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Rätsel der Woche: Rechnen mit zwei Unbekannten
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Eine Gleichung mit zwei Unbekannten? Eigentlich ist das unlösbar. Doch mit etwas Geschick finden Sie einen Weg.

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Moewi 16.02.2015, 12:22
2.

Das Beispiel für X=9 und Y=2 wurde schon genannt. Nun geht es um die Regel für eventuelle (=unbekannt ob erfüllt) weitere Zahlenpaare.
Es gibt ein paar Regeln, denen die Variablen unterliegen, um die Gleichung erfüllen zu können. Die trivialen kann ich aufzählen - die komplizierteren muss ich wohl nachreichen ;o)

Aus der positiven Differenz dieser Kubikzahlen kann man entnehmen: x>0; y>0; x>y

Da die Differenz ungerade ist muss eine der beiden Variablen gerade und eine ungerade sein.
[(x mod 2=0) UND (y mod 2>0)] ODER [(x mod 2>0) UND y mod 2=0)]

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Hardin 16.02.2015, 12:26
3. Mathe in Rätseln

Wer noch über Grundkenntnisse in Mathe verfügt wird die Lösung in ein paar Minuten ausrechnen, wer lange nichts mit Mathe zu tun hatte womöglich nicht lösen können - ist das der Sinn eines solchen Rätsels? Es gibt so viele gute Logiträtsel bei denen es um einen kreativen Einfall geht und nicht um simples rechnen, wieso man sowas auswählt ist mir schleierhaft.

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sapereaude! 16.02.2015, 12:31
4. Korrekte Ausdrucksweise

Zitat von
Eine Gleichung mit zwei Unbekannten? Eigentlich ist das unlösbar.
Eine Gleichung mit n Unbekannten ist nich eindeutig lösbar. Aber im Allgemeinen sehr wohl lösbar. In der Mathematik und den Naturwissenschaften ist eine präzise Formulierung wichtig!

Das hier gestellte Problem hat die Lösung

f(x) = (x^3 - 721)^(1/3)

Für x

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Moewi 16.02.2015, 12:41
5. Fortsetzung (Klickfehler)

Zur Aufstellung einer Regel muss man nun vermutlich noch eine Beziehung zwischen den Variablen erkennen, welche ihrerseits eindeutig mit dem Ergebnis 721 in Verbindung gebracht werden kann.

für x=16 und y=15 sind alle Bedingungen ebenfalls erfüllt. Hier gilt: x-y=1(=Untergrenze für ungerade/gerade), d.h. damit ist sowohl der Mindestabstand zwischen x und y, und gleichzeitig die Differenz erfüllt.
Somit sollte es keine weitere Zahlenpaarung jenseits von x=16; y=15 geben, welche die Bedingung erfüllen kann. Die Differenz aller weiteren (=höheren)Paare, die ebenfalls x-y=1 erfüllen, ist immer grösser als 721.
Hoffe ich...

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angularm 16.02.2015, 17:23
6.

Sobald man auf x^3-y^3 = (x-y) (x^2+xy+y^2) = 721 kommt, ist die Aufgabe fast gelöst.

(x-y) muss in x^3-y^3 stecken, da x=y eine offensichtliche Lösung für x^3-y^3=0 ist.

(x^2+xy+y^2) ist für alle natürlichen Zahlen positiv. Dann bedenkt man noch, dass 721 in Primzahlen zerlegt 7*103 ist und es bleiben nur 4 Lösungspaare,
2 positive und 2 negative, jeweils zwei für (1*721) bzw. (7*103);

(-15, -16), (-2, -9), (16, 15), (2, 9)

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FürstBoolean 16.02.2015, 18:26
7. Rechnenknecht

Also ich bin doof (ich habe noch nicht einmal die beschrieben Lösung verstanden), aber mein Rechenknecht ist geduldig und man braucht nur ein paar Zeilen VBA:

Sub RechenKnecht()

Dim lMaxX As Long
Dim lX As Long
Dim lMaxY As Long
Dim lY As Long
Dim lErgebnis As Long
Dim lPruefwert As Long

lMaxX = 20
lMaxY = 20
lPruefwert = 721

For lX = 1 To lMaxX
For lY = 1 To lMaxY

lErgebnis = lX ^ 3 - lY ^ 3

If lErgebnis = lPruefwert Then
Debug.Print "X: " & lX & " Y: " & lY
End If

Next lY
Next lX

End Sub

Ergebnis:
X: 9 Y: 2
X: 16 Y: 15

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sokki 16.02.2015, 19:30
8. weitere interessante Varianten

Unter Verwendung des Ansatzes von "sapereaude" wird die Konstante k als Parameter eingeführt:
f(x) = (x^3 - k)^(1/3)
Für k= 721 ist die Lösung ja bekannt.
Für k= 91; k= 217 und k=1027 ergeben sich
weitere interessante ganzzahlige Lösungen.
Viel Spass.

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D-Arvit 17.02.2015, 11:37
9. Elementarer

x>y => x=y+a mit a,x,y € N

Einsetzen in liefert quadratische Gleichung für y mit Parameter a. Lösen und da Radikand>0 ergibt sich:
0

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