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Rätsel der Woche: Schnittige Würfel
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Es gibt viele Varianten, einen Würfel mit einem geraden Schnitt in zwei Teile zu zerlegen. Welche Formen sind bei der Schnittfläche möglich?

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noalk 02.02.2019, 18:33
1. Zahl der beim Schneiden durchtrennten Kanten

Diese Zahl bestimmt die Zahl der Ecken des Polygons. Für ein gleichseitiges Dreieck reichen Parallelen zu den Flächendiagonalen. Gleichschenkliges Trapez geht auch. Geht ein rechtwinkliges Dreieck?

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IQ149 02.02.2019, 18:52
2. Die Lösung ist nicht falsch, aber sinnlos

Regelmäßige Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecke kann man doch auch nicht-invasiv mit Zirkel und Lineal konstruieren, warum sollte man dazu einen Würfel zerschneiden, zumal hierbei die Fünfecke nie regelmäßig werden? Außerdem stört mich an der Musterlösung, dass man die Schnittflächen der abgeschnittenen Teile nicht sieht. Sorry, ich bin noch etwas benommen von der Schlacht um die Gummibärchen.

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dasfred 02.02.2019, 19:02
3. Jetzt hab ich rote Finger

Ich hatte heute morgen zufällig ein Glas Rote Bete Würfel gekauft. Ich hab weniger Würfel verbraucht, als ich dachte, um die vorgegebenen Flächen mit einem Schnitt herzustellen. Experimentelle Mathematik schmeckt immer noch am besten.

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permissiveactionlink 02.02.2019, 19:21
4. Benommen bin ich auch !

Die Lösungen für regelmäßige Dreiecke, Vierecke und Sechsecke waren schnell gefunden. Aber wie Forist IQ149 hatte ich Probleme mit den regelmäßigen Fünfecken : Dass Fünfecke als Schnittflächen existieren, wobei eine Ecke des Fünfeckes eine Würfelecke ist, die anderen vier auf Würfelkanten liegen, war klar. Nicht aber, dass auch ein regelmäßiges Fünfeck existiert. Dann wäre zu berechnen, in welchem Verhältnis die vier von fünf Ecken des Fünfeckes die vier Würfelkanten teilen müssen, damit tatsächlich ein regelmäßiges Fünfeck als Schnittfläche entsteht. Existiert eine solche Lösung tatsächlich, oder nicht ?

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permissiveactionlink 02.02.2019, 20:35
5. #4

Habe erst jetzt die Lösung gesehen. Eine Suche nach einem regelmäßigen Fünfeck erübrigt sich offenbar...

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permissiveactionlink 03.02.2019, 11:36
6. Das Fünfeck

sollte eigentlich immer ein ursprüngliches Quadrat sein, an dessen einer Ecke ein gleichschenkliges Dreieck abgetrennt ist. Dabei entsteht ein Fünfeck, das nicht regelmäßig sein kann, da es ein Paar gleichlanger Seiten, ein Paar gleichkurzer Seiten sowie eine weitere Seite besitzt, die kürzer, gleichlang oder länger sein kann als die Seiten im gleichkurzen Paar. Es sollte also auch fünfeckige Schnittflächen geben, bei denen zwei Seiten dieselbe eine Länge, und drei Seiten dieselbe andere (kürzere) Länge besitzen.

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betonklotz 03.02.2019, 12:24
7. Natürlich ist die Lösung sinnlos!

Zitat von IQ149
Regelmäßige Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecke kann man doch auch nicht-invasiv mit Zirkel und Lineal konstruieren, warum sollte man dazu einen Würfel zerschneiden, zumal hierbei die Fünfecke nie regelmäßig werden? Außerdem stört mich an der Musterlösung, dass man die Schnittflächen der abgeschnittenen Teile nicht sieht. Sorry, ich bin noch etwas benommen von der Schlacht um die Gummibärchen.
Sie ist ja auch ohne Mops. ;) Ich verstehe allerdings Ihren Kritikpunkt mit den Schnittflächen der abgeschnittenen Teile nicht. Die Schnittflächen sehen natürlich an beiden Teilen gleich aus. Oder meinten Sie vielleicht die Form der abgeschnittenen Teile?

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dasfred 03.02.2019, 12:30
8. Zu Nr.2 IQ149

Ja, dass mit den Gummibärchen war schon schlimm. Nun aber zu den Schnittflächen der abgeschnittenen Teile. Es liegt nun mal in der Natur der Sache, wenn man etwas mit einem glatten Schnitt zerteilt, dass dann beide Schnittflächen identisch sein müssen.

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h.weidmann 03.02.2019, 12:33
9.

Zitat von permissiveactionlink
sollte eigentlich immer ein ursprüngliches Quadrat sein, an dessen einer Ecke ein gleichschenkliges Dreieck abgetrennt ist. Dabei entsteht ein Fünfeck, das nicht regelmäßig sein kann, da es ein Paar gleichlanger Seiten, ein Paar gleichkurzer Seiten sowie eine weitere Seite besitzt, die kürzer, gleichlang oder länger sein kann als die Seiten im gleichkurzen Paar. Es sollte also auch fünfeckige Schnittflächen geben, bei denen zwei Seiten dieselbe eine Länge, und drei Seiten dieselbe andere (kürzere) Länge besitzen.
Stimmt genau! Es werden 3 Körperecken gleichzeitig abgeschnitten.
Ob man Ihre Forderung an die Seitenlängen erfüllen kann, müsste man tatsächlich mal durchrechnen.

Erweitert man die Aufgabe auf die platonischen Körper, kann man auch regelmäßige Fünfecke schneiden, nämlich bei Dodekaeder und Ikosaeder. Beim Ikosaeder ist allerdings kein regelmäßiges Sechseck möglich.
Beim Dodekaeder sind die meisten regelmäßigen Polygone möglich, nämlich 3-, 4-, 5-, 6- und 10-Eck.

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