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Rätsel der Woche: Harmonie auf dem Navi
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Es sind noch genau 100 Kilometer bis zum Ziel, das Auto fährt exakt 100 km/h. 99 Kilometer vorm Ziel bremst der Fahrer auf 99 km/h ab, bei 98 Kilometern auf 98 Stundenkilometer und so weiter. Wie lange dauert die Fahrt insgesamt?

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n.a.i.s 01.11.2015, 09:16
1. 5,19 Stunden

benötigt der Fahrer bis zum Ziel

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George Dabbelju 01.11.2015, 09:33
2. Ergänzung: Fehlerabschätzung

Für die, die es interessiert: Man kann sich relativ leicht eine Abschätzung herleiten, die erstmal ohne Kenntnis der Euler-Mascheroni-Konstante auskommt.

Für alle n größer-gleich 2 gilt:
ln(n) + 1/n
ist echt kleiner als
Summe der 1/k (von k=1 bis n)
ist echt kleiner als
ln(n) + 1.

Beweis: (graphisch)
Leider etwas schwierig zu schildern, wenn man es nicht selbst aufmalt, aber ich probiere es mal:
Man sieht es prima, wenn man sich den Graph von ln(n) aufmalt und dann darunter die Kehrwerte (1/1, 1/2, 1/3, ...) als Kästchen. Schließlich dieselben Kästchen noch einmal um 1 auf der x-Achse verschoben... Dann vergleiche man die Fläche der Kästchen sowie die Fläche unter dem Graphen ab x=1.

Die Fläche der über den Graphen von ln(n) hinausragenden Kästchen-Anteile entspricht übrigens genau der besagten Euler-Mascheroni-Konstante = 0.57... (von der lustigerweise bis dato niemand weiß, ob es eine rationale oder irrationale Zahl ist).

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JocMet1967 01.11.2015, 09:37
3. Wer macht denn sowas..?

Mal abgesehen davon, dass das keiner macht - mir erschliesst sich nicht der praktische Nutzen solch einer Idee - und mal abgesehen davon, dass ich nicht weiss, wie man das ausrechnet - ich hab auch erst gar keine Lust, darüber nachzudenken.

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StonyBrook 01.11.2015, 09:59
4. Was ist daran ein Rätsel?

Man muss die Fahrt nicht umdrehen - 1/100 h für den ersten km und dann hoch auf 1 h . Damit ist das Rätsel zuende. Die Summe kann man jetzt mit Excel ausrechnen oder man hat das Glück, den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Harmonischer Reihe zu _kennen_. Errätseln kann man sich den zwar (Ober- und Untersummen), aber ohne Euler-M-Konstante ist das Wissen wertlos.

Bleibt also unterm Strich die Simulation. Kein Rätseln.

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drui 01.11.2015, 10:07
5. In der wirklichen Welt

wird der Fahrer zwischen Kilometer 100 und 90 von anderen Verkehrsteilnehmern massiv angehupt und aufgeblendet und spätestens bei Kilometer 75 von der Polizei angehalten und in die Geschlossene eingewiesen.

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nessaalk 01.11.2015, 10:19
6. Kommt der Fahrer überhaupt an?

Das eigentliche Rätsel ist: Was passiert auf dem letzten Kilometer? Irgendwann kurz vor dem Ziel muss als Abstand zum Ziel eine Null vor dem Komma erscheinen. In diesem Moment reduziert der Fahrer sein Tempo auf 0 km/h. Dummerweise ist das Ziel aber noch nicht erreicht, denn die verbleibenden Nachkommastellen werden ja nicht angezeigt. Er könnte zwar noch mit z.B. 0,4 km/h weiterfahren, aber so ein Zahlenfetischist macht keine halben Sachen, also bleibt er vor dem Ziel stehen und kommt nie an. Die Lösung muss lauten: "Unendlich" oder "Es gibt keine Lösung innerhalb der reellen Zahlen".

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Stäffelesrutscher 01.11.2015, 10:30
7.

Zitat von JocMet1967
Mal abgesehen davon, dass das keiner macht - mir erschliesst sich nicht der praktische Nutzen solch einer Idee - und mal abgesehen davon, dass ich nicht weiss, wie man das ausrechnet - ich hab auch erst gar keine Lust, darüber nachzudenken.
Das gilt sicherlich für viele Aufgaben in einem Mathebuch.
Gehörten Sie in der Schule auch zu denen, die sagten: »Ich habe aber gar keine zehn Äpfel und auch keine Schwester, der ich vier Äpfel abgebe. Also habe ich keine Lust, darüber nachzudenken, wie viele Äpfel ich danach noch habe«?

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tyxh 01.11.2015, 10:30
8. Das ist einfach

Zu lang!
Der depp hat seinen Führerschein wohl in nem ausmalwettbewerb gewonnen!

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querulant_99 01.11.2015, 10:35
9.

Zitat von nessaalk
Das eigentliche Rätsel ist: Was passiert auf dem letzten Kilometer? Irgendwann kurz vor dem Ziel muss als Abstand zum Ziel eine Null vor dem Komma erscheinen. In diesem Moment reduziert der Fahrer sein Tempo auf 0 km/h. Dummerweise ist das Ziel aber noch nicht erreicht, denn die verbleibenden Nachkommastellen werden ja nicht angezeigt. Er könnte zwar noch mit z.B. 0,4 km/h weiterfahren, aber so ein Zahlenfetischist macht keine halben Sachen, also bleibt er vor dem Ziel stehen und kommt nie an. Die Lösung muss lauten: "Unendlich" oder "Es gibt keine Lösung innerhalb der reellen Zahlen".
Wenn Sie die Aufgabe sorgfältig gelesen hätten, dann wüssten Sie, dass der Autofahrer nicht kontinuierlich abbremst, sondern "ruckweise" alle 1 Kilometer um 1 km/h, damit fährt er mit 1 km/h durch die Ziellinie, um dann sofort auf 0 km/h abzubremsen. Insofern ist die Lösung (näherungsweise) richtig. Natürlich dauert der Bremsvorgang jedes mal einige Sekundenbruchteile, so dass die Fahrtzeit insgesamt geringfügig kürzer ist.

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