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Rätsel der Woche: Duell um Gummibärchen
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Paul und Paula spielen um Gummibärchen. Ihr Zahlenratespiel scheint beiden gleich große Gewinnchancen zu bieten. Oder gibt es vielleicht doch eine Strategie, die einem Spieler einen Vorteil verschafft?

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hambugga 02.02.2019, 19:50
450. #449 nö

Zitat von IQ149
In der Urne (oder dem Whatserver) sind nicht 100 Kugeln, sondern 101 (0 bis 100, #441). Also bevorzugt Paula gerade Zahlen, denn davon sind mehr in der Urne als ungerade. Und bezüglich Ihrer Rechnung in #447: In der Musterlösung weiß Paul doch auch nicht, welcher der Fälle vorliegt, trotzdem tragen alle 3 zur Gesamtwahrscheinlichkeit bei. Das ist hier genauso. Es kann doch auch nicht sein, dass Paul immer verliert, wenn der zweite Zettel gezogen wird (Fall 2). Er weiß doch nicht, dass es der zweite Zettel ist, und kann deshalb, wie Sie selbst in #447 schreiben, auf Raten umschalten. Wenn es stimmen würde, dass Paul im Fall 2 zu 100% verliert, könnte Paula ja immer den zweiten Zettel aufdecken (was Paul ja jetzt nicht mehr sieht).
Paulas Zufallsgenerator spuckt zwar öfter eine gerade als eine ungerade Zahl aus, aber da Paula als zweite Zahl immer z1+1 wählt, sind in jedem Zahlenpaar eine gerade und eine ungerade Zahl.

Danach ist es Pauls Entscheidung, welcher Zettel aufgedeckt wird, wenn er Paula entscheiiden lassen würde, könnte Paula seine Chancen auf 50% reduzieren, selbst wenn sie nur die drei zahlen 1,2 und 3 verwenden würde.

Da Paul nun aber keine Ahnung hat, welcher Zettel die ungerade Zahl, die zuerst geschriebene Zahl oder oder enthält, halte ich es für sinnvoll, dass er aufgrund eines Münzwurfs entscheidet, welche er aufdeckt.

Nun deckt er eine Zahl auf, die gerade oder ungerade ist, er weiß nicht, ob es die zuerst geschriebene oder die zweite ist.
Wenn er jetzt eine Gleichverteilung seiner k-Zahl auf die Zwischenräume 0,5 bis 100,5 wählt, hat er die faire Chance, mit 1/100 zwischen z1 und z2 zu kommen. Dann gewinnt er sein extra GB, ansonsten hat er die 50:50 Chance.

Haben Sie Einwände oder habe ich mich wieder missverständlich ausgedrückt? Oder haben Sie eine bessere Strategie für Paul?

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hambugga 02.02.2019, 22:55
451. Korrektur #441

Ich glaube, dass ich mich verrechnet habe und Pauls GW eher bei knapp 51% liegt, Aber das Prinzip ist klar, Paula kann durch Vergrößerung ihres Urnenexperiment Pauls Chancen beliebig nah an 50% bekommen.

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querulant_99 03.02.2019, 08:32
452.

Zitat von hambugga
Ich glaube, dass ich mich verrechnet habe und Pauls GW eher bei knapp 51% liegt, Aber das Prinzip ist klar, Paula kann durch Vergrößerung ihres Urnenexperiment Pauls Chancen beliebig nah an 50% bekommen.
Wo steht eigentlich in der der Aufgabenstellung, dass Paula eine Urne mit bunten Kügelchen zu Verfügung geht?
Ich sehe oben auf dem Titelbild nur die folgenden Utensilien:
Kleine gelbe post-it Zettelchen, einen Stift, sowie einen Haufen Gummibärchen. Sonst nix!

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hambugga 03.02.2019, 11:43
453. #452 Ein berechtigter Einwand

Aber das nennt man dann Gedankenexperiment. Nun können Sie einwenden, dass nirgends steht, dass Paula denken kann.

Ich freue mich, dass nur noch Einwände von dieser Kategorie kommen. Dann scheint das mathematische Modell wohl verstanden und akzeptiert zu sein.

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spon_1193964 22.03.2019, 23:33
454. Der selbe Unsinn wie mit den drei Toren, wo eines weg genommen wird

Wahrscheinlichkeit und Statistik muss man mühevoll lernen. Sie ist dem menschlichen Denken nicht inhärent.

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Kiepenkerl9 25.03.2019, 19:15
455. Überraschend aber korrekt

Unter "Laborbedingungen" beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn Pauls 2/3.
Dafür gehen wir davon aus, dass Paulas Zahlen x1 und x2 gleichverteilt im Bereich der ganzen Zahlen sind. Der Fall x1 = x2 tritt mit Wahrscheinlichkeit 0 auf und kann daher vernachlässigt werden.
Für Pauls Schätzung y+0,5 sei y unabhängig von x1 und x2 ebenfalls gleichverteilt im Bereich der ganzen Zahlen. Dann sind alle möglichen Ereignisse
E1: x1 < x2 < y+0,5
E2: x2 < x1 < y+0,5
E3: x1 < y+0,5 < x2
E4: x2 < y+0,5 < x1
E5: y+0,5 < x1 < x2
E6: y+0,5 < x2 < x1
aus Symmetriegründen gleichwahrscheinlich, haben also jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/6.
Nehmen wir an, dass x1 die jeweils aufgedeckte Zahl ist, dann führen die Ereignisse E1, E3, E4 und E6 zur richtigen Entscheidung, E2 und E5 zu einer Fehlentscheidung.
Paul gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit 4/6 = 2/3.
Der Informationsgewinn durch das Aufdecken einer Zahl ist demnach überraschend hoch.
Der reale Spielverlauf lässt natürlich eine exakte Modellierung nicht zu. Hier kann sich Paul aber die Tatsache zunutze machen, dass Menschen die Häufigkeit eines Wechsels zwischen x1 < x2 und x2 < x1 überschätzen. Andererseits kann Paula Pauls Chancen durch eng beieinanderliegende x1 und x2 schmälern.

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maggi_lorenz 28.04.2019, 00:41
456.

Selbstverständlich kann sich ein Spieler durch diese Strategie keinen Vorteil verschaffen, denn (im Gegensatz z.B. zum Ziegenproblem) verfügt er über keine zusätzliche Information, die seine Wahrscheinlichkeit erhöhen könnte. Nehmen wir etwa an, dass alle natürlichen (oder ganzen) Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt werden können. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gedachte Zahl innerhalb des Intervalls der beiden gedachten Zahlen liegt, immer Null - wie groß auch immer dieses Intervall sein mag. Der Spieler hat also keinen Vorteil von seiner Strategie.

Selbstverständlich ist die Annahme einer gleichverteilten Wahrscheinlichkeit für alle (unendlich vielen) Zahlen nicht realistiisch. Mit endlich vielen Symbolen kann man bei festgelegter Länge der "Nachricht" eben nur endlich viele Zahlen beschreiben. Nach Aufdecken der ersten Zahl erhalten wir zwei Intervalle: Zum Einen das Intervall derjenigen Zahlen, die mit unseren Methoden beschrieben werden können und die größer sind, als die erste aufgedeckte Zahl. Nennen wir dies das "obere Intervall" und das Intervall der übrigen möglichen Zahlen das "untere Intervall". Der Spieler muss natürlich darauf tippen, dass die zweite Zahl in dem Intervall liegt, welches die größere Gesamtwahrscheinlichkeit hat. Handelt er nach der Taktik der "gedachten Zahl", so tut er dies dann und nur dann, wenn die gedachte Zahl eine Zahl ist, die genau in der Mitte der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt. Denkt er sich eine andere Zahl, so hat er einen Nachteil.

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maggi_lorenz 06.05.2019, 01:24
457. Nachtrag zum Kommentar 456

1. Im dritten Satz muss es anstelle von "dass die gedachte Zahl innerhalb des Intervalls der beiden gedachten Zahlen liegt" richtig heißen "dass die gedachte Zahl innerhalb des Intervalls der beiden von Paula notierten Zahlen liegt"
2. Werden die beiden Zahlen von Paula unabhängig voneinander gewählt, so ist die Behauptung des Autors ist richtig, dass die Taktik der "gedachten Zahl" eine bessere Chance bietet als 50 zu 50. Ist die zweite Zahl abhängig von der ersten. muss dies aber nicht der Fall sein. Entscheidet Paula z.B. durch einen Münzwurf, ob die zweite Zahl größer oder kleiner als die erste, so hat Paul durch seine Strategie keinen Vorteil.
3. Welche Information verschafft ihm einen Vorteil? Es ist der Umstand, dass die erste Zahl bekannt ist, bevor über das Verhältnis der zweiten zur ersten gewettet wird. Wäre die erste nicht bekannt, so wäre die Chance 50 zu 50. Aber nachdem die erste festgelegt ist, ist die Chance eine andere - trotzdem die Größe dieser Zahl für die Strategie garnicht benutzt wird. Paul könnte seine Strategie allerdings verbessern, wenn er seine Kenntnis über die erste Zahl besser einsetzen würde.
4. Werden die beiden Zahlen von Paula unabhängig voneinander gewählt, so ist es egal, ob die zweite Zahl vor oder nach dem Aufdecken der ersten Zahl gewählt wird.

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hambugga 14.07.2019, 22:09
458. Unzulässige Annahmen über Paula....

Zitat von maggi_lorenz
1. Im dritten Satz muss es anstelle von "dass die gedachte Zahl innerhalb des Intervalls der beiden gedachten Zahlen liegt" richtig heißen "dass die gedachte Zahl innerhalb des Intervalls der beiden von Paula notierten Zahlen liegt" 2. Werden die beiden Zahlen von Paula unabhängig voneinander gewählt, so ist die Behauptung des Autors ist richtig, dass die Taktik der "gedachten Zahl" eine bessere Chance bietet als 50 zu 50. Ist die zweite Zahl abhängig von der ersten. muss dies aber nicht der Fall sein. Entscheidet Paula z.B. durch einen Münzwurf, ob die zweite Zahl größer oder kleiner als die erste, so hat Paul durch seine Strategie keinen Vorteil. 3. Welche Information verschafft ihm einen Vorteil? Es ist der Umstand, dass die erste Zahl bekannt ist, bevor über das Verhältnis der zweiten zur ersten gewettet wird. Wäre die erste nicht bekannt, so wäre die Chance 50 zu 50. Aber nachdem die erste festgelegt ist, ist die Chance eine andere - trotzdem die Größe dieser Zahl für die Strategie garnicht benutzt wird. Paul könnte seine Strategie allerdings verbessern, wenn er seine Kenntnis über die erste Zahl besser einsetzen würde. 4. Werden die beiden Zahlen von Paula unabhängig voneinander gewählt, so ist es egal, ob die zweite Zahl vor oder nach dem Aufdecken der ersten Zahl gewählt wird.
Selbstverständlich hat Pauls Strategie eine Gewinnwahrscheinlichkeit, die größer ist als 50%. Die Aufgabenstellung und die Lösung sind vollkommen richtig.
Paula wählt für, sagen wir, 100 Gummibärchen Zahlenpaare aus, eins nach dem anderen. Dann werden ihre Zahlen natürlich nicht gleichverteilt in den ganzen Zahlen sein, da es ja lediglich 200 Zahlen sind. Es ist also unnötig, über Gleichverteilungen zu reden.
2. Paula wählt zwei Zahlen aus, dann wird eine von Paul gewählt und aufgedeckt, deshalb kann Paula nicht durch Münzwurf entscheiden, ob die zugedeckte Zahl größer oder kleiner ist. Das ist wichtig für die Aufgabe und ihre Lösung.
3. Paul nutzt tatsächlich die Größe der aufgedeckten Zahl, denn er vergleicht sie ja mit seiner eigenen Zahl. Seine Strategie ist ziemlich gut, ich bezweifle, dass "er seine Kenntniss über die erste Zahl besser einsetzen" könnte. Haben Sie dazu einen Vorschlag?
4. Was wollen Sie damit sagen, was heißt eigentlich unabhängig voneinander gewählt? Paula hat die Aufgabe, zwei Zahlen aufzuschreiben, ist das jetzt abhängig oder unabhängig???

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