Forum: Wissenschaft
Rätsel der Woche: Duell um Gummibärchen
SPIEGEL ONLINE

Paul und Paula spielen um Gummibärchen. Ihr Zahlenratespiel scheint beiden gleich große Gewinnchancen zu bieten. Oder gibt es vielleicht doch eine Strategie, die einem Spieler einen Vorteil verschafft?

Seite 17 von 46
Segojan 15.01.2019, 13:50
160.

Zitat von R--S
Ich hätte jetzt spontan auf einen Zettel 2*10^23 und auf den anderen 7*10^22 geschrieben. Beim nächsten Mal vielleicht 8*10^-9 und 1*10^-8. Hintergrund ist der Ansatz zwei Zahlen zu wählen, bei denen der Rater nicht den blassesten Schimmer hat, ob die aufgedeckte Zahl groß oder klein ist. (Es ist trivialerweise klar, dass der Rater einen Vorteil hat, wenn er auch nur die geringste Ahnung hat, ob die Zahl groß oder klein ist. Das muss verhindert werden). Mit anderen Worten: Der "Vorteil" der vorgeschlagenen Strategie geht gegen Null, wenn der Zettelschreiber den Zahlenstrahl wirklich ausreizt, weil die Wahrscheinlichkeit, ein k zwischen den beiden Zahlen zu erwischen gegen Null geht.
Ihre Argumentation ist zwar zutreffend, dürfte aber bei nächster Gelegenheit von jemanden zerpflückt werden, der sich einfach nur daran stößt, dass achtmal Zehn hoch minus Neun ebenso wie einmal Zehn hoch minus Acht keine ganzen Zahlen sind... Schade eigentlich.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
Segojan 15.01.2019, 13:51
161.

Zitat von ClaudeFrollo
Ich kann nur empfehlen, die Posts von ps71 gründlich zu lesen. Er/Sie versucht ja nun wirklich mit einer absolut bewundernswerten Geduld, es allgemeinverständlich zu erklären.
Leider bleibt die erforderliche Exaktheit, die der Mathematik eigen ist, hier und da auf der Strecke.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
ps71 15.01.2019, 14:00
162. @Segojan, #157

Zitat von Segojan
Ihr erster Satz ist - streng logisch gesehen - hochinteressant. Sie tragen vor, dass es keine "Mitte der ganzen Zahlen" gibt. Daraus folgt, dass die Aussage "Wenn es eine Mitte der ganzen Zahlen gibt, liegt jede ganze Zahl in dieser 'Mitte der ganzen Zahlen.'" stets wahr ist. ... An welcher Stelle ist meine Überlegung fehlerhaft?
Der Fehler in der Überlegung ist, dass Sie aus den Vorhandensein zweier Teilmengen schließen, dass die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Mengen gleich ist. Bloß weil Sie die ganzen Zahlen in diese zwei Teilmengen zerlegen können, muss eine beliebige Zahl nicht mit gleicher WK in einer der Mengen landen.

Sie können z.B. die ganzen Zahlen auch anders zerlegen: Eine Teilmenge enthält die durch 100 teilbaren Zahlen, die andere die nicht durch 100 teilbaren. Auch das sind zwei Teilmengen mit abzählbar unendlich vielen Elementen und auch hier gilt, dass eine beliebige ganze Zahl zwingend in einer der beiden Mengen liegen muss. D.h. mit gleichem Recht könnte man jetzt zeigen, dass eine beliebige ganze Zahl mit Wahrscheinlichkeiit 50% durch 100 teilbar ist.

Intuitiv möchte man jeder ganzen Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit zuweisen, aber wie bereits erwähnt kann es keine WK-Verteilung über die ganzen Zahlen geben, bei der die WK für jede Zahl gleich groß ist.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
ps71 15.01.2019, 14:03
163. @ClaudeFrollo

Zitat von ClaudeFrollo
Wie alle anderen Argumentaionen gegen Herrn Dambecks Lösung enthält auch Ihre einen entscheidenden Fehler: Paula kann sich nicht aussuchen,welche Zahl aufgedeckt wird. Das macht nämlich Paul in Unkenntnis ihrer Zahlen, also zufällig. Ich kann nur empfehlen, die Posts von ps71 gründlich zu lesen. Er/Sie versucht ja nun wirklich mit einer absolut bewundernswerten Geduld, es allgemeinverständlich zu erklären.
Vielen Dank für die Unterstützung!

Beitrag melden Antworten / Zitieren
Segojan 15.01.2019, 14:10
164.

Zitat von ps71
Der Fehler in der Überlegung ist, dass Sie aus den Vorhandensein zweier Teilmengen schließen, dass die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Mengen gleich ist. Bloß weil Sie die ganzen Zahlen in diese zwei Teilmengen zerlegen können, muss eine beliebige Zahl nicht mit gleicher WK in einer der Mengen landen. Sie können z.B. die ganzen Zahlen auch anders zerlegen: Eine Teilmenge enthält die durch 100 teilbaren Zahlen, die andere die nicht durch 100 teilbaren. Auch das sind zwei Teilmengen mit abzählbar unendlich vielen Elementen und auch hier gilt, dass eine beliebige ganze Zahl zwingend in einer der beiden Mengen liegen muss. D.h. mit gleichem Recht könnte man jetzt zeigen, dass eine beliebige ganze Zahl mit Wahrscheinlichkeiit 50% durch 100 teilbar ist. Intuitiv möchte man jeder ganzen Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit zuweisen, aber wie bereits erwähnt kann es keine WK-Verteilung über die ganzen Zahlen geben, bei der die WK für jede Zahl gleich groß ist.
Das ist nicht von der Hand zu weisen.

Aber ist es denn nicht so, dass eine zufällig gewählte, von Null verschiedene ganze Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent größer Null und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit kleiner Null ist?

Beitrag melden Antworten / Zitieren
R--S 15.01.2019, 14:25
165.

Zitat von R--S
Ich hätte jetzt spontan auf einen Zettel 2*10^23 und auf den anderen 7*10^22 geschrieben. Beim nächsten Mal vielleicht 8*10^-9 und 1*10^-8. Hintergrund ist der Ansatz zwei Zahlen zu wählen, bei denen der Rater nicht den blassesten Schimmer hat, ob die aufgedeckte Zahl groß oder klein ist. (Es ist trivialerweise klar, dass der Rater einen Vorteil hat, wenn er auch nur die geringste Ahnung hat, ob die Zahl groß oder klein ist. Das muss verhindert werden). Mit anderen Worten: Der "Vorteil" der vorgeschlagenen Strategie geht gegen Null, wenn der Zettelschreiber den Zahlenstrahl wirklich ausreizt, weil die Wahrscheinlichkeit, ein k zwischen den beiden Zahlen zu erwischen gegen Null geht.
Korrektur: Das Minus soll natürlich vor der Zahl stehen: -8*10^9 und -1*10^8.

Die Strategie ist aber klar: Das Zahlenpaar möglichst nah beisammen (benachbarte Zahlen), dabei aber den ganzen Zahlenraum ausnutzen.

Pauls Strategie funktioniert also nur, wenn sich Paula weiteren Restriktionen unterwirft, die aber gar nicht in der Aufgabenstellung gegeben sind, d.h. wenn Paula "in der Box" denkt.
Da aber nirgends steht, dass Paula die Zahlen nach irgendeinem Verfahren wählen muss, sind Pauls Chancen exakt 50%.
Es gibt damit für Paul KEINE bessere Strategie. Er hat keine Chance, wenn Paula keinen Fehler macht.
Es kommt deshalb darauf an, was Paula macht: Wenn Paula Fehler macht (z.B. nach einem erkennbaren Muster vorgeht oder die Abstände zwischen den Zahlen zu groß wählt) dann hat er logischerweise einen Vorteil.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
ps71 15.01.2019, 14:27
166.

Zitat von Segojan
Das ist nicht von der Hand zu weisen. Aber ist es denn nicht so, dass eine zufällig gewählte, von Null verschiedene ganze Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent größer Null und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit kleiner Null ist?
Der Knackpunkt dabei ist das 'zufällig gewählt', d.h. die Frage, wie die Zahl ausgewählt wird. Wenn eine Zahl zufällig gewählt wird, dann steckt eine WK-Verteilung dahinter. Und wenn diese Verteilung symmetrisch zu 0 ist, dann ist auch jede gewählte Zahl mit WK 50% größer bzw. kleiner als 0.

Man kann natürlich lange darüber disktutieren, wie die Verteilung aussieht, nach der Paula ihre Zahlen wählt. Wenn sie einen Zufallsgenerator bemüht (wie in den Simulationen zu diesem Rätsel), dann ist die Verteilung natürlich klar. Wenn sie einfach willkürlich Zahlen aneinanderreiht und dann noch ein Vorzeichen davorsetzt, dann ist es natürlich hicht ganz so eindeutig. Aber sicher ist die WK nicht für alle ganzen Zahlen gleich (das kann sie ja nicht sein).

Beitrag melden Antworten / Zitieren
R--S 15.01.2019, 14:34
167.

Zitat von Segojan
Ihre Argumentation ist zwar zutreffend, dürfte aber bei nächster Gelegenheit von jemanden zerpflückt werden, der sich einfach nur daran stößt, dass achtmal Zehn hoch minus Neun ebenso wie einmal Zehn hoch minus Acht keine ganzen Zahlen sind... Schade eigentlich.
ja, da hatte ich mich vertippt. Aber wenn ich es mir recht überlege, dann macht es keinen Unterschied, ob Paula nur ganze Zahlen (also abzählbar viele Zahlen) oder Bruchzahlen (abzählbar viele) Zahlen wählen darf. Aus der Hüfte geschossen dürfte es auch bei beliebigen Zahlen (überabzählbar viele) keine Rolle spielen. Wird der Zahlenraum ausgenutzt und der Abstand zwischen den Zahlen möglichst klein gewählt, dann geht Pauls Wahrscheinlichkeit mit K einen Treffer zwischen A und B zu landen gegen Null. Seine Chancen sind immer 50%, egal ob Paula ganze, natürliche, reelle oder Bruchzahlen nehmen darf.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
R--S 15.01.2019, 14:44
168. Wahl der Zahlen

In den meisten Antworten fällt mir auf, dass bei der Wahl der Zahlen durch Paula Zufall unterstellt wird. Dem ist aber nicht so:
"Paula sucht sich zwei beliebige ganze Zahlen, etwa 288 und -33, und schreibt diese auf je einen Zettel."

"sucht aus" = Paula denkt nach und kann eine Strategie anwenden.

"beliebige ganze Zahlen" = zwei ganze Zahle zwischen minus und plus unendlich.

Ich glaube, viele (auch die Autoren) begehen den Denkfehler und unterstellen Paula eine zufällige Wahl der Zahl (Thinking inside the box). Davon steht aber nirgends etwas. D.h. man muss Paulas mögliche Strategien mit berücksichtigen.

Beitrag melden Antworten / Zitieren
rdoerrer 15.01.2019, 14:46
169. Paula hat auch eine gute Strategie

Wenn Paula aus einem sehr großen Zahlenbereich immer zwei aufeinander folgende Zahlen wählt dann müsste Paul exakt dieses Zahlenpaar erraten damit seine Zahl + 0.5 dazwischen liegt und er einen Vorteil hat. Je größer also der Zahlenbereich ist den Paula verwendet, desto unwahrscheinlicher wird Pauls Vorteil und damit wird den beiden wohl erst schlecht von den vielen Gummibärchen aus ehe Paul einen merkbaren Vorteil hat. Nach meiner Rechnung hat Paul eine um ca 1% bessere Chance wenn Paula z.B. den Zahlenbereich 1-1.000.000 wählt und sie das Spiel 10.000 mal spielen. Paul hätte dann wahrscheinlich 5050 Gummibärchen und Paula 4950. Paula könnte sich aber auch für einen wesentlich höheren Zahlenraum entscheiden ...

Beitrag melden Antworten / Zitieren
Seite 17 von 46