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Rätsel der Woche: Exakt 100 Punkte abräumen - nur wie?
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Dieses Dartspiel ist seltsam: Es gibt nur zehn verschiedene Punktzahlen von 6 und 7 bis zu 46 und 47. Wie schafft man es trotzdem, auf genau 100 Punkte zu kommen?

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schnitteuk 13.03.2017, 09:58
30.

Zitat von themistokles
/einmisch. Nein. Die Aufgabenstellung war: "Die drei Spieler Mike, Christian und Ayla haben sich zu einem Spiel verabredet, bei dem es darum geht, so schnell wie möglich auf exakt 100 Punkte zu kommen. "
Nein. Die Aufgabenstellung war:

"Wer hat recht?"

Und das bezog sich auf die drei zuvor genannten Behauptungen, wonach es Lösungen mit drei, mit sechs und mit acht Würfen gebe. Um diese Aufgabenstellung zu bewältigen, muss also nachgewiesen werden, ob es jeweils Lösungen mit drei, mit sechs und mit acht Würfen gibt.

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archie21 13.03.2017, 10:26
31. Schwierig

Diese Aufgabe hat es in sich. Gar nicht so einfach. Hier ist "verstehendes Lesen" gefragt, ich musste gleich an den berüchtigten "PISA-Test" denken.
Ich gebe auch gern zu, das ich sie nicht richtig gelöst habe, und daß mir das erst beim Lesen einiger der Kommentare auffiel.
Also zunächst mal haben sich Mike, Christian und Ayla die Aufgabe gestellt, die 100 so schnell wie möglich zu erreichen. Das ist freilich nicht die Aufgabenstellung für den Leser. Der soll ja nur festellen, "wer von denen recht hat".

Diese Frage ist, wie einige Leser hier zutreffend feststellten, für uns gar nicht zu beantworten, da wir die intellektuellen (Rechen-)Fähigkeiten der drei Spieler, wie auch eventuelle betrügerische Charaktereinstellungen, überhaupt nicht kennen.

Der Rätselfreund überlegt dann allerdings sofort implizit, also mehr oder weniger unbewusst: Wie könnte die Aufgabe denn gemeint sein? So könnten wir nachprüfen, ob wir die Aussagen der Spieler eindeutig widerlegen können, indem wir etwa zeigen, daß die Lösungen 3, 6 und 8 allesamt nicht möglich sind. Diese Widerlegung können wir allerdings nicht führen. Wir müssen also zusätzlich noch annehmen, daß die Spieler mit ihren Aussagen weder lügen noch sich irren. Dann wird so etwas wie eine mathematisch sinnvolle Aufgabe daraus.
Wie ist dann aber eigentlich die Frage "Wer von den Spielern hat recht" gemeint? Reicht es, einen einzigen anzugeben? Ich vermute, man soll das für alle drei überprüfen, aber ich bin mir hier hinsichtlich der Semantik der deutschen Sprache nicht ganz sicher.
Tatsächlich begegnen einem solche semantisch unsauber gestellten Aufgaben auch im Wissenschaftsbetrieb auf Schritt und Tritt, in Klausuraufgaben und "Intelligenz-Tests" (nicht selten bei Einstellungs-Tests!), selbst in Mathe-Wettbewerben. Mathematische Fähigkeiten der Verfasser sind keinesfalls immer mit präzisem Sprachverständnis verbunden. Das gilt natürlich oft auch für Lehrer. Dem Lösenden aber wird zusätzlich noch psychologisches Einfühlungsvermögen abverlangt. Arme Schüler.

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schnitteuk 13.03.2017, 10:49
32.

Zitat von e-dirk
Die teilweise hanebüchenen Ausreden warum man das Rätsel nicht lösen konnte tragen meist mehr zur Erheiterung bei, als das Rätsel selbst
Das ist in der Tat jede Woche wieder ganz großes Kino. Da wird mit auffallender Beständigkeit mit abstrusen Begründungen am Rätsel herumgekrittelt, allein aus der Motivation heraus, dass sich der Herumkrittelnde - der selber das Rätsel nicht gelöst hat - so besser fühlen will. Wenn man nicht auf die Lösung kommt, muss es natürlich am Aufgabensteller liegen. Dafür ist dann kein Quatsch zu abwegig - es werden Doppeldeutigkeiten in die Fragestellung hineininterpretiert, die nicht vorhanden sind; es werden Zusatzannahmen getroffen, die völlig an den Haaren herbeigezogen sind; oder manchmal, wenn gar nichts anderes mehr hilft, wird sogar das Rätsel in ein ganz anderes umgedeutet. Nur die simple Aussage "Nettes Rätsel, ich bin selber nicht auf die Lösung gekommen, aber jetzt, wo ich mir die Auflösung durchgelesen habe, finde ich das wirklich hübsch" - die kommt nie.

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archie21 13.03.2017, 11:15
33.

Zitat von schnitteuk
Wenn man nicht auf die Lösung kommt, muss es natürlich am Aufgabensteller liegen. Dafür ist dann kein Quatsch zu abwegig - es werden Doppeldeutigkeiten in die Fragestellung hineininterpretiert, die nicht vorhanden sind; [...]
Das wiederum ist dann die typische Ausrede des (Lehrers, Professors usw.) Aufgabenstellenden, der nicht in der Lage war, sich klar auszudrücken. ;-)

Hier im vorliegenden Fall freilich geht es um nichts. Mathematisch ist die Sache nicht sehr anspruchsvoll, aber es fällt auf, daß so einige der Leser die Aufgabe nicht richtig verstanden hatten. Sie hatten sie wohl zu flüchtig gelesen. Dennoch wird, wie man an Ihrem Beitrag sieht, eine bitter ernste Debatte daraus, die auch Beleidigungen nicht scheut. Wie wird es dann wohl erst im Ernstfall, also in der Schule oder Universität? Da müssen dann oft die Gerichte ran, wo man mit etwas mehr Sorgfalt der Profis das Problem vermieden hätte.

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hikage 13.03.2017, 11:30
34. albern

In der Abstimmung fehlt mir zunehmend die Option:
Ich fand das Rätsel sowohl einfach als auch vollkommen sinnbefreit.

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metastabil 13.03.2017, 12:03
35.

Der Leser muss zum Beantworten der Frage "Wer hat Recht" nichts über die intellektuellen Fähigkeiten und den Charakter der drei Spieler wissen. Mike behauptet, er könne auf dem Dartbrett mit den Zahlen 6, 7, 16, 17, 26, 27, 36, 37, 46, 47 mit drei Würfen die 100 Punkte genau erreichen. Eine mögliche Lösung hierfür wäre zum Beispiel {7; 46; 47}.
Vielleicht ist Mike selbst auf diese Lösung gekommen.
Vielleicht ist Mike auch mathematisch untalentiert, und dachte bei seiner Aussage an die Kombination {17;46;47}
Vielleicht hat Mike auch gar nicht über eine Lösung nachgedacht, und ins Blaue behauptet, er würde es mit drei Würfen schaffen.
Egal ob Mike seine Aussage aufgrund einer richtigen Lösung, einer falschen Lösung, oder auch völlig unbegründet gemacht hat: er hat eine wahre Aussage getroffen. Mit drei Würfen kann er genau 100 Punkte erreichen.

Über die "korrekte" Semantik einer Frage kann man sicherlich streiten. Wissenschaftlich sauber ist es allerdings nur, wenn bei einer Fragestellung mit mehreren Aussagen auch alle Aussagen bewertet werden. Daher ist, zumindestens im wissenschaftlichen Sinne, die Frage erst zufriedenstellend beantwortet, wenn für jede der drei Aussagen der Wahrheitswert bestimmt wurde.

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themistokles 13.03.2017, 12:04
36.

Zitat von schnitteuk
Nein. Die Aufgabenstellung war: "Wer hat recht?" Und das bezog sich auf die drei zuvor genannten Behauptungen, wonach es Lösungen mit drei, mit sechs und mit acht Würfen gebe. Um diese Aufgabenstellung zu bewältigen, muss also nachgewiesen werden, ob es jeweils Lösungen mit drei, mit sechs und mit acht Würfen gibt.
Immer noch: Nein.
1) "Die drei Spieler Mike, Christian und Ayla haben sich zu einem Spiel verabredet, BEI DEM ES DARUM GEHT, SO SCHNELL WIE MÖGLICH auf exakt 100 Punkte zu kommen. "

2) "Mike: "Ich kann mit drei Würfen 100 Punkte machen."
Christian: "Keine Ahnung, ob das geht. Mit sechs Würfen aber klappt es auf jeden Fall."
Ayla: "Ich weiß, dass ich es mit acht Würfen schaffen kann."
Wer hat recht? "

Die Aufgabenstellung also:
1. Wie schnell kann man 100 Punkte in einem Durchgang schaffen?
2. Wer hat recht mit seiner Aussage, das er mit seinen Würfen am schnellsten schafft?

In beiden Fällen lautet die Antwort also: 3

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schnitteuk 13.03.2017, 12:25
37.

Zitat von themistokles
Immer noch: Nein. 1) "Die drei Spieler Mike, Christian und Ayla haben sich zu einem Spiel verabredet, BEI DEM ES DARUM GEHT, SO SCHNELL WIE MÖGLICH auf exakt 100 Punkte zu kommen. " 2) "Mike: "Ich kann mit drei .....
Man muss die Aussagen von Mike, Christian und Ayla schon sehr rabulistisch umbiegen, um die Fragestellung so zu interpretieren. Das fängt schon damit an, dass Christian ausdrücklich (!) zugibt, nicht zu wissen, ob Mike mit seiner Behauptung recht hat, dass es in drei Würfen gehe. Man kann also unmöglich die Aussage von Christian, es gehe in sechs Würfen, dahingehend interpretieren, dass Christian behauptet, sechs Würfe seien die schnellste Möglichkeit. Ähnlich mit Ayla: Sie sagt nur, dass es mit acht Würfen gehe; nicht mehr und nicht weniger. Sie zweifelt nicht an, dass es mit drei gehen könnte, und sie zweifelt auch nicht an, dass es mit sechs gehen könnte. Sie behauptet einfach nur, dass es mit acht gehe. Und das gilt es zu beweisen oder zu widerlegen, ebenso wie die beiden anderen Behauptungen. Denn die Fallfrage, die es zu beantworten gilt, ist nun einmal sehr klar und deutlich mit "Wer hat recht?" gestellt. Nicht mit: "Wer ist der Schnellste?" Ihre Umformulierung der Fragestellung ist einfach falsch, denn die "Aussage, das er mit seinen Würfen am schnellsten schafft", wurde von keinem der drei aufgestellt.

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tradepro 13.03.2017, 12:54
38. Verstehe die Erläuterung nicht?

Ich verstehe die Erläuterung nicht. Was hat die Tabelle und die Erläuterung des vielfachen von 10 mit den 3 angebotenen Lösungen 1) 2) und 3) zu tun? Ist doch nichts anderes als es wieder durch abschätzen und addieren zu lösen.

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rotella 13.03.2017, 13:03
39.

Zitat von permissiveactionlink
Ist mir ein Rätsel, wie Sie das auf die schnelle programmiert haben. Vielleicht ist die Anzahl der Partitionen von n auch bei Wolfram Alpha abfragbar, aber die Größe jener Teilmenge davon, die keinen einzigen Summanden doppelt besitzen wohl eher nicht. Ich hatte den Begriff Partitionen falsch in Erinnerung. Summen mit mehreren identischen Summanden gehören natürlich auch dazu. Also muss man die Aufgabe so modifizieren, dass Felder auch mehrfach getroffen werden dürfen. Dann stimmt die Lösung mit 490. Interessant wäre dann noch die Frage, wieviele Möglichkeiten es in diesem Szenario gibt, wenn es auf die Reihenfolge der Summanden ankommt.
An sich ist die Programmierung trivial, so fern CPU-Zeit keine Rolle spielt, und sollte auch mit Wolfram Alpha machbar sein.

Der Witz ist, dass ich das Problem rekursiv löse, also eine rekursive Funktion erstelle. Als Mathematiker würde man wohl implizite Funktion sagen, aber ich bin eher ein IT-Mensch. Was bedeutet rekursiv? Das heißt, ich zerlege ein Problem in ein oder mehrere Teilprobleme, die alle jeweils ein bisschen einfacher sind als das ursprüngliche, und wende denselben Trick wieder und wieder auf alle Teilprobleme an so lange, bis die einzelnen Teilprobleme so simpel geworden sind, dass ich sie direkt lösen kann.

In diesem Fall nenne ich die Funktion darts(restsumme, min) mit den beiden Parametern restsumme und min. Als Beispiel betrachte ich eine Auswahl der Zahlen 2 und 5 und möchte nun wissen, wieviele Möglichkeiten es gibt, diese Auswahl mit einer Auswahl bestehend aus den Zahlen 6 oder höher zu vervollständigen, um auf die Summe 20 zu kommen. restsumme wäre in diesem Fall also 20 - 2 - 5 = 13 und min wäre 6, zur Lösung müsste ich also darts(13, 6) berechnen.

Die Definition von darts(restsumme, min) ergibt sich dann unmittelbar zu:

Falls min > restsumme: 0
Falls min = restsumme: 1
Falls min < restsumme:
1 + Summe(i = min ... restsumme -1) darts(restsumme - i, i + 1)
Wo hier Summe steht, benutzt der Mathematiker stattdessen das Sigmazeichen.

Die Lösung des Problems mit 20 bekomme ich also, in dem ich darts(20, 1) berechne oder für 200 entsprechend darts(200, 1)

Als (leicht optimierter) C-Code sieht die Funktion dann so aus:

int darts(int rest, int min)
{
int n = 1;
while (2 * min < rest) {
n += darts(rest - min, min + 1);
min++;
};
return n;
}

Wenn man auch noch berücksichtigen will, wie viele Möglichkeiten es gibt unter zusätzlicher Berücksichtung der Reihenfolgen, müsste man den Algorithmus ergänzen um eine Strichliste, in der einzeln vermerkt wird, wie viele Lösungen mit 1, 2, 3 oder mehr Würfen erzielt wurden und die jeweiligen Anzahlen mit n! gewichten und dann summieren. Aber das ergibt keinen weiteren Erkenntnisgewinn und wäre bloß Fleißarbeit, also darf das jemand anderes übernehmen :)

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