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Rätsel der Woche: Duell um Gummibärchen
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Paul und Paula spielen um Gummibärchen. Ihr Zahlenratespiel scheint beiden gleich große Gewinnchancen zu bieten. Oder gibt es vielleicht doch eine Strategie, die einem Spieler einen Vorteil verschafft?

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IQ149 14.01.2019, 10:43
110. Neues aus der ...

Es wurde ja bereits bewiesen, dass Paul durch jegliche Strategie nur schlechter als 50% werden kann. Also muss er alles daran setzen, jegliche Strategie zu vermeiden. Deshalb tippt er am besten immer, die gesehene Zahl sei die Kleinere. Dabei übersieht er aber, dass er zunächst immer den ersten Zettel umdreht. Als Paula das erkennt, schreibt sie als erstes immer die größere Zahl auf, und schon gewinnt Paul weniger. Ähnliche Effekte gibt es, wenn man beim zweimaligen Würfeln immer mit dem ersten Wurf beginnt, weil dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten unsymmetrisch werden (Smirnoff Effekt). Manchmal wird ein Spiel nur durch Zufall zum Experiment, umgekehrt aber auch, nur seltener.

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ylimies 14.01.2019, 11:06
111. Lösung falsch bzw. unvollständig

Auch aus meiner Sicht ist die Lösung schlicht und einfach falsch bzw. unvollständig. Ein Vorteil ergibt sich nur, wenn Paula und Paul eben nicht beliebige ganze Zahlen aussuchen dürfen, sondern das etwa so wie in den Beispielen auf einen Bereich von -1.000 bis +1.000 begrenzt wird. Ansonsten ist es völlig egal, welche Zahl Paul wählt, da es immer unendlich viele kleinere und größere Zahlen gibt und somit der Vorteil gegen 0 geht. Wenn man dagegen praktischen Gesichtspunkte betrachtet, z.B. das es auch nur ein paar Sekunden dauern sollte alle Stellen einer Zahl aufzuschreiben, ergibt sich immer auch eine Mitte mit z.B. 0. Ist die erste Zahl dann z.B. 500, ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass die zweite Zahl kleiner ist. Entsprechend würde Paula ihre Zahlen aber so wählen, dass möglichst wenig Rückschlüsse gezogen werden können, also möglichst nah an einer Grenze und möglichst nah beieinander. Das Ganze macht sowieso aber keinen Sinn: Wenn es ein Glücksspiel sein soll, kann man auch einfach abwechselnd würfeln und z.B. für eine 6 entsprechend viele Gummibärchen nehmen. Wenn es gerecht sein soll, kann man auch gerecht teilen. Wenn der Schlauere mehr bekommen soll, müsste auch Paula diese Möglichkeit haben.

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JustFunKiro 14.01.2019, 11:58
112. drei Möglichkeiten...

... die aber eben nicht gleich wahrscheinlich sind. Das heißt, ja, theoretisch verbessert diese Strategie Pauls Chancen, da er ja immer mindestens eine 50% Chance hat, richtig zu liegen. Praktisch hat er dadurch vielleicht bei einem von einer Milliarde Durchgängen eine erfolgreiche Runde, und das ist zu seinen Gunsten geschätzt. Denn wie hier schon mehrfach beschrieben wurde ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Zahl zwischen Paulas Zahlen liegt, theoretisch 0.
Eine tatsächliche Strategie könnte man mithilfe psychologischer Überlegungen anstellen. Das würde aber über ein Rätsel hinausgehen.

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betonklotz 14.01.2019, 12:26
113. Eine kleine Zusatzaufgabe für Interessierte.

Angenommen Paul möchte paula eine Freude bereiten. Zu diesem Zweck will er sie gewinnen lassen. Gibt es eine Strategie mit der er dieses Ziel (im statstischen Mittel, versteht sich) erreichen kann? Anders ausgedrückt, kann er seine Siegchancen auf unter 50% drücken? Dabei setze ich voraus, daß er in Paulas Auswahl KEIN Muster erkennt, also auf eine Ratestrategie angewiesen ist.

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hambugga 14.01.2019, 12:32
114. Das ist einfach

Zitat von betonklotz
Angenommen Paul möchte paula eine Freude bereiten. Zu diesem Zweck will er sie gewinnen lassen. Gibt es eine Strategie mit der er dieses Ziel (im statstischen Mittel, versteht sich) erreichen kann? Anders ausgedrückt, kann er seine Siegchancen auf unter 50% drücken? Dabei setze ich voraus, daß er in Paulas Auswahl KEIN Muster erkennt, also auf eine Ratestrategie angewiesen ist.
Falls es eine Strategie zum Gewinnen gibt (woran leider immer noch einige zweifeln), braucht Paul doch nur diese anwenden, aber das Gegenteil zu sagen, damit Paula gewinnt.

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hambugga 14.01.2019, 12:37
115. Denkfehler

Zitat von der_rookie
Jetzt betrachten wir Fall A: Paul und Paula haben je eine Zahl aufgeschrieben. Dazwischen ist ein endliches Intervall. Es gibt aber unendlich viele Varianten, dass die zweite Zahl Paulas größer als Pauls Zahl ist. Somit geht die Wahrscheinlichkeit gegen Null, dass bei Fall A die zweite Zahl von Paula kleiner als die erste Zahl von Paula ist - d.h. Mit gegen 100% ist die erste Zahl von Paula kleiner als die zweite Zahl.
Soweit stimme ich bei Fall A zu: Wenn beide Zahlen größer sind, ist die zweite nahezu 100%-noch größer.
Aber: Paul behauptet doch, dass die zweite Zahl kleiner ist, wenn die erste größer als seine eigene ist. Und das ist zu 100% falsch.

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hambugga 14.01.2019, 12:45
116. Kann ich erklären

Zitat von chuba-1
Ja, auch wenn es nicht intuitiv ist: 1. Wenn Paula naiv ist und beide Zahlen unabhängig voneinander aus einer (beliebig großen), endlichen Menge zieht, funktioniert Pauls Strategie mit 66.7% sofern Paul den Median abschätzen kann bzw. mit bis zu 75% wenn er einen um den Faktor ca. 10 kleineren Bereich wählen kann. Es wird aber noch wilder: 2. Es gibt eine scheinbar unschlagbare Gegenstrategie, die Paula anwenden kann: Um die zweite Zahl zu bekommen addiert oder subtrahiert sie zufällig eine beliebige Zahl zur ersten Zahl. Egal welche Zahl, funktioniert mit der 1 genauso wie mit jeder anderen Zahl. Pauls Chancen sinken sofort auf 50% Ich versteh's nicht, aber probiert's selbst aus. 1. r1 = round((rand()-0.5)*maxint); r2 = round((rand()-0.5)*maxint); 2. r1 = round((rand()-0.5)*maxint); rdiff = round((rand()-0.5)*maxint); r2 = r1 +/- rdiff;
Im Artikel steht, dass Paul eine Karten aufdeckt, es steht dort nicht, dass er immer die erste Zahl von Paula aufdeckt. Das macht einen entscheidenden Unterschied. Wenn man Zahlenpaare wie beschrieben erzeugt und Paul deckt immer die erste auf, kann seine Chance nicht über 50% heben. Wenn er aber zufällig eine aufdeckt, sehr wohl. Wie sehr, hängt dann von dem Abstand der beiden Zahlen ab.
Ob emil_erpel seine Zahlenpaare auch so konstruiert hat? Dann wundert es mich nicht, das Pauls Strategie nicht funktioniert.

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IQ149 14.01.2019, 13:11
117. Zusatzaufgabe (#113)

Paul kann den Autor von Beitrag #61 bitten, Paula seine Methode zu verraten, und schon gewinnt Paula in 55,5% der Fälle (#72, #73). Diese Zahl könnte sich aber noch leicht verschieben, da die Auswertung von Beitrag #94 noch aussteht, aber vermutlich bleibt sie auf jeden Fall deutlich über 50%, intuitiv halte ich das zumindest für sehr wahrscheinlich. Alternativ könnte er sicher auch dem Vorschlag #114 folgen.

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daniel.krueerke 14.01.2019, 14:50
118. Liebe sehr geehrte... aber die Sache ist doch klar...

Genauso wie es in der Lösung formuliert ist verhält es sich: Wenn sich Pauls Wahl zwischen den von Paula festgelegten Zahlen befindet, gewinnt er. Für alle anderen fälle läuft es auf zufällige Gleichverteilung hinaus. Um diese maximal werden zu lassen kann Paula auf zwei Sachen achten, damit Pauls Wahl ausserhalb des Intervalls bleibt. 1) Das ist die logische: das Intervall minimieren. 2) Das Spektrum voll ausnutzen und nicht nur kleine positive oder negative Zahlen benutzen.

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IQ149 14.01.2019, 15:30
119. auf drei Sachen achten (#118)

Paula sollte auch darauf achten, dass die jeweils ersten ihrer beiden Zahlen stochastisch unabhängig voneinander sind. Als zweite Zahl kann sie dann einfach die erste um 1 erhöhen. Aber das alles minimiert ja nur die Wirkung der in der Lösung beschriebenen Strategie. Gibt es vielleicht noch eine andere oder verbesserte Strategie für Paul, deren Minimierung andere oder zusätzliche Maßnahmen erfordert bzw. ermöglicht?

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