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Rätsel der Woche: Quadrate gesucht
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Können Sie die Zahlen von 1 bis 16 so hintereinander schreiben, dass benachbarte Zahlen sich immer zu einer Quadratzahl zusammenfügen?

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permissiveactionlink 05.01.2019, 13:30
10. #9, lipp

Wenn Sie mit 16 beginnen, dann muss die Zahlenfolge mit ...1,8 enden, da 8 nur mit 1 neben sich eine Quadratzahl ergibt. Um auf 25 zu kommen, würden sie mit der 8 noch eine 17 benötigen, um auf 16 zu kommen noch eine zweite 8. Beide sind aber nicht im Angebot. Deshalb entfällt die von Ihnen vermutete alternative Abfolge hinter dem Folgenglied 3.

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swandue 05.01.2019, 14:02
11.

Wer mag, kann neben die 16 auch noch die 0 stellen. :-)

Für die Quadratzahlen ergibt sich die Folge 9 - 16 - 25 - 16 - 9 - 16 - 25 . . .

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zbv10 05.01.2019, 14:06
12. Zwei Lösungen?

Ich bin nur von einer Lösung ausgegangen, vor- wie rückwärts ist doch gleich. Die natürlichen Zahlen können ja auch nur in einer Reihenfolge angeordnet werden (habe jedenfalls noch nichts anderes gehört).

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tempolimit 05.01.2019, 14:08
13. Warum

muss lipp aus #9 denn die Schlussfolgerung, dass am Ende 1 und 8 stehen muss, schon vorwegnehmen, wenn die eine, nämlich dass die Reihe an einem Ende mit 16 beginnen muss (die ist auch schneller gefunden), doch ausreicht, um sie so aufzubauen, wie er es getan hat. Für Logikpuristen natürlich untragbar...

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rotella 05.01.2019, 15:13
14. Weitere Lösungen für N != 16

Ich löse mal meine Frage auf, es gibt außer für N=16 noch Lösungen für:
N=1: 1 (Trivialfall)
N=15: 8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9
N=16: 8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16
N=17: 17 8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16

Die Lösungen für 16 und 17 ergeben sich direkt aus der Lösung für 15.

N=23:
18 7 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 3 22 14 11 5 20 16 9
18 7 9 16 20 5 11 14 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 3 22
18 7 9 16 20 5 11 14 22 3 1 8 17 19 6 10 15 21 4 12 13 23 2

Ab N>=25 wird die Anzahl Lösungen immer größer, für N=40 sind es bereits knapp 40000. Die Suchzeit bei größeren N - selbst wenn man nur eine einzige Lösung sucht - steigt jedoch auch ordentlich. Ich habe nach N=76 abgebrochen.

Die Frage bleibt noch offen, ob es große N gibt, für die sich besonders einfach eine einzelne Lösung bestimmen lässt, ein Kandidat wäre z.B. N=4^i analog zur Lösung für N=16.

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permissiveactionlink 05.01.2019, 15:16
15. #13, tempolimit

Muss er nicht. Aber wenn man feststellt, dass die Zahlen 16 und 8 jeweils nur einen Nachbarn haben können, und dieser nur je einmal auftreten darf, dann müssen an den Enden 16 und 8, und an zweiter und fünfzehnter Stelle 9 und 1 stehen. Und daraus folgt dann die Abfolge aller (!) dazwischenliegender Zahlen, ohne (!) Alternativen nach dem Folgeglied 3. Die 1 kann nicht auf die 3 folgen, es muss (!) die 6 sein. Logik-Purismus hin oder her !

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emil_erpel8 05.01.2019, 17:11
16.

Zitat von phm_271828
In der Lösung wird behauptet, dass - ausser 16 und 8 - jede Zahl genau zwei potenzielle Nachbarn hat.
Nein, das steht da nicht, das "genau" haben Sie dazuerfunden.

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stenni 05.01.2019, 20:54
17. #16 Das steht sehr wohl da!

Zitat von emil_erpel8
Zitat von phm_271828 "In der Lösung wird behauptet, dass - ausser 16 und 8 - jede Zahl genau zwei potenzielle Nachbarn hat." Nein, das steht da nicht, das "genau" haben Sie dazuerfunden.
...nur anders formuliert. In der "Lösung" steht: "14 Zahlen haben zwei mögliche Nachbarzahlen. Zwei haben nur einen einzigen potenziellen Partner: die 8 und die 16." Und das ist zumindest irreführend, wie phm_271828 sehr richtig bemerkt hat, denn 1 und 3 haben 3 mögliche Nachbarn. Es steht ja nicht dort, dass 14 Zahlen MINDESTENS 2 Nachbarzahlen haben (das wäre korrekt), sondern "zwei mögliche". Wenn da stünde, 14 Ehepaare haben 2 Kinder und 2 Ehepaare haben 1 Kind würden sie ja auch nicht erwarten, dass es bei den genannten Ehepaaren auch welche mit 3 Kindern geben könnte.

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permissiveactionlink 05.01.2019, 22:07
18. #17, stenni

Das ist korrekt. Die diesmal vorgestellte Lösung ist unvollständig, denn für 1 und 3 gibt es nicht nur je zwei, sondern je drei mögliche Nachbarzahlen. Wie der Forist phm_271828 aber bereits feststellte, ändert sich dadurch nichts, denn für die Lösung sind nicht die Zahlen mit zwei oder drei möglichen Nachbarn ausschlaggebend, sondern ausschließlich die beiden Zahlen mit nur einem möglichen Nachbarn, 16 und 8. Diese lassen nur eine Folge und ihre umgekehrte Folge als Ergebnisse zu. Die Lösung ist also unvollständig, aber für das Verständnis des Lösungsweges ist das irrelevant.

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rotella 06.01.2019, 12:49
19. Lösung für N=100

Wirklich große Fortschritte bei der Suche für größere N konnte ich leider nicht erreichen, immerhin aber noch eine schöne Lösung für N=100 finden, welche genau dem Muster für N=16 entspricht: (Element 2 und 3, 4 und 5, 6 und 7... summieren stets zu N)


50 14 86 58 42 7 93 51 49 15 85 59 41 8 92 52 48 1 99 70 30 6 94 75 25 11 89 55 45 19 81 63 37 12 88 56 44 5 95 74 26 23 77 67 33 3 97 72 28 21 79 65 35 46 54 90 10 39 61 83 17 47 53 91 9 16 84 60 40 24 76 68 32 4 96 73 27 22 78 66 34 2 98 71 29 20 80 64 36 13 87 57 43 38 62 82 18 31 69 100

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