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Rätsel der Woche: Jonglieren mit Potenzen
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Wenn Sie wissen, was das Quadrat einer Zahl ist, können Sie auch ihre sechste Potenz ausrechnen. Aber was machen Sie, wenn das Ergebnis 17-stellig ist?

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albrecht-wabnitz 09.08.2016, 18:05
50.

Die Aufgabe ist,wen man sie als eine Polynom betrachtet, sehr einfach zu lösen.
x=111
==>x^6+2x^6...+5x^6 /da alle Basen Vielfache von 111 sind.

Vereinfachen: 15 * x^6 /durch einsetzen von 111 ergibt sich: 15*111^6

Da jede Potenz von einer Zahl die auf Eins endet, wiederum mit Eins endet, muss die Lösung Fünf sein, da mit 15 multipliziert wird.

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permissiveactionlink 09.08.2016, 19:06
51. #50, albrecht-wabnitz

Ähem...,Nein. Leider begehen Sie denselben Fehler wie einige Foristen zuvor. Wenn Sie in der Summe 111^6 + 222^6 +......+ 555^6 die Zahl 111 durch x ersetzen, erhalten Sie mitnichten das Polynom x^6 +2x^6 + 3x^6 + 4x^6 +5x^6 sondern vielmehr das Polynom (1*x)^6 + (2*x)^6 + (3*x)^6 + (4*x)^6 + (5*x)^6 = x^6 + 2^6*x^6 + 3^6*x^6 + 4^6*x^6 +5^6*x^6 = x^6 + 64x^6 + 729x^6 + 4096x^6 + 15625x^6 = 20515x^6 . Aber auch 20515 endet mit der Ziffer Fünf. Dann stimmt's wieder. Ihr Lösungswege ist aber dennoch nicht korrekt.

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querulant_99 10.08.2016, 14:25
52.

Zitat von permissiveactionlink
Ähem...,Nein. Leider begehen Sie denselben Fehler wie einige Foristen zuvor. Wenn Sie in der Summe 111^6 + 222^6 +......+ 555^6 die Zahl 111 durch x ersetzen, erhalten Sie mitnichten das Polynom x^6 +2x^6 + 3x^6 + 4x^6 +5x^6 sondern vielmehr das Polynom (1*x)^6 + (2*x)^6 + (3*x)^6 + (4*x)^6 + (5*x)^6 = x^6 + 2^6*x^6 + 3^6*x^6 + 4^6*x^6 +5^6*x^6 = x^6 + 64x^6 + 729x^6 + 4096x^6 + 15625x^6 = 20515x^6 . Aber auch 20515 endet mit der Ziffer Fünf. Dann stimmt's wieder. Ihr Lösungswege ist aber dennoch nicht korrekt.
Bei dem Rätsel kann man sich eigentlich nicht verrechnen. Es kommt immer 5 heraus, egal mit welcher Potenz man rechnet. Man überprüfen mal mein These mit:
111^555 + 222 ^555 + 333^555 + 444^555 + 555^555

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permissiveactionlink 10.08.2016, 17:13
53. #52, querulant_99

Das stimmt ! Aber wie Sie meinem Kommentar #27 entnehmen können, liegen Sie mit der Entziffer 5 lediglich in 75 Prozent der Fälle richtig, bezogen auf verschiedene Exponenten n (In der Aufgabe ist n = 6). Nur dann, wenn der Exponent durch 4 teilbar ist, liegen Sie falsch. In diesem Fall, also z.B. für n = 556 erhält man stets die Entziffer 9. Aber das wäre dann wieder ein anderes mathematisches Problem.

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permissiveactionlink 10.08.2016, 18:08
54. Exponent 556, Nachtrag

Die Summe 1^556 + 2^556 +.....+ 5^556 hat 558 Ziffern und eine 9 als letzte Ziffer. 111^556 hat ebenfalls 558 Ziffern, aber natürlich eine 1 als letzte Ziffer. Das Produkt ist 1116 Ziffern lang und hat als letzte Ziffer eine 9.

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querulant_99 10.08.2016, 20:10
55.

Zitat von permissiveactionlink
Das stimmt ! Aber wie Sie meinem Kommentar #27 entnehmen können, liegen Sie mit der Entziffer 5 lediglich in 75 Prozent der Fälle richtig, bezogen auf verschiedene Exponenten n (In der Aufgabe ist n = 6). Nur dann, wenn der Exponent durch 4 teilbar ist, liegen Sie falsch. In diesem Fall, also z.B. für n = 556 erhält man stets die Entziffer 9. Aber das wäre dann wieder ein anderes mathematisches Problem.
Ich machte meine Beweisführung eben wie ein Physiker:

n=1: passt!
n=2: passt!
n=3: passt!
n=4: Messfehler!
n=5: passt!
n=6: passt!
n=7: passt!
Jetzt machen wir mal etwas großere Schritte:
n=10: passt!
n=25: passt!
n=50: passt!
n=99: passt!
n=333: passt!
n=555: passt!
usw.

Also, die Regel gilt eigentlich immer. ;-)

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