Forum: Karriere
Rätsel der Woche: Voll auf die Mitte
SPIEGEL ONLINE

Drei zufällig auf einem Kreis gewählte Punkte bilden ein Dreieck. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt des Kreises im Dreieck liegt?

Seite 1 von 10
fx33 02.11.2019, 16:22
1. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit...

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit etwas größer als 1/4. Wenn der zweite Punkt exakt gegenüber des ersten liegt, ist die Forderung "im Dreieck oder auf einer seiner Linien" bereits erfüllt. liegt der zweite Punkt auch nur geringfügig NICHT genau gegenüber des ersten Punkts, gibt es auf der Seite der Linie, auf der der Kreismittelpunkt liegt, geringfügig mehr Möglichkeiten für die zufällige Auswahl des dritten Punkts als auf der anderen Seite.
Für die exakte Wahrscheinlichkeit 1/4 hätte man die Lösung, dass der Kreismittelpunkt auf der Linie liegt, explizit ausschliessen müssen.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
BolleBollwitz 02.11.2019, 16:25
2. Wozu Pi &Co.?

Ist doch ganz einfach: zwei Punkte klappen die zunkünftig entstehende Fläche entweder über die Mitte, oder nicht (1/2). Der dritte Punkt entscheidet zu 50%, in welche tatsächliche Richtung diese 1/2-Wahrscheinlichkeit klappt: Tatsächlich über die Mitte, oder nicht: 1/2 ÷ 50% = 1/4. War also relativ einfach.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
pm2001 02.11.2019, 17:22
3. Grenzwertig ...

zu Beitrag 1: was meinen Sie: ist 0,999999... ("0,9 Periode") gleich 1 oder ungleich?

Beitrag melden Antworten / Zitieren
sh137 02.11.2019, 17:33
4.

@fx33 Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Punkte so gewählt werden, dass sie und der Mittelpunkt in derselben Linie liegen, ist allerdings null, da unendlich Punkte gewählt werden könnten. Zumindest gilt diese Betrachtungsweise in Mathe.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
pm2001 02.11.2019, 17:36
5. Zusatzaufgabe

Nette Zusatzaufgabe: sind die Wahrscheinlichkeiten gleich oder ungleich, wenn im einen Fall der Mittelpunkt ganz im Dreieck liegen muss oder im anderen Fall auch auf einer Dreieckseite liegen darf?

Beitrag melden Antworten / Zitieren
yournamehere 02.11.2019, 18:13
6. Video dazu

Von 3Blue1Brown, dessen YouTube-Videos ich jedem Mathematik-Interessierten ans Herz legen möchte, gibt es genau zu diesem Problem (und der erweiterten 3D-Version) ein sehr anschauliches Video: https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84
Das hier betrachtete Problem wird da ab etwa Minute 2 erklärt.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
IQ149 02.11.2019, 18:20
7. Zusatzaufgabe (#5, #1)

Die Zusatzfrage ist ganz eindeutig mit ja zu beantworten! Falsch ist hingegen die Aussage in Beitrag #1. Daraus ergibt sich, dass die Antwort auf #5 allein schon deshalb immer ja lautet, weil die Wahrscheinlichkeiten gleich sind. Aber das war ja nicht die Frage.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
fifty-fifty 02.11.2019, 19:13
8. Kürzere Beschreibung der Lösung:

Legt man zwei Punkte zufällig fest, dann ist die Länge des Zielfelds für den Dritten Punkt gleich dem Abstand der beiden ersten Punkte auf der Kreislinie, der zwischen 0° und 180° ausmacht. Da eine direkte Proportionalität vorliegt, ist der Durchschnittsabstand maßgeblich, hier 90°, der dritte Punkt muss sich also innerhalb eines Zielfelds befinden, das durchschnittlich einem Viertel der Kreislinie entspricht. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist ein Viertel.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
permissiveactionlink 02.11.2019, 19:47
9. Interessant ist das schon

Vorab : Ich bin davon überzeugt, dass die Wahrscheinlichkeit 1/4 beträgt, egal ob man Dreiecke mit der Dreiecksseite der Länge 2r mit einschließt oder nicht. Dann allerdings muss auch dass Integral von 0 bis k der Funktion x/(2*pi^2) selbst dann den Wert 1/4 erreichen, wenn man k beliebig nahe an pi heranführt, aber dennoch niemals gleich pi werden lässt. In der realen Welt ist das sowieso egal, weil die winzigen infinitesimalen Bogenlängen, die noch zu pi fehlen, irgendwann die Plancklänge unterschreiten. Ich nehme aber an, dass die Mathematiker beweisen können, dass beide Integrale denselben Wert haben.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
Seite 1 von 10