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Rätsel der Woche: Duell um Gummibärchen
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Paul und Paula spielen um Gummibärchen. Ihr Zahlenratespiel scheint beiden gleich große Gewinnchancen zu bieten. Oder gibt es vielleicht doch eine Strategie, die einem Spieler einen Vorteil verschafft?

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unglaeubig 12.01.2019, 18:13
1. Die Lösung ist nicht schlüssig.

Rechnen sie mir bitte mathematisch vor, wie dieses Vorgehen einen Vorteil bringen könnte, dann glaube ich es.

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spon-facebook-716767602 12.01.2019, 18:24
2. Paulas Reaktion

Paula nimmt also die Zahlen n, n+1. Das heißt Paul müsst mit seeiner Wahl genau n treffen, damit ihm seine Strtegie einen Vorteil bringt. Die Wahrscheinlichkeit dafür geht bei unendlich vielen ganzen Zahlen gegen Null.

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nikokaush 12.01.2019, 18:42
3. Zweifel an der Lösung

Sofern die gewählten Zahlen wirklich aus dem gesamten Bereich der ganzen Zahlen gewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit, das die zuvor von Paul aufgeschriebene Zahl von 101,5 (oder jede andere) zwischen Paulas Zahlen liegt = 1 durch unendlich, womit Paul keinen Vorteil mehr hätte.

Dass die tatsächliche Wahrscheinlich größer als 1 durch unendlich ist, liegt nur daran, dass Paulas Zahlen bestenfalls extrem groß/klein sein werden, aber niemals wirklich alle Ganzen Zahlen gleichberechtigt berücksichtigen können.

Um dieses zu seinem Vorteil zu Nutzen braucht Paul sich jedoch keine Zahl vorher aufzuschreiben, sondern kann die "menschliche Begrenzung auf vertraute bzw. vorstellbare Zahlen" viel effizienter bewerkstelligen, wenn er sich die erste von Paulas Zahlen ansieht und intuitiv "rät", ob die zweite Zahl wohl größer oder kleiner sein mag.

Somit hat Paul zwar einen gewissen Vorteil, jedoch ist dies kein mathematischer Vorteil, sondern einen Informationsvorteil, da er mit dem aufgedeckten Zahl eine Information enthält, die er psychologisch/intuitiv auswerten kann.

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bumbu 12.01.2019, 18:49
4. Meiner Meinung nach ist die Lösung falsch bzw. sinnlos,

Denn wenn Paula tatsächlich zwei beliebige ganze Zahlen währen kann, ist Pauls Chance, daß eine von ihm vorher gewählte Zahl dazwischen liegt, exakt Null. Das liegt daran, daß es unendlich viele ganze Zahlen gibt, und nur endlich viele ins Intervall passen.

Andererseits gibt es keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Paula nützen könnte, um „beliebige ganze Zahlen“ zu generieren (St-Peterburg-Lotterie). So gesehen hat Paul tatsächlich eine Chance, wenn er Paulas Wahrscheinlichkeitsverteilung erraten kann. Das gehört aber eher in die Psychologie als in die Mathematik.

Und Paula kann den Vorteil weitgehend zunichte machen, indem sie immer Zahlenpaare der Form (n,n+1) wählt.

Sorry, not convinced.

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mathematician 12.01.2019, 18:58
5. Unabhängige Ereignisse

Nennen wir die von Paul gewählte Zahl ?k?. Z.B. k = 0. Die aufgedeckte Zahl sei ?a?, die nicht aufgedeckte ?n?. Nehmen wir an, dass ?a?, ?n? und ?k? bedingt unabhängig voneinander gewählt werden (Bedingung, dass a ungleich n).
Falls a > k, verliert Paul, falls n > a. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass n> a, gegeben a > k ist dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit von n> a, da die Ereignisse a> k und n > a bedingt unabhängig sind. Und die Wahrscheinlichkeit von n > a ist 50%. Also hat Paul keinen Vorteil.
Die anderen Fälle sind identisch.

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MathiasSteffens 12.01.2019, 19:00
6. @2

Nehmen wir an, Paul hat sich 10 ausgedacht und Paula wählt 5 und 6. Paul deckt die 5 auf. Da 5 kleiner 10 ist, sagt er "mehr" und gewinnt. 10 muss offensichtlich nicht 5 sein, damit er gewinnt.

Ich kann aber trotzdem nicht nachvollziehen, wieso Pauls Chancen durch das Ausdenken einer Zahl größer sein sollen als durch einen Münzwurf. Mal ganz davon abgesehen, dass in so einem Spiel die menschliche Psyche eine entschiedene Rolle spielt.

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bumbu 12.01.2019, 19:02
7. Nachtrag

Mir fällt gerade auf, daß man dem Beispiel durchaus noch etwas Interessantes abgewinnen könnte: Mit der Regeländerung, daß nur positive ganze Zahlen erlaubt sind, wird nämlich eine Variante des “unexpected hanging paradox” daraus.

Dann kann Paula nämlich nie den Wert 1 verwenden, weil Paul dann sofort wüßte, daß die zweite Zahl größer sein muß. Andererseits kann sie auch nicht den Wert 2 verwenden, weil Paul beim Aufdecken einer Zwei weiß, daß die andere Zahl nicht Eins sein kann und daher höher. Der Rest folgt durch vollständige Induktion.

Das führt scheinbar zu dem Paradox, daß Paula überhaupt keine Zahl wählen kann. Aber ich vermute, daß es keines ist. Wenn Paul diesem Gedankengang folgt und Paula z.B. das Paar (1,2) wählt, dann gibt es zwei Fälle, die sich wieder zu einer 50:50-Chance mitteln: Entweder Paul deckt die 1 auf, dann gewinnt er. Oder Paul deckt die 2 auf, dann rechnet er mit einer größeren verdeckten Zahl und verliert („ausgeblufft“).

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bs27 12.01.2019, 19:09
8. unfair...

die Begründung, dass Paul einen Vorteil hat, ist tatsächlich nachvollziehbar. Unfair finde ich, dass Paula keine Chance hat, durch eine wie auch immer geartete Strategie einen Vorteil gegenüber Paul zu erlangen. Allerdings ist das ganze auch ziemlich akademisch, denn immerhin kann sie - wie #2 bereits angedeutet hat - durch eine erratische Wahl sehr großer (oder kleiner bei neg. Vorzeichen) unmittelbar aufeinander folgende Zahlen Pauls Vorteil viel kleiner drücken als dass die zur Verfügung stehenden Gummibärchen ungleich verteilt wären... :-)

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derivo 12.01.2019, 19:24
9. Habs auch nicht geglaubt

Aber es stimmt.
Mein simulator sagt, dass paul 2/3 bekommt.
Denke, dass das analog zum ziegenproblem ist.

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