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Rätsel der Woche: Duell um Gummibärchen
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Paul und Paula spielen um Gummibärchen. Ihr Zahlenratespiel scheint beiden gleich große Gewinnchancen zu bieten. Oder gibt es vielleicht doch eine Strategie, die einem Spieler einen Vorteil verschafft?

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Segojan 15.01.2019, 14:47
170.

Zitat von ps71
Der Knackpunkt dabei ist das 'zufällig gewählt', d.h. die Frage, wie die Zahl ausgewählt wird. Wenn eine Zahl zufällig gewählt wird, dann steckt eine WK-Verteilung dahinter. Und wenn diese Verteilung symmetrisch zu 0 ist, dann ist auch jede gewählte Zahl mit WK 50% größer bzw. kleiner als 0. Man kann natürlich lange darüber disktutieren, wie die Verteilung aussieht, nach der Paula ihre Zahlen wählt. Wenn sie einen Zufallsgenerator bemüht (wie in den Simulationen zu diesem Rätsel), dann ist die Verteilung natürlich klar. Wenn sie einfach willkürlich Zahlen aneinanderreiht und dann noch ein Vorzeichen davorsetzt, dann ist es natürlich hicht ganz so eindeutig. Aber sicher ist die WK nicht für alle ganzen Zahlen gleich (das kann sie ja nicht sein).
Man kann eben nicht lange darüber diskutieren, wie Paula ihre Zahlen wählt. Jedenfalls nicht, wenn die Aufgabe mit der mathematiktypischen Abstraktion angegangen wird. Dass im "richtigen Leben" Paulas Auswahl bestimmten Präferenzen unterliegen wird, die Paul sich möglicherweise intuitiv erschließen kann, steht außer Frage. Dann reicht es aber, wenn er sich auf sein Gefühl verlässt, und er braucht nicht mit einer pseudo-exakten Hilfszahl herumzuhantieren.

Es gibt im übrigen keinen Zufallsgenerator, der in der Lage wäre, die in der Aufgabe genannte Auswahl (zwei beliebige, voneinander verschiedene ganze Zahlen) vorzunehmen. Dazu brauchte es einen Rechner mit Unendlich-Bit-Architektur. Jede Beschränkung auf 32, 64 oder wieviel auch immer Bit Breite schränkt die Allgemeinheit der Aufgabenstellung unzulässig ein.

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derivo 15.01.2019, 14:51
171. nein

Zitat von ps71
Wieso DARF denn Paul keinen Vorteil haben? Er hat durch das Raten seiner Zahl grundsätzlich immer einen Vorteil, auch wenn dieser sehr klein werden kann. Dass in der beschriebenen Situation noch ein zusätzlicher Vorteil dazu kommen kann, falls Paul sicher weiß, dass keine Zahlen kleiner 1 und größer 10 auftreten können, ist davon ja unabhängig.
was ich meinte ist: er darf durch zufaelliges raten keinen vorteil erlangen. warum auch? zufall gegen zufall ist unentschieden.
kein vorteil heisst: kein vorteil gegenueber dem, was er mit wissen tippen wuerde (in diesem fall also, das interval ist begrenzt auf 1 bis 10).
durch das auswuerfeln seiner zufallszahl zwischen 0,5 und 9,5 schliesst er ja genau diese grenzfaelle aus. darum ist das ergebnis auch wieder 5/9.
genauso sieht es auch im urspruenglichen raetsel aus: wenn er WEISS, dass paula zufaellige zahlen aus einem unendlichen zahlenraum wirft, verschlechtert er seine chancen ja sogar von 75% auf 66%. seine k strategie hilft also nur gegen paulas reaktion.
die wird aber vermutlich ganz anders ausfallen, wenn schon reagieren, dann richtig.
alles in allem eher ein pseudoraetsel.

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Segojan 15.01.2019, 15:00
172.

Zitat von ps71
Der Knackpunkt dabei ist das 'zufällig gewählt', d.h. die Frage, wie die Zahl ausgewählt wird. Wenn eine Zahl zufällig gewählt wird, dann steckt eine WK-Verteilung dahinter.
Ich denke, jeder Mathematiker wird eine ganz konkrete Vorstellung haben, wenn es um "zwei beliebige, voneinander verschiedene ganze Zahlen" geht. Da kann von einem Knackpunkt keine Rede sein.

Noch einmal zu den 50 Prozent: Für jede ganze Zahl a gibt es für jede Zahl b > a genau eine Zahl c = 2a - b mit c < a, also gibt es genau so viele Zahlen, die größer sind, wie solche, die kleiner sind. (Hinweis zum Verständnis: b sei a + n mit n > 0, dann ist c = a - n.)

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R--S 15.01.2019, 15:09
173.

Zitat von R--S
In den meisten Antworten fällt mir auf, dass bei der Wahl der Zahlen durch Paula Zufall unterstellt wird. Dem ist aber nicht so: "Paula sucht sich zwei beliebige ganze Zahlen, etwa 288 und -33, und schreibt diese auf je einen Zettel." "sucht aus" = Paula denkt nach und kann eine Strategie anwenden. "beliebige ganze Zahlen" = zwei ganze Zahle zwischen minus und plus unendlich. Ich glaube, viele (auch die Autoren) begehen den Denkfehler und unterstellen Paula eine zufällige Wahl der Zahl (Thinking inside the box). Davon steht aber nirgends etwas. D.h. man muss Paulas mögliche Strategien mit berücksichtigen.
Was ich jetzt echt nicht verstehe ist Folgendes. Dambeck und Niestedt haben die richtige Lösung quasi schon in der Hand
"Das Spiel der beiden sieht dann wie folgt aus: Paula wählt heimlich zwei Zahlen, Paul wählt heimlich eine. Wenn Pauls Zahl plus 0,5 zufällig zwischen den beiden von Paula gewählten Zahlen liegt, gewinnt er mit Sicherheit. Bei allen anderen Zahlenkonstellationen sind die Gewinnchancen für Paul und Paula gleich groß.",

und rechnen die Wahrscheinlichkeit nicht aus, dass Pauls Zahl plus 0,5 zufällig zwischen den beiden von Paula gewählten Zahlen liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist nämlich (im Grenzwert) Null (wenn Paula keinen Fehler macht).

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R--S 15.01.2019, 15:11
174.

Zitat von Segojan
Ich denke, jeder Mathematiker wird eine ganz konkrete Vorstellung haben, wenn es um "zwei beliebige, voneinander verschiedene ganze Zahlen" geht. Da kann von einem Knackpunkt keine Rede sein. Noch einmal zu den 50 Prozent: Für jede ganze Zahl a gibt es für jede Zahl b > a genau eine Zahl c = 2a - b mit c < a, also gibt es genau so viele Zahlen, die größer sind, wie solche, die kleiner sind. (Hinweis zum Verständnis: b sei a + n mit n > 0, dann ist c = a - n.)
"Ich denke, jeder Mathematiker wird eine ganz konkrete Vorstellung haben, wenn es um "zwei beliebige, voneinander verschiedene ganze Zahlen" geht. Da kann von einem Knackpunkt keine Rede sein."

Ganz einfach: Da steht nicht "zufällig". Wenn Sie zum Essen eingeladen werden und der Gastgeber sie auffordert "beliebig" aus der Karte auszuwählen, dann meint der auch nicht, dass Sie würfeln sollen ... Deutsch ist eigentlich ganz einfach.

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ps71 15.01.2019, 15:17
175. @Segojan

Zitat von Segojan
Man kann eben nicht lange darüber diskutieren, wie Paula ihre Zahlen wählt. Jedenfalls nicht, wenn die Aufgabe mit der mathematiktypischen Abstraktion angegangen wird. Dass im "richtigen Leben" Paulas Auswahl bestimmten Präferenzen unterliegen wird, die Paul sich möglicherweise intuitiv erschließen kann, steht außer Frage. Dann reicht es aber, wenn er sich auf sein Gefühl verlässt, und er braucht nicht mit einer pseudo-exakten Hilfszahl herumzuhantieren. Es gibt im übrigen keinen Zufallsgenerator, der in der Lage wäre, die in der Aufgabe genannte Auswahl (zwei beliebige, voneinander verschiedene ganze Zahlen) vorzunehmen. Dazu brauchte es einen Rechner mit Unendlich-Bit-Architektur. Jede Beschränkung auf 32, 64 oder wieviel auch immer Bit Breite schränkt die Allgemeinheit der Aufgabenstellung unzulässig ein.
Man muss auch gar nicht wissen, nach welchem Muster bzw. nach welcher Verteilung Paula ihre Zahlen erzeugt. Das ist ja gerade das Interessante, dass Paul durch seine Strategie IMMER einen Vorteil hat, egal was Paula macht. Dass dieser Vorteil so klein werden kann, dass er praktisch keine Rolle mehr spielt, ist natürlich ein anderes Thema. Aber wir sind ja bei der 'mathematiktypischen Abstraktion' und die liefert eine WK, die sicher größer als 0.5 ist.

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ps71 15.01.2019, 15:26
176. @derivo, #171

Zitat von derivo
was ich meinte ist: er darf durch zufaelliges raten keinen vorteil erlangen. warum auch? zufall gegen zufall ist unentschieden. kein vorteil heisst: kein vorteil gegenueber dem, was er mit wissen tippen wuerde (in diesem fall also, das interval ist begrenzt auf 1 bis 10). durch das auswuerfeln seiner zufallszahl zwischen 0,5 und 9,5 schliesst er ja genau diese grenzfaelle aus. darum ist das ergebnis auch wieder 5/9. genauso sieht es auch im urspruenglichen raetsel aus: wenn er WEISS, dass paula zufaellige zahlen aus einem unendlichen zahlenraum wirft, verschlechtert er seine chancen ja sogar von 75% auf 66%. seine k strategie hilft also nur gegen paulas reaktion. die wird aber vermutlich ganz anders ausfallen, wenn schon reagieren, dann richtig. alles in allem eher ein pseudoraetsel.
Doch. Das Interessante an diesem Rätsel ist, dass Paul GERADE durch den Zufall einen Vorteil erlangen kann. Wenn er meint, Paula würde immer zwei unabhängige Zufallszahlen wählen, die dann mit gleicher WK positiv bzw. negativ sind, dann setzt er seine Zahl auf 0 und kann eine Gewinn-WK von 75% erreichen. Dann muss Paula aber einfach nur immer Zahlen mit gleichem Vorzeichen wählen, und schon schaut Paul in die Röhre. Wenn er aber seine Zahl zufällig wählt, dann hat er IMMER einen Vorteil, egal was Paula macht. Der Vorteil kann zwar sehr klein werden, aber er ist da.

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Segojan 15.01.2019, 15:28
177.

Zitat von R--S
"Ich denke, jeder Mathematiker wird eine ganz konkrete Vorstellung haben, wenn es um "zwei beliebige, voneinander verschiedene ganze Zahlen" geht. Da kann von einem Knackpunkt keine Rede sein." Ganz einfach: Da steht nicht "zufällig". Wenn Sie zum Essen eingeladen werden und der Gastgeber sie auffordert "beliebig" aus der Karte auszuwählen, dann meint der auch nicht, dass Sie würfeln sollen ... Deutsch ist eigentlich ganz einfach.
Ja, das dachte ich bisher auch. In der Aufgabe steht:

Paula sucht sich zwei beliebige ganze Zahlen ... und schreibt diese auf je einen Zettel. Einzige Bedingung dabei: Die Zahlen müssen verschieden sein.

Es handelt sich also um eine Zahl a aus der Menge der ganzen Zahlen und eine weitere Zahl b ungleich a aus der gleichen Menge. Mehr steht da nicht.

Warum die Wortwahl "zufällig" jetzt eine Rolle spielt, erschließt sich mir nicht. Wenn, um bei Ihrem Beispiel zu bleiben, ich "beliebig" aus der Karte auswähle, und ich keine Präferenzen habe oder diese meinem Gastgeber nicht bekannt sind, sollte meine Wahl für diesen "zufällig" (im Sinne von "unvorhergesehen", zulässige Bedeutung dieses Wortes lt. Duden) sein.

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Segojan 15.01.2019, 15:37
178.

Zitat von ps71
Man muss auch gar nicht wissen, nach welchem Muster bzw. nach welcher Verteilung Paula ihre Zahlen erzeugt. Das ist ja gerade das Interessante, dass Paul durch seine Strategie IMMER einen Vorteil hat, egal was Paula macht. Dass dieser Vorteil so klein werden kann, dass er praktisch keine Rolle mehr spielt, ist natürlich ein anderes Thema. Aber wir sind ja bei der 'mathematiktypischen Abstraktion' und die liefert eine WK, die sicher größer als 0.5 ist.
Man kann auch gar nicht wissen, nach welchem Muster bzw. nach welcher Verteilung Paula ihre Zahlen sucht. Davon steht nämlich nichts in der Aufgabe.

Dass Paul durch seine Strategie einen Vorteil hat, ist mit der erforderlichen mathematischen Stringenz noch nicht dargestellt worden. Dass die Chance bei strikter Auslegung der Aufgabe genau 50 Prozent beträgt, schon.

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R--S 15.01.2019, 15:39
179.

Zitat von Segojan
Warum die Wortwahl "zufällig" jetzt eine Rolle spielt, erschließt sich mir nicht.
Weil zwei Zahlen ausgewählt werden. Da kann man unterschiedlich rangehen.

Beispiel: Die Wahl der ersten Zahl n ist zufällig. Die zweite Zahl m = n+1. Die ist dann nicht zufällig. D.h. hier wird nur eine Zufallszahl gezogen.
Wenn n dabei aus dem Intervall -unendlich bis unendlich ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein für Paul günstiges k gefunden wird =0.

Beweis: Angenommen Pauls chance sei größer eps. Ich bestimme daraufhin ein intervall x,y aus dem n gewählt wird so, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer von Paul kleiner eps wird. D.h. bei einem unendlichen Intervall ist Pauls Chance für ein gutes k exakt Null.

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