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Rätsel der Woche: Die verbogene Münze
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Ein Fußball-Schiedsrichter will bei der Seitenwahl eine Münze werfen. Doch sie ist verbogen und fällt häufiger auf eine der beiden Seiten. Ist mit der Münze trotzdem eine faire Entscheidung möglich?

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Jens A. 10.06.2019, 10:15
50. Kein zweiter Wurf nötig

Bereits die Wahl des Spielers für Kopf oder Zahl stellt eine 50/50 Entscheidung da, bei der die verbogene Münze keine Rolle spielt. Selbst bei einer so stark verbogenen Münze, die beim Wurf immer Zahl zeigen würde, bliebe es eine gerechte Wahl mit 50% Wahrscheinlichkeit zu gewinnen. Es sind also gar keine weiteren Würfe notwendig. - Natürlich darf der Spieler bei der Wahl für Kopf oder Zahl von der verbogenen Münze nichts wissen!

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querulant_99 10.06.2019, 13:09
51. @50

Das ist eine Frage der Perspektive.
Wenn der Schiedsrichter weiß, welche Seite der Münze immer nach unten fällt, weiß er natürlich sofort wer von links nach rechts spielt, sobald die Gastmannschaft ihre Auswahl getroffen hat, aber die Mannschaften wissen das nicht, da sie nicht wissen welche Seite der Münze immer nach unten fällt.
Wenn es gleic

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querulant_99 10.06.2019, 13:43
52. @51

Was ich noch ergänzen wollte:
Aus Sicht der Mannschaften ist es gleich wahrscheinlich, dass man diejenige Seite auswählt, die nach unten oder nach oben zeigt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 50:50 das man von links nach recht bzw. umgekehrt spielen wird. Münzen werden ja nicht bevorzugt in eine der beiden Seiten verbogen.

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rotella 10.06.2019, 15:08
53. Video von MindYourDecisions zum Thema

VOn MindYourDecisions gibt es übrigens ein schönes Video (englisch) zu dem Thema, wie jede beliebige - auch irrationale - Wahrscheinlichkeit wie 1/pi per Münzwurf dargestellt werden kann. Als kleines Unterproblem taucht auch die Frage aus diesem Rätsel der Woche auf!

https://www.youtube.com/watch?v=lORQ_wt2MZY

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spich 10.06.2019, 15:14
54. Falsche Lösung?!!

Ich glaube die Lösung ist falsch. Wenn z.B Zahl im Extremfall Zahl mit 90% Wahrscheinlichkeit und Kopf Mit 10% Wahrscheinlichkeit auftritt ist die Kombination Zahl-Kopf meist der Gewinner. Der Schiri wird sehr wahrscheinlich zuerst Zahl werfen und dann weiter machen bis nach mehreren Würfen Kopf kommt. Bei 55%/45% hätte Zahl immer noch einen kleinen Vorteil.

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doc_snyeder 10.06.2019, 15:35
55. Völlig irre

Was ist, wenn Kopf-Kopf oder Zahl-Zahl fällt?

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permissiveactionlink 10.06.2019, 16:00
56. #54, spich

Ich verstehe nicht, warum so einige Foristen glauben, die Wurfabfolge Kopf-Zahl sei häufiger als Zahl-Kopf (oder umgekehrt). Der Schiedsrichter macht immer zwei Münzwürfe. Zeigen sie Kopf-Kopf oder Zahl-Zahl, dann wiederholt er die zwei Würfe solange, bis er entweder Kopf-Zahl, o d e r Zahl-Kopf wirft (die Reihenfolge ist wesentlich ! Bei Kopf-Zahl gewinnt Mannschaft A, bei Zahl-Kopf Mannschaft B, oder umgekehrt, je nach vorheriger Vereinbarung). Wäre die Münze nicht gebogen, dann reichte ein Wurf aus, da die Wahrscheinlichkeit jeweils 0,5 für Kopf oder Zahl ist. Wenn bei gebogener Münze die Wahrscheinlichkeit für Zahl 90% ist (p=0,9) und für Kopf 10% (p=0,1), dann gibt es vier Möglichkeiten für Wurfergebnisse nach zwei Würfen : p(Z,Z) = 0,9 * 0,9 = 0,81 (81%) , p(K,K) = 0,1 * 0,1 = 0,01 (1%) , p(Z,K) = p(K,Z) = 0,9 * 0,1 = 0,1 * 0,9 = 0,09 (9%). Die Wahrscheinlichkeit für Zahl-Kopf ist mit 9% genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für Kopf-Zahl. Gesamitwahrscheinlichkeit : 81% + 1% + 9% + 9% = 100%.

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IQ149 10.06.2019, 17:12
57. Ich glaube, (#56)

einige Teilnehmer verstehen das nicht, weil es ihnen niemand schlüssig erklärt. Sie selbst haben zwar Zahlen für zwei konkrete Beispiele angegeben, aber damit könnte man nur etwas falsifizieren (sogar schon mit nur einem einzigen Gegenbeispiel), aber nichts beweisen. Außerdem startet Ihre Berechnung mit "p(Z,K) = p(K,Z) = ...". Damit wird aber doch die Behauptung, um die es geht, bereits als Annahme vorangestellt. Auf diesem Weg kann man natürlich alles beweisen, das überzeugt nicht. Da erschien mir Ihre Argumentation aus #49, dass die Münze weiß, welchen Gesetzen (Wurfparabel, Eintritts-Wahrscheinlichkeit) sie folgen muss, durchaus schlüssiger. Das erstaunliche hierbei ist allerdings, dass die Würfe (völlig) unabhängig voneinander langfristig die richtige Häufigkeit anstreben. Interessant wäre Mal der Versuch, ob das auch noch funktioniert, wenn bei jedem Wurf eine andere Münze (natürlich mit gleicher Krümmung) verwendet wird, oder ob doch so etwas wie ein homöopathisches Gedächtnis der Münze eine Rolle spielt. Auf jeden Fall führen verbogene Münzen zu echt schrägen Effekten, oder umgekehrt.

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laberbacke08/15 10.06.2019, 17:22
58.

Ist das wirklich „unparteiisch“? Sagen wir die Münze fällt in den meisten Fällen auf „Zahl“, wenn dann der erste Wurf auf „Zahl“ fällt, ist es wahrscheinlicher das der nächste auch auf „Zahl“ fällt und es zur Wiederholung kommt. Wenn der erste Wurf auf „Kopf“ fällt ist es aber ebenso wahrscheinlich, dass der zweite „Wurf“ auf „Zahl“ fällt und damit das Spiel vorbei ist. Ich vermute, dass Kopf-Zahl also wahrscheinlicher ist als Zahl-Kopf. Kopf-Kopf ist damit das unwahrscheinlichste Szenario.

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Nr43587 10.06.2019, 17:29
59.

Was bitte soll bei Wahl von Kopf-Zahl oder Zahl-Kopf anders sein als bei Wahl von Kopf oder Zahl?
Kopf-Zahl hat gewonnen, wenn Kopf als erstes kommt, Zahl-Kopf, wenn Zahl als erstes kommt.
Oder soll nach je zwei Würfen Kopf-Kopf oder Zahl-Zahl wieder von Null begonnnen werden?

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