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Rätsel der Woche: Ein Bauer, ein Baum und eine dreieckige Weide
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Ein Bauer möchte seinen beiden Kindern eine große Weide vermachen. Doch es gibt Streit um einen Baum, der genau am Rand der Wiese steht. Können Sie das Problem lösen?

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Flari 04.09.2016, 12:04
10.

Zitat von Stan
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Jede Linie durch den Schwerpunkt teilt das Dreieck in zwei gleiche Hälften. Also braucht man nur die Verbindung von Baum und Schwerpunkt zu verlängern und stößt so auf den gesuchten Punkt Y.
Da Sie für Ihre Lösung nicht einmal das (rechtwinklige) Dreieck brauchen, machen Sie es sich definitiv zu einfach. :-)

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tubaner 04.09.2016, 12:20
11.

Zitat von Flari
Da Sie für Ihre Lösung nicht einmal das (rechtwinklige) Dreieck brauchen, machen Sie es sich definitiv zu einfach. :-)
Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, weder in den Skizzen noch steht im Text etwas davon.

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holjanger 04.09.2016, 12:33
12. #9: permissiveactionlink, #5,#6 Stan

Da ich gerade im Zug sitze kann ich es leider nicht ausprobieren, aber meine Intuition hat mich nach zwei Sekunden auf dieselbe Lösung wie Stan gebracht und es leuchtet mir nicht ein, wieso nicht jede beliebe Gerade durch den Schwerpunkt das Dreieck zwei in gleich große Teile teilt. Wenn man bei dem Bild mit der Nadel bleibt, das Sie brauchen, dann muesste das Dreieck (bei gleiche Dichte ueber die gesamte Fläche) von der Nadel rutschen. Und zwar in die Richtung der groesseren Fläche. Ich bin immernoch von der Loesung von Stan ueberzeugt.

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StonyBrook 04.09.2016, 12:33
13. Schwerpunkt vs Flächengleichheit

Mein erster Gedanke war auch wie #5: "Schwerpunkt S finden und XS verlängern. Fertig." Klar - auf jeder Gerade durch den Schwerpunkt kann man dann balancieren, aber das impliziert ja leider nicht die Gleichheit der Fläche, sondern nur des Flächenintegrals über den Abstand von der Geraden. Dass das bei den Sritenhalbierenden zusammanfällt, ist klar; ansonsten wohl nicht. Aber mit welchem Argument (oder Gegenbeweis) gilt das bei allgemeinen Geraden durch S nicht?

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Flari 04.09.2016, 12:43
14.

Zitat von tubaner
Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, weder in den Skizzen noch steht im Text etwas davon.
Das habe ich auch weder angenommen, noch etwas davon geschrieb.
Der Artikel schreibt als Hilfsmittel aber von "Mit Stift, Lineal, Dreieck und Zirkel".
Tatsache ist aber, dass man auf das Dreieck für alle Lösungen verzichten kann, bei der effektiven Methode von "Stan" fällt das aber sofort ins Auge, da es bei seiner Lösung nicht einmal eine Arbeitserleichterung bedeuten würde.

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Vorzeichen 04.09.2016, 12:51
15. Sehr schönes Rätsel

Das ist wirklich mal wieder ein schönes Rätsel. Noch viel schöner ist die Lösung Nr. 1 ... und auf die bin ich auch gekommen, allerdings nur mit einem Umweg.

Ich bin nämlich von einem dreieckigen Grundstück mit rechtem Winkel in C ausgegangen. Dann ist alles ganz einfach und mit Zirkeln zu konstruieren. Im zweiten Schritt habe ich mein Dreieck per Scherung auf die gegebene Form gebracht und mir überlegt, wie sich dabei die eingezeichneten Kreise verschieben. Das ergibt dann die in Lösung Nr. 1 genannten Verhältnisse ...

Habe ich aber lange für gebraucht :-(

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StonyBrook 04.09.2016, 12:51
16. #5

"Jede Linie durch den Schwerpunkt teilt das Dreieck in zwei gleiche Hälften."

Woraus folgt das? Ich sehe das nur bei den Seitenhalbierenden. Ansonsten bedeutet eine Wippe oder Waage im Gleichgewicht noch nicht, dass die Massen auf beiden Seiten gleich groß sind.

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rotella 04.09.2016, 12:52
17. Mit etwas Nachdenken

Mit etwas Nachdenken bin ich zu Lösung 2 gekommen:

Flächeninhalt Dreieck ist Höhe mal Grundlinie durch 2.

ha sei der Fußpunkt von A, hy der von Y jeweils auf BC.

Dann gilt Aha * CB = 2 * Yhy * XB (Die beiden "durch 2" kürzen sich weg)

Strahlensatz sagt Aha / Yhy = AB / YB

Es ergibt sich also YB = 1/2 * (CB / XB) * AB

Durch Verlängerung von AB und wiederum Strahlensatz lässt sich einfach (CB / XB) * AB auf der Verlängerung von AB konstruieren. Per Zirkel wird die Strecke dann noch halbiert und wir haben Y.

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permissiveactionlink 04.09.2016, 12:59
18. Schwerpunkt

Ich habe jetzt zwei zufällige Dreiecke gezeichnet, mit zugehörigen Seitenhalbierenden (Zirkel !). Der Schwerpunkt liegt in beiden Fällen nicht auf der Linie xy, die Herr Dambeck in der Konstruktion mit der Parallelen My zu Ax findet. Und diese Linie teilt das Dreieck 1:1. Ich hatte das mit dem Schwerpunkt zunächst auch vermutet; dann müsste Dambecks Konstruktion aber fehlerhaft sein, was nicht anzunehmen ist, aber immerhin möglich wäre.

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hellerim 04.09.2016, 13:02
19. Es geht auch recht einfach

Ziehe die Parallele zur Geraden AX durch C. Die schneidet die Gerade AB in D. Das Viereck XCAY, das genauso groß sein soll wie das Dreieck BXY, ist dann wiederum genauso groß wie das Dreieck XDY (Scherung des Dreiecks XCA nach XDA). Also muss Y genau in der Mitte zwischen B und D liegen. (Flächenformel f = Grundseitenlänge * Höhe /2).
Typisches Reframing: Diese Lösung berücksichtigt mehr als nur den durch das Dreieck ABC suggerierten Rahmen, denn D liegt außerhalb davon. Die Lösung der bekannten Aufgabe, neun in drei Reihen angeordnete Punkte mit einem Zug aus vier Strichen zu verbinden, verlässt ebenfalls den suggerierten Rahmen, der hier durch das aus den äußeren 8 Punkten gebildete Quadrat gegeben ist.

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