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Rätsel der Woche: Drei Hunde im Dreieck
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Wenn die Tiere zu dritt sind, spielen sie völlig verrückt. Drei unterschiedlich lange Leinen sollen die Hunde im Zaum halten. Aber wo genau müssen sich ihre Besitzer dann hinstellen?

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duya 27.04.2019, 21:29
1. Satz von Heron

Ich habe die Flächen der drei inneren Dreiecken (in Abhängigkeit von a) mit dem Satz von Heron ausgerechnet und deren Summe mit der Fläche des gleichseitigen Dreiecks gleichgesetzt und schließlich nach a aufgelöst:

sqrt((a+4+5)/2*((a+4+5)/2-a)*((a+4+5)/2-4)*((a+4+5)/2-5))+ sqrt((3+a+5)/2*((3+a+5)/2-3)*((3+a+5)/2-a)*((3+a+5)/2-5))+ sqrt((3+4+a)/2*((3+4+a)/2-3)*((3+4+a)/2-4)*((3+4+a)/2-a))=a*a/4*sqrt(3)

=> a=sqrt(25+12*sqrt(3))

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sailor888 28.04.2019, 07:57
2. zu Heron

Der Inhalt EINES Dreieckes ist dann die Wurzel aus einem vollbesetzten Polynom 4. Grades. Die Summe dreier solcher Wurzeln ist dann c*a^2. Das lässt sich aber nur iterativ lösen. Das Ergebnis ist dann 6,7664.... und nicht
sqrt(25+12*sqrt(3)) (oder welcher Solver gibt so eine Lösung aus?).
Iterative Lösungen gibts natürlich immer, einfach zB mit dem Cosinus-Satz.

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ayv62957 28.04.2019, 08:10
3.

Zitat von duya
Ich habe die Flächen der drei inneren Dreiecken (in Abhängigkeit von a) mit dem Satz von Heron ausgerechnet und deren Summe mit der Fläche des gleichseitigen Dreiecks gleichgesetzt und schließlich nach a aufgelöst: sqrt((a+4+5)/2*((a+4+5)/2-a)*((a+4+5)/2-4)*((a+4+5)/2-5))+ sqrt((3+a+5)/2*((3+a+5)/2-3)*((3+a+5)/2-a)*((3+a+5)/2-5))+ sqrt((3+4+a)/2*((3+4+a)/2-3)*((3+4+a)/2-4)*((3+4+a)/2-a))=a*a/4*sqrt(3) => a=sqrt(25+12*sqrt(3))
Jaja, immer gleich die einfachste und unkomplizerteste Lösung nehmen. Bloß nicht mal richtig anstrengen ;-)

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permissiveactionlink 28.04.2019, 09:05
4. #1,#2

Ich hatte es erst auch mit dem Cosinussatz versucht, kam da aber nicht weiter, weil man dann drei Winkel benötigt, die zusammen 360° haben. Also Heron. Eine numerische Lösung hatte ich damit vergleichsweise schnell, aber keine exakte mathematische Formellösung. Beim Lösungsweg über Heron steht auf der einen Seite (a^2/4)*sqrt(3), die Fläche des gleichseitigen Dreiecks, und auf der anderen Seite die Summe dreier Quadratwurzelterme : (sqrt((64 - a^2) * (a^2 -4)) + sqrt((49 - a^2) * (a^2 -1)) + sqrt((81 - a^2) * (a^2 -1)))/4. Da habe ich keinen Weg gefunden, der zur exakten Lösung führt. Der Gleichungslöser in meinem HP-Rechner zeigt als besondere Anomalie bei dieser Gleichung ständig Error 0, wenn man nicht eine Anfangsnäherung nutzt, die nahe bei sechs liegt ! (Sowas hatte ich auch noch nicht). Eine (für meine Möglichkeiten) höchst anspruchsvolle Aufgabe mit einem eleganten Lösungsweg. Muss man gesehen haben ! Aber ich habe es nur numerisch geschafft, die Länge von a zu ermitteln, wie vermutlich die meisten, die sich an der Aufgabe versucht haben. Euklid, Thales, Heron und Pythagoras hätte da nur mitleidig die Köpfe geschüttelt....

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bernd.kaltenhaeuser 28.04.2019, 09:22
5. #1 und 2 Heron

Die Gleichung mit drei Wurzeln ist tatsächlich analytisch lösbar (immer eine Wurzel auf eine Seite und dann quadrieren), aber es ist ein unglaublicher Aufwand das aufzudröseln.

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holjanger 28.04.2019, 09:27
6. Dann bin ich ja froh...

...dass ich nicht nur zu doof war, das Gleichungssystem, dass sich aus dem Kosinussatz ergibt, aufzulösen. Ich hatte es schon auf meine rostigen Trigonometrie-Kenntnisse geschoben.

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christian.ruppenstein 28.04.2019, 10:02
7. Lösung zeichnerisch/ mit Kosinussatz

Zur besseren Verständlichkeit benennen wir die Standorte der drei Hunde mit A, B und C. Dabei ist A der Hund links unten, B der rechts unten und C der oben. Den Treffpunkt der drei Hunde bezeichnen wir als H.
Nun nehmen wir das Dreieck BCH, und legen es entlang der gemeinsamen Seite mit dem Dreieck AHC zusammen. Es entsteht ein Viereck CH'AH mit der Seiten länge 3, 4, 5, 3 (gegen den Uhrzeigersinn beginnend bei C). Wie man aus der Vorlage erkennt ergänzen sich bei C die beiden Winkel BCH und HCA zu 60°. Damit ist der Winkel H'CH zu 60° bestimmt.
Somit kann das Viereck CH'AH konstruiert werden, und damit die auch die Strecke AC mit der Länge a.

Um den Kosinussatz anwenden zu können, betrachten wir das Dreieck CH'H, das ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 3 ist, und das rechtwinklige Dreieck AHH' mit den Seitenlängen 3, 4 und 5, bei dem der Winkel AHH' 90° beträgt.
Somit ist der Winkel CHA 150°. Nun kann im Dreieck CHA der Kosinussatz angewandt werden, um die Strecke AC mit der Länge a zu sqrt(25+12*sqrt(3)) bestimmt werden.

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christian.ruppenstein 28.04.2019, 10:21
8. Korrektur

... und legen es entlang der gemeinsamen Seite mit der Länge a zusamnen. Es entsteht ein Viereck CH'AH mit den Seitenlängen 3, 5, 4, 3 (gegen den Uhrzeigersinn beginnend bei C) ...

Dumne Rechts-Links-Schwäche ^^

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sascha.graf2018 28.04.2019, 11:09
9. Analytische Lösung mit a = sqrt(25+12*sqrt(3)) gefunden, ohne Heron

Lege das gleichseitige Dreieck mit einer Ecke in den Nullpunkt eines kartesischen Koordinatensystems. Die Eckpunkte sind A(0|0), B(a|0) und C(a/2|a*sqrt(3)/2). Bestimme um A den Kreis mit r=4, um B mit r=5 und C mit r=3. Der Schnittpunkt der Kreise entspricht dem "Treffpunkt der Hunde". Folgende 3 Gleichungen beschreiben die Situation :
I. x^2+y^2=16
II. (x-a)^2+y^2=25
III. (x-a/2)^2+(y-a*sqrt(3)/2)^2=9
Löse das System indem I und II ineinander und anschließend im III eingesetzt werden. Man erhält aus III eine Geichung mit der Unbekannten a. Auflösen mit einigen Rechenaufwand liefert das Ergebnis a=sqrt(25+12*sqrt(3)).

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