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Rätsel der Woche: Drei Gefangene, aber nur zwei Begnadigungen
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Sie müssten noch jahrelang hinter Gittern schmoren - doch dann erfahren die drei Frauen, dass zwei von ihnen am nächsten Tag begnadigt werden. Nun lautet die Frage: Welche?

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adrianhb 12.02.2018, 15:53
80.

Die Frage kann die Entscheidung natürlich nicht beeinflussen. Wenn man mehr Informationen über ein Ereignis hat, können sich die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ausgänge des Ereignissen aber schon ändern.

Wenn Anna fragen würde "Komme ich morgen frei", dann würde sich die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang "Anna kommt frei" auf 0 oder 100% ändern.
Die Antwort auf die Frage, die Anna stellt, ändert aber wie in der Lösung gezeigt nichts an dden Wahrscheinlichkeiten.

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edds 12.02.2018, 16:32
81. Ziegenproblem vor dem Fernseher

Beim "normalen" Ziegenproblem dreht es sich ja um einen Kandidaten, der sich eine Tür aussucht, woraufhin der Moderator eine andere Tür mit einer Ziege öffnet.

Beim "Ziegenproblem vor dem Fernseher" sucht sich ein Fernsehzuschauer eine Tür aus. Der Moderator erfährt davon natürlich nichts und öffnet nun eine Tür mit einer Ziege.

Anschließend sucht sich der Fernsehzuschauer eine andere Tür aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernsehzuschauer nun die Tür mit dem Auto auswählt?
(Da er nur Zuschauer ist, kann er natürlich nichts gewinnen. Er möchte einfach nur mitraten und hat Spaß daran, wenn er richtig liegt.)

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Lotus Driver 12.02.2018, 16:33
82. Dämlich

Es tut mir Leid SPON, ich habe es erst gar nicht ausgerechnet, da jedem mit einem IQ >= 1 sofort klar ist, dass die Chance unabhängig von der Fragestellung immer gleich ist.

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mcmercy 12.02.2018, 16:35
83.

Der gerne begangene Fehler vieler Foristen ist ja anzunehmen, sobald nur noch 2 Möglichkeiten übrigbleiben, wäre die Wahrscheinlichkeit automatisch 50:50. Was natürlich Unsinn ist. Auch bei 2 Optionen können die Wahrscheinlichkeiten ungleich verteilt sein. So ist es beim Ziegenproblem und bei den Gefangenen auch. Der Unterschied ist im vorliegenden Fall nur, dass ich mich nicht mehr umentscheiden kann es also bei 2/3 bleibt, wärend ich beim Ziegenproblem nach Enthüllung noch wechseln kann und somit quasi auf 2 Tore statt nur auf eins setze erhöhe ich meine Chance, das lässt sich auch ganz einfach im Experiment nachweisen, spielen sie das Spiel einfach 100 mal. Je öfter sie es spielen je näher kommen sie der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit.

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zubloedhh 12.02.2018, 16:47
84.

Zitat von permissiveactionlink
Nach c.PAFs Kommentar (#71) bin ich wieder verunsichert. Denn in der Aufgabe steht nicht, Anna frage danach, ob eine ihrer Mitgefangenen entlassen wird (das wäre auch nicht hilfreich, das weiß sie bereits), sondern : "Anna überlegt sich deshalb folgende Anfrage an die Wärterin: "Nennen Sie mir bitte den Namen (!) einer Frau, die morgen entlassen wird. Es darf aber nicht mein Name sein." " Angenommen, ihr wird Katja genannt, dann besteht doch nur noch die Wahrscheinlichkeit von 50% für Anna, freizukommen, denn das Freikommen von Anna u n d Aida ist dann ausgeschlossen. Dasselbe gilt, wenn die Wärterin Aida nennt. Umgekehrt erhielte Anna 100 % Gewissheit, wenn ihr Name genannt würde, was ihre Fragestellung ausschließt, oder ebenfalls 100% Gewissheit, wenn sie fragt ob sie rauskommt o d e r, wenn zwei Namen von der Wärterin genannt werden Indem Anna ein Name genannt wird, erhält sie entweder 100% Gewissheit, dass sie rauskommt, wenn es ihr Name ist, oder 50% Gewissheit, wenn Aidas oder Katjas Name genannt wird. Bei Nennung von zwei der drei Namen sind die Folgen für die dritte Dame automatisch festgelegt, ihre Gewissheit liegt dann bei 100%, nicht entlassen zu werden.
Ich bin auch verwirrt, da ich mich auf Ihre Antworten immer verlasse.

In diesem Fall ist es vielleicht so. Die Katja-Antwort schließt "Anna+Aida" als Möglichkeit aus. Es bleiben noch "Anna+Katja" und Aida+Katja". Das bedeutet aber nicht, dass diese beiden Möglichkeiten gleichgewichtet bezüglich der WS sind. Denn aufgrund von Annas Frage durfte die Wärterin Annas Namen nicht nennen. Also musste die Wärterin, wenn "Anna+Katja" freikommen sollten, zwingend den Namen Katja nennen. Aufgrund von Annas Frage durfte die Wärterin, wenn "Aida+Katja" freikommen, sich einen der beiden Namen auswählen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Name Katja genannt wurde, war also doppelt so hoch wie die Nennung des Namens "Aida".

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IQ149 12.02.2018, 17:02
85. Nicht verzagen, Bayes fragen (#79)

Wenn Anna entlassen wird, nennt die Wärterin mit p1 = 0,5 Aida (vgl. Lösung). Über diese (bedingte) Wk sind wir uns wohl einig. Nun aber die Umkehrung: Mit welcher Wk wird Anna entlassen, wenn die Wärterin Aida sagt? Eine Antwort liefert der Satz von Bayes in der Form p2 = (p1 * 2/3) / (1/2) = 2/3. Die Intuition tut sich hier etwas schwer, weil die Wärterin in 2/3 aller Begnadigungs-Konstellationen mit Aida antworten kann, es aber (trotz Einmaligkeit) nur mit Wk 1/2 macht. Und Gauss bezog sich nur auf "übertrieben genaue" Rechnungen (#5).

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IQ149 12.02.2018, 17:16
86. Dämlich (#83)

Sie müssen sich nicht entschuldigen, nach der überzeugenden Argumentation hat auch niemand mehr von Ihnen erwartet, dass Sie es ausrechnen.

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betonklotz 12.02.2018, 18:57
87. @adrianhb Entschuldigung, aber entschiedener Widerspruch

Zitat von adrianhb
Die Antwort ist (für Anna) nicht relevant, da sie zu ihrer eigenen Freilassung kein Erkenntnisgewinn enthält. Wenn die Antwort "Katja" lautet, wäre sie für Katja schon relevant. "Statistische Wahrscheinlichkeiten kommen erst zum Tragen, wenn sich das Ergebnis wiederholt" - wer sowas behauptet, hat Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik nicht begriffen. Selbst wenn Sie in ihrem Leben nur ein einziges Mal auf die andere Seite des Atlantischen Ozeans reisen, sollten Sie das Flugzeug dem Paddelboot vorziehen. Egal, ob Sie das Experiment wiederholen möchten oder nicht ;) Und ja, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ob sie mit dem Paddelboot ankommen, wird die Reise gedanklich unendlich oft durchgeführt. Vielleicht haben Sie beim zehnmilliardsten Versuch Glück und kommen an ...
Wenn man das von Ihnen genannte Experiment wiederholen möchte, ist es auf jeden Fall ratsam, es nicht mit dem Schlauchboot durchzuführen. Zumindest, wenn Sie die Wiederholung mit der selben Versuchsperson durchführen möchten. ;)

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betonklotz 12.02.2018, 19:19
88. @zubloedhh Lassen Sie sich nicht verwirren

Zitat von zubloedhh
Ich bin auch verwirrt, da ich mich auf Ihre Antworten immer verlasse. In diesem Fall ist es vielleicht so. Die Katja-Antwort schließt "Anna+Aida" als Möglichkeit aus. Es bleiben noch "Anna+Katja" und Aida+Katja". Das bedeutet aber nicht, dass diese beiden Möglichkeiten gleichgewichtet bezüglich der WS sind. Denn aufgrund von Annas Frage durfte die Wärterin Annas Namen nicht nennen. Also musste die Wärterin, wenn "Anna+Katja" freikommen sollten, zwingend den Namen Katja nennen. Aufgrund von Annas Frage durfte die Wärterin, wenn "Aida+Katja" freikommen, sich einen der beiden Namen auswählen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Name Katja genannt wurde, war also doppelt so hoch wie die Nennung des Namens "Aida".
Die von Forist permissiveactionlink ausgeführte Argumentation wäre korrekt, wenn eben der Name der Frasgestellerin NICHT ausgeschlossen ist. Bei der im Rätsel genannten Form, wo dies ja nicht der Fall ist, sieht es anders aus. Die Antwort "Katja" ändert an der Wahrscheinlichkeit der Fragestellerin also in diesem Fall Anna nichts. Wohl aber an der Wahrscheinlichkeit Anjas, die sinkt tatsächlich auf 1/3. Dies alles wohlgemerkt aus der Perspektiva Annas betrachtet. Setzen wir noch einen drauf indem wir annehmen, daß auch Anja dieselbe Frage gestellt und ebenfalls die Antwort "Katja" erhalten hat. Aus ihrer Perspektive ist die eigene Wahrscheinlichkeit auf Entlassung unverändert 2/3, die Wahrscheinlichkeit Annas hingegen 1/3! Hört sich irre an, beide haben dieselbe Antwort erhalten aber kommen zu verschiedenen Ergebnissen? NEIN, sie kommen zum selben Ergebnis! Das Ergebnis lautet aus ihrer Perspektive betrachtet: Meine Wahrscheinlichkeit ist unverändert, die Wahrscheinlichkleit für die jeweils dritte hat sich von 2/3 auf 1/3 verändert. Wenn sich die beiden untereinander austauschen ändert sich übrigens für beide die Wahrscheinlichkeit nocheinmal. Und zwar auf 1/2. Ursache ist die Zusatzinformation, daß die jeweils andere dieselbe Antwort erhalten hat. Nochwas zum Thema Ziegenrätsel. Das hier IST das Ziegenrätsel, allerding mit vertauschten Rollen von Treffer und Niete. Einmal ein Treffer, zwei Nieten und bei dieser Variante hier zwei Treffer, eine Niete.

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Exclam 12.02.2018, 19:27
89. Ziegenproblem

Man kann das Ziegenproblem auch einfacher erklären:
Beim 1. Zug ist die Wahrscheinlichkeit 2/3, dass das Auto hinter den beiden anderen Türen steht.
Da der Moderator weiß, wo das Auto steht, öffnet er in dem Fall die jeweils andere Tür. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit für die noch nicht geöffnete andere Tür natürlich bei den 2/3 geblieben. Die 2/3 ergeben sich durch das Wissen des Moderators.

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