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Rätsel der Woche: Jonglieren mit Potenzen
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Wenn Sie wissen, was das Quadrat einer Zahl ist, können Sie auch ihre sechste Potenz ausrechnen. Aber was machen Sie, wenn das Ergebnis 17-stellig ist?

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jburg 07.08.2016, 20:07
30. Ringmodulation heute, 19:31 Uhr

Habe nichts gegen den Lacher, mir fehlt ein Argument, z.B. falsch für n=8

,-)

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h.weidmann 07.08.2016, 20:26
31.

xxx^6 ist kongruent x^6 (mod 10) denn
xxx ist kongruent x (mod 10).

Also genügt es,

1^6 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6 zu berechnen.

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h.weidmann 07.08.2016, 20:45
32.

Zitat von jburg
Habe nichts gegen den Lacher, mir fehlt ein Argument, z.B. falsch für n=8 ,-)
Der Lacher bezog sich wohl auf die Formulierung
"... den Satz vom kleinen Fermat" des Foristen peter.nurrrum.

Ich fands eher zum Schmunzeln, ich weiß eben auch nicht, wie groß Fermat war.

Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass Forist peter.nurrum die korrekte Antwort auf Ihren Hinweis geliefert hat.

Schönen Abend noch.

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WernerGg 07.08.2016, 20:51
33. Einfacher

Der Ausdruck ist
(111*1)^6 + (111*2)^6 + ... + (111*5)^6 = 111^6 * (1^6 + 2^6 + ... + 5^6) = 111^6 * 20515.
111^6 endet auf 1, das Produkt also auf 5.

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h.heinze 08.08.2016, 05:23
35. Es geht einfacher

auch ohne Binomische Formel,
sieht man leicht, dass überall Vielfache von 111^6 drin stecken.
Einfaches Ausklammern des Faktors genügt.

== 111^6 + 2^6 * 111^6 + ... + 5^6 * 111^6
== 111^6 * (1 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6)

für die Berechnung der letzten Stellen:

= 1 + 4 + 9 + 6 + 5
= (1 + 9) + (4 + 6) + 5

Die letzten Stellen von (1 + 9) =10 und (4 + 6) = 10 sind 0 siehe Gauss Summenformel (paar Bildung),
also bleibt nur die 5 als letzte Stelle übrig . . .

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querulant_99 08.08.2016, 07:42
36.

Zitat von jburg
Es reicht 1hoch2 + 2hoch2 etc. Warum weiss ich (noch) nicht, Ansatz ist wohl, dass nhoch5 als letzte Ziffer immer n hat!!
Ärgerlich ist nur, dass die 8 bei diesem Schema aus der Reihe tanzt. ;-)

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5Minute 08.08.2016, 08:20
37.

Zitat von hinz_&_kunz
5^x=25 Fertig
Rechenweg falsch.

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Sique 08.08.2016, 09:26
38.

Zitat von jburg
Es reicht 1hoch2 + 2hoch2 etc. Warum weiss ich (noch) nicht, Ansatz ist wohl, dass nhoch5 als letzte Ziffer immer n hat!!
Die Begründung (und gleichzeitig Lösung) ist einfach.

1. Es ist klar, dass nur die letzte Ziffer der Basis eine Rolle für die Potenz spielt, dh. wir können statt 111, 222,... 555 auch 1, 2, 3, 4 und 5 betrachtet. (Für Mathematiker: Für die Endziffer reicht es, modulo 10 zu rechnen).

2. Die Endziffern von Potenzen einer Basis durchlaufen immer Zyklen, die geraden Zahlen haben immer eine gerade Potenz, die ungeraden immer eine ungerade. Aber nicht jede gerade und jede ungerade Ziffer kommt in allen Zyklen als Endziffer vor. So kommt die Ziffer 5 nur bei Potenzen vor, deren Basis ebenfalls durch 5 teilbar ist, die 0 dagegen nur bei Potenzen, die durch 0 teilbar sind.

Wir haben also für die übrigen Potenzen vier gerade mögliche Endziffern (2,4,6,8) und vier ungerade (1,3,7,9). Da wir nur vier mögliche Endziffern haben, können wir nur Zyklen mit 1, 2 und 4 Elementen haben (drei scheidet aus, da 4 nicht durch 3 teilbar ist). D.h. nach spätestens vier Potenzen sind wir auf jeden Fall wieder beim Ausgangspunkt. Damit können wir die Sechserpotenzen durch Zweierpotenzen ersetzen, und wir erhalten:
111^6 + 222^6 + 333^6 + 444^6 + 555^6 ist äquivalent zu 1² + 2² + 3² + 4² + 5² modulo 10.

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permissiveactionlink 08.08.2016, 09:40
39. #34, Binz_&_kunz

Glückwunsch ! Sie haben eine völlig neue, innovative Art für sich entdeckt, Potenzrechnung zu praktizieren. Haben Sie aber bitte Verständnis dafür, dass ich mir diese modifizierte Form der Arithmetik nicht zu eigen mache. a^n + b^n + ......+ z^n ist nämlich keinesfalls dasselbe wie (a + b +......+ z)^n . Deshalb ist auch 111^6 + 222^6 + 333^6 + 444^6 + 555^6 = 38371554537582915, während (111 + 222 + 333 + 444 +555)^6 = 21305190758208890625 . Ihr Ergebnis ist lediglich um den Faktor 555,234... zu groß. Da kann man von Glück sagen, dass unsere Brücken nicht von Hinz&Kunz konstruiert werden.

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