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Rätsel der Woche: Inselhopping
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Einmal pro Tag startet eine kleine Maschine zur Nachbarinsel und kommt am gleichen Tag wieder zurück. Wie beeinflusst der Wind die Gesamtflugzeit?

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Bibe 15.01.2017, 09:59
1. Sorry, ich versteh's nicht.

Wenn die Formel bei Flaute so aussieht: 2a²-2x² und die Windgeschwindigkeit x = O ist, dann ist ist bei Flaute wir bei Wind 2a² =2a², also gleich. Oder?

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Instin 15.01.2017, 10:02
2. Es geht auch einfacher

Wenn die Wingeschwindigkeit gegen die Fluggeschwindigkeit geht
die Zeit für den Hinflug gegen 1/(2*x)
und die Zeit für den Rückflug gegen 1/0,
die Gesamtzeit also gegen unendlich. Qed

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Affenhirn 15.01.2017, 10:05
3. Analogie zum Tanken

Die Lösung erklärt im Prinzip auch, warum es günstiger ist, immer zum gleichen Preis zu tanken (z.B. 30 Euro), anstatt immer die gleiche Menge (z.B. 25 Liter).

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wolfi7777 15.01.2017, 10:38
4. Harmonisches Mittel

Nehmen wir den extremen Fall: Der Wind bläst so stark, dass die Motoren nicht gegen ankommen ... Dann fliegt das Flugzeug in der einen Richtung mit Rückenwind doppelt so schnell - in der anderen gar nicht ... Es gibt eine klassische variante dieses Rätsels: Jemand fährt von München nach Frankfurt morgens, wegen des Berufsverkehrs erreicht er nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h. Nach Feierabend "rast" er zurück mit 120 km/h - was ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt? Lösung kommt später!

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mm-1272378560533 15.01.2017, 11:05
5. Windgeschwindigkeit bei Flaute per Definition bei 0

Auszug: Bei Wind ist die Geschwindigkeit auf dem Hinflug kleiner - nämlich a-x. Auf dem Rückflug ist sie hingegen größer - und zwar a+x.
x kann definiert werden als eine Größe zwischen 0 und unendlich. Bei Wind liegt x > 0. Bei Flaute herrscht per se kein Wind - somit x = 0.
Folglich sind beide Flugzeiten-Gleichungen identisch. Der Beweis soll aber gem. Autor darin liegen, dass das Ergebnis bei Flaute kleiner ist als bei Wind, was für X=0 (per Definition Flaute) jedoch nicht zutrifft. M.E. also kein Beweis!! Hr. Dambeck: bitte um Statement.

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741nickmanofsteel 15.01.2017, 11:38
6. Einfache Lösung

Die Lösung hat sich bereits in der Aufgabenstellungen verraten, die besagt, dass das Flugzeug für Hin und Rückflug immer einen Tag braucht. Und dass Windstärke und Windrichtung immer täglich konstant ist. Nun ist das Flugzeit aber morgens zur Nachbarinsel hingeflogen und erst am nächsten Tag wieder zum Startpunkt angekommen ist, da sich die Windrichtung verändert hat.

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Zäld 15.01.2017, 11:45
7. Andere Erklärung

Ich habe noch eine andere, vielleicht intuitiv einleuchtende Erklärung, warum sich die Verfrühung und Verspätung bei Wind nicht gegenseitig aufheben:

Die Flugzeit bei Rückenwind ist kürzer als bei Gegenwind. Das bedeutet, das Flugzeug fliegt eine kürzere Zeit mit höherer Geschwindigkeit als mit niedriger.

Auf die gleiche Flugzeit wie bei Windstille würde man aber nur kommen, wenn gleich lange mit höherer als auch mit niedriger Geschwindigkeit geflogen werden werden würde. Da nun aber länger langsamer geflogen wird, vergrößert sich die Reisezeit eben.

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stenni 15.01.2017, 12:01
8. Erläuterung der Lösung

Foristen 1 und 5 haben Schwierigkeiten mit der Interpretation der Musterlösung und auch ich war zunächst verwirrt. Im Grunde ist es aber ganz einfach. Wir haben 2 Zeitgleichungen: 1/(a+x) + 1/(a-x) bei Wind und 1/a + 1/a bei Flaute. So wie sie dastehen sieht man den Gleichungen nicht an, welche der beiden Seiten größer ist. Multipliziert man nun beide Seiten mit dem Faktor a(a-x)(a+x) steht links a² und rechts a²-x². Und damit wird klar, dass für x 0 die linke Seite größer ist, also bei Wind mehr Zeit gebraucht wird

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permissiveactionlink 15.01.2017, 12:06
9. Flugdauer

Bei Flaute ist die Gesamtflugzeit t = (2 * s) / vF . s ist die Entfernung zwischen den Inseln, vF die Geschwindigkeit des Flugzeuges bei Flaute. Herrscht hingegen ein konstanter Wind, dann beträgt die Gesamtflugdauer T = (2 * s) / (vF - (vW^2)/vF). vW sei der Betrag der Windgeschwindigkeitskomponente, die genau in Flugrichtung bzw. in Gegenrichtung weht. Da der Nenner in dem Term durch vW kleiner wird, muss die Gesamtflugzeit ansteigen. Dies erfolgt bei konstantem Wind aus beinahe jeder Richtung, mit einer Ausnahme : Der Wind darf nicht senkrecht zur Flugrichtung wehen, denn dann ist der Betrag seiner Komponente in Flugrichtung bzw. in Gegenrichtung gleich Null.

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