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Rätsel der Woche: Vier Dreiecke im Quadrat
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Ein Quadrat ist in vier Dreiecke aufgeteilt. Zwei davon sind gleich groß. Welche Fläche hat das gelbe Dreieck?

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rotella 11.08.2019, 16:51
1. Geradengleichung

Mit einem xy-Koordinatensystem lautet die Gleichung der Geraden, deren Teilstück der Hypotenuse des grünen Dr. entspricht: y=3+1/2*x

Die Fläche des gelben Dr. beträgt Fgelb(y)=1/2*6*y, die des linken Dr. ergibt sich zu Flinks(x)=1/2*3*x und des rechten Dr. zu Frechts(x)=1/2*6*(6-x). Gleichsetzen Flinks(x)=Frechts(x) ergibt x=4 und daraus y=5. Das gelbe Dr. besitzt also die Fäche 1/2*6*5=15.

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UliBreimaier 11.08.2019, 17:05
2. 15

Wenn man die Spitze des gelben Dreieckes auf der Hypotenuse des grünen von links unten nach rechts oben wandern lässt, und dabei die linke Kante des äußeren Quadrates als Teil der "y-Achse" betrachtet, dann ergibt sich für die Fläche des gelben Dreiecks A[gelb] = 1/2 * 6 * (3+x/2) = 9 + 3x/2. Für das linke blaue Dreieck ist A[blau-links] = 1/2 * 3 * x = 3x/2, und für das rechte blaue Dreieck ist A[blau-rechts] = 1/2 * 6 * (6-x) = 18 - 3x. Die beiden blauen Dreiecke werden dann für x = 4 gleich groß, und der Flächeninhalt des gelben Dreiecks für x = 4 ergibt sich zu 15. Schöne Aufgabe ;)

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UliBreimaier 11.08.2019, 17:19
3. zwei Hirne gleichzeitig im Gleichklang

@rotella: Grmpf - Sie waren schneller ;) Die Musterlösung ist eleganter, weil sie mit dem Höhenverhältnis der blauen Teildreiecke auskommt. "Unseren" Ansatz kann man jedoch auch für beliebige reelle Werte der kurzen Kathetenlänge des grünen Teildreieckes verwenden. Und sogar für entsprechende Dreiecke als Teile eines großen Rechteckes... Da bin ich ja mal gespannt, was sich die anderen Forengäste so alles an Aufgabenerweiterungen ausdenken werden ;)

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Jorki 11.08.2019, 17:33
4. ohne Gleichung

Wenn man die Spitze des gelben Dreiecks ans Ende der Hypotenuse legt, sind alle Dreiecke gleich groß, oder sogar gleich.

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hietzinger 11.08.2019, 20:14
5. gleich groß

könnte auch kongruent bedeuten. es ist aber gemeint, dass sie die gleiche fläche besitzen- schlecht formuliert

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plunder 11.08.2019, 20:15
6. Ich verstehe noch nicht mal die Lösung

Wieso muss hL genau doppelt so gross sein wie hR?
Wenn hL vom linken blauen Dreieck zur Flächenberechnung gemeint ist, dann ist das 3.
Hhm. Komisch.

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archie21 11.08.2019, 20:58
7. Höhen im Dreieck

Zitat von plunder
Wieso muss hL genau doppelt so gross sein wie hR? Wenn hL vom linken blauen Dreieck zur Flächenberechnung gemeint ist, dann ist das 3. Hhm. Komisch.
Die einer Seite zugeordenete "Höhe" eines Dreiecks wird in der Geometrie immer senkrecht zu dieser Seite gezogen, also vom gegenüberliegenden Eckpunkt aus. Hier in der Zeichnung also "horizontal". Im vorliegenden Fall sind diese "Höhen" HL und HR also nicht 3 bzw. 6. 3 und 6 sind die (Längen der) Seiten, auf die diese gesuchten Höhen sich beziehen.

Hier zeigt sich, dass für diese "Rätselecke" das Grundschulwissen schon noch von Nutzen ist. Im sonstigen (politischen) Teil ist das normalerweise nicht der Fall. So ist es z. B. im Journalismus üblich, Flächen- und Raummaße mit den Einheiten "Fußballplatz" bzw. "Schwimmbad" zu messen, da die "wissenschaftlichen" Einheiten Hektar und Quadratkilometer viel zu schwierig sind. Jedenfalls glaubt man das in der Branche und zieht daraus Rückschlüsse auf die Leser. Berechtigt oder unberechtigt.

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Pommesund Leberkäs 11.08.2019, 21:28
8. Hilfe

Kann mir jemand die Lösung erklären. Ich verstehe folgende zwei Teile nicht: Meiner zugegebenermaßen nicht mehr ganz frischen Erinnerung an den Geometrieuntericht nach, berechnet sich der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks mit "Grundseite mal Höhe durch zwei". Die Grundseite des linken Dreiecks kann für mich nur die Seite sein, die an das gelbe Dreieck grenzt. Und die entsprechende Höhe nur diejenige Senkrechte, die von dort aus die Spitze dieses Dreiecks schneidet. Wieso kann "4" dann als Höhe des Dreiecks und "3" als Grundseite angesehen werden? Zweitens: Die Spitze des Gelben Dreiecks, so wird ohne nähere Erklärung behauptet, schneidet die Hypotenuse des grünen Dreiecks im Verhältnis eins zu zwei.... hier unterbreche ich, denn jetzt hab ich doch erkannt, dass das Verhältnis sich aus der Berechnung der Höhen der beiden blauen Dreiecke ergibt. Bliebe noche der erste Teil! Ich bitte um möglichst schlicht gehaltene Antworten! Danke!

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archie21 11.08.2019, 22:02
9.

Zitat von Pommesund Leberkäs
Kann mir jemand die Lösung erklären. Ich verstehe folgende zwei Teile nicht: Meiner zugegebenermaßen nicht mehr ganz frischen Erinnerung an den Geometrieuntericht nach, berechnet sich der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks mit "Grundseite mal Höhe durch zwei". Die Grundseite des linken Dreiecks kann für mich nur die Seite sein, die an das gelbe Dreieck grenzt. Und die entsprechende Höhe nur diejenige Senkrechte, die von dort aus die Spitze dieses Dreiecks schneidet. Wieso kann "4" dann als Höhe des Dreiecks und "3" als Grundseite angesehen werden? Zweitens: Die Spitze des Gelben Dreiecks, so wird ohne nähere Erklärung behauptet, schneidet die Hypotenuse des grünen Dreiecks im Verhältnis eins zu zwei.... hier unterbreche ich, denn jetzt hab ich doch erkannt, dass das Verhältnis sich aus der Berechnung der Höhen der beiden blauen Dreiecke ergibt. Bliebe noche der erste Teil! Ich bitte um möglichst schlicht gehaltene Antworten! Danke!
So ein Dreieck hat aber immer drei "Höhen", für jede der drei Seiten eine. Nun wollen Sie aber von den dreien gerade eine besonders ungeeignete nehmen, bei der nicht einmal die Länge der zugehörigen Grundseite bekannt ist.

Herr Dambeck nimmt als Grundseite aber jene Seite, die auf der linken bzw. rechten Seite des Quadrates liegt. Dadurch sind zumindest schon einmal die Grundseiten, also deren Längen, bekannt.

Das linke blaue Dreieck ist nun zwar spitzwinklig, so dass der "Fußpunkt" der betreffenden Höhe nicht unmittelbar auf der Grundseite aufsetzt, sondern auf der Verlängerung dieser Grundseite. Die Formel Fläche = 1/2 * Grundseite * Höhe gilt aber trotzdem.

Die drei Höhen eines Dreiecks haben auch noch die seltsame Eigenschaft, sich in einem Punkt zu schneiden (das nur nebenbei, ist für die Lösung nicht wichtig). In der Schule wird das manchmal erwähnt, aber meist nicht bewiesen, da der Beweis (für Schulverhältnisse) etwas "kniffelig" ist.

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