint. Angenommen, ein Prüfkandidat hat geschrieben, ihm sei die Aufgabe so zu schwammig gestellt, er setze voraus, dass 1000 Besucher auf dem Fest sind, und dass ausgewählte "Besucher mit Herz" (wahrscheinlich Kardiologen...) auch mehrfach gezogen und gezählt werden. Hätte er dann mit seiner Lösung das Thema verfehlt, nur weil er die Aufgabe exakt lösen wollte ? In Bayern wahrscheinlich schon !

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emil_erpel8 13.05.2019, 10:20
109.

Zitat von egonv
Als Nicht-Lehrer und Nicht-Schüler kann man das schwer einordnen. Also möchte ich mal meinen Senf als Mathelehrer abgeben: Das ist die Standardaufgabe schlechthin. Die Schüler lernen die Formel für Bernoulli-Ketten und fertig. An der Aufgabe scheitern nur Schüler, die ohnehin jeden Mathekurs mit mangelhaft abgeschlossen haben. Hier jetzt die genaue Anzahl von Besuchern und die sich verändernde Wahrscheinlichkeit zu betrachten ist nicht Teil des Lehrplans (auch weil das für große n vernachlässigt werden kann - Vereinfachung als Sinn eines Modells), das macht man nur bei kleineren n. Z.B. aus einer Urne mit 10 Kugeln ziehen, dann ohne oder mit Zurücklegen. An der Aufgabe liegt sicher keine Beschwerde, diese Format wird umfangreich geübt, da glaube ich bei dem miesesten Unterricht dran.
Das wird hier auch niemand bezweifeln, und an der beabsichtigten Aufgabe gibt es auch keine Kritik. Die Schüler werden die Aufgabe aller Wahrscheinlichkeit auch so verstehen, wie es beabsichtigt war, weil sie eben auf diese Art Lösung konditioniert wurden. Man muß die Aufgabe dennoch kritisieren, weil eine mathematisch gebildete Leserin es bei sorgfältigem Lesen anders verstehen wird. Es ist nicht Teil mathematischen Arbeitens, sich mit dem sozialen Kontext von Formulierungen auseinanderzusetzen oder Aussagen vor dem Hintergrund des Kenntnisstandes der beabsichtigten Leserinnen zu interpretieren.

Ich habe letzten Herbst Klausuren der Mathematikolympiade korrigiert. Die dortigen Aufgaben sind sehr viel sorgfältiger formuliert als die diesjährigen bayrischen Abiaufgaben. Und das geht auch nicht zu Lasten der "Realitätsnähe" oder der Verständlichkeit (ganz im Gegenteil). Meiner Meinung nach werden Aufgabentexte durch Geschwafel nur unverständlicher, weil man mühsam alle versteckte Infaormation herauslesen muß. Außerdem steigt das Risiko, daß versehentlich (richtige oder falsche) Zusatzinformationen hineinrutschen und das Gesamtergebnis interpretierbar wird. Unter anderem aus diesem Grund gibt es den mathematischen Formalismus. Darauf aus Prinzip zu verzichten ist töricht.

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