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Rätsel der Woche: Schnittige Würfel
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Es gibt viele Varianten, einen Würfel mit einem geraden Schnitt in zwei Teile zu zerlegen. Welche Formen sind bei der Schnittfläche möglich?

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archie21 03.02.2019, 12:48
10.

Die Begründung (von Dambeck), dass ein regelmäßiges Fünfeck nicht möglich ist, ist genial einfach. Ich wäre bestimmt auch selbst darauf gekommen, jedenfalls wenn sie mir eingefallen wäre.

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archie21 03.02.2019, 12:58
11. Quadratisches Fünfeck?

Zitat von permissiveactionlink
Das Fünfeck sollte eigentlich immer ein ursprüngliches Quadrat sein, an dessen einer Ecke ein gleichschenkliges Dreieck abgetrennt ist. Dabei entsteht ein Fünfeck, das nicht regelmäßig sein kann, da es ein Paar gleichlanger Seiten, ein Paar gleichkurzer Seiten sowie eine weitere Seite besitzt, die kürzer, gleichlang oder länger sein kann als die Seiten im gleichkurzen Paar. Es sollte also auch fünfeckige Schnittflächen geben, bei denen zwei Seiten dieselbe eine Länge, und drei Seiten dieselbe andere (kürzere) Länge besitzen.
Auch ein "ursprüngliches Quadrat" ist noch ein Quadrat. Ob das aber auch für "fortschrittliche Quadrate" gilt?

Immerhin gilt: Sobald die Schnittfläche einen rechten Winkel enthält, ist sie ein Qudrat (ein konservatives, bzw. "ursprüngliches"). Die andere Forderung mit den Seitenlängen können Sie leicht erzielen, indem Sie durch eine der Ecken des Würfels schneiden. Wahrscheinlich aber nicht mit der Dambeckschen Konstruktion, wie sie in seiner Illustration dargestellt ist.

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hermann gottschewski 03.02.2019, 13:43
12. Nein, sicher nicht.

Zitat von permissiveactionlink
Das Fünfeck sollte eigentlich immer ein ursprüngliches Quadrat sein, an dessen einer Ecke ein gleichschenkliges Dreieck abgetrennt ist. Dabei entsteht ein Fünfeck, das nicht regelmäßig sein kann, da es ein Paar gleichlanger Seiten, ein Paar gleichkurzer Seiten sowie eine weitere Seite besitzt, die kürzer, gleichlang oder länger sein kann als die Seiten im gleichkurzen Paar. Es sollte also auch fünfeckige Schnittflächen geben, bei denen zwei Seiten dieselbe eine Länge, und drei Seiten dieselbe andere (kürzere) Länge besitzen.
Nein, ein Quadrat ganz sicher nicht. Legen Sie den Würfel so, dass die an dem "abgeschnittenen" gleichschenkligen Dreieck befindliche Seite oben ist (wie in der Abbildung in dem Artikel mit der Lösung). Jetzt setzen Sie Ihr gleichschenkliges Dreieck wieder an das unregelmäßige Fünfeck an, so dass Sie (wie Sie meinten) wieder ein Quadrat bekommen. Wenn Sie sich nun den ursprünglichen Würfel nach oben fortgesetzt vorstellen, sehen Sie, dass Ihre "quadratische" Fläche ein schräger Schnitt durch einen aufrecht stehenden Quader mit quadratischer Grundfläche ist. Die eine Diagonale der Schnittfläche (die Parallel zu der "abgeschnittenen" Seite des ursprünglichen Fünfecks steht) steht dabei waagerecht im Raum und ist somit genauso lang wie die Diagonale der Grundfläche des Würfels/Quaders. Die andere Diagonale hat ihre Projektion auf der anderen Diagonale der Grundfläche des Würfels/Quaders, liegt aber schräg im Raum und ist somit jedenfalls länger. Wenn die Diagonalen aber verschieden lang sind, ist Ihr Quadrat kein Quadrat, sondern eine Raute mit zwei spitzen und zwei stumpfen Winkeln. Im Übrigen gilt auch diese Argumentation nur, wenn die "abgeschnittene" Seite auf der Oberseite des ursprünglichen Würfels die Seiten des Würfels im Winkel von 45 Grad schneidet. Sie können aber auch einen anderen Winkel nehmen, ohne dass Sie deshalb weniger ein Fünfeck bekommen. Nur dass dieses dann auch keine Raute mit abgeschnittener Ecke mehr darstellt, sondern irgend ein anderes Parallelogramm mit abgeschnittener Ecke. (Dass es ein Parallelogramm sein muss, folgt aus Holger Dambecks Argument mit den parallelen Seiten des Würfels.)
Mir war übrigens für die Begründung, dass ein Fünfeck nicht möglich ist, eine anderes Argument eingefallen: Ein Fünfeck muss fünf Seiten des Würfels schneiden und die sechste Seite ungeschnitten lassen. Legen wir den Würfel auf die ungeschnittene Seite. Nun muss genau eine Ecke des Fünfecks dieser Unterseite am nächsten sein. (Wenn zwei Ecken gleich weit unten wären, läge eine Seite parallel zur Unterseite, und dann müsste auch die auf der oberen Seite des Würfels liegende Seite parallel dazu liegen, und damit wäre die Schnittfläche nicht fünfeckig, sondern viereckig.) Wenn wir aber die unterste Ecke des Fünfecks betrachten, sieht man leicht, dass die beiden an diese Ecke anliegenden Seiten des Fünfecks einen spitzen Winkel bilden, da sie ja eine rechtwinklige Kante des Würfels schneiden. Ein regelmäßiges Fünfeck hat aber keine spitzen Winkel.

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permissiveactionlink 03.02.2019, 13:49
13. #11, archie21

Zugegeben, es war von mir etwas blöde formuliert. Dambecks Beweis für die Nichtexistenz eines regelmäßigen Fünfeckes als Schnittfläche ist tatsächlich sofort plausibel. Man muss dabei aber sehr genau lesen : Die Paarweise Parallelität der Würfelflächen, auf denen die Fünfeckseiten liegen müssen, reicht noch nicht aus : Erst die Tatsache, dass dieses Fünfeck eine Ebene aufspannt führt zusätzlich dazu, dass vier der Fünfeckseiten paarweise parallel verlaufen, bzw. die vier von fünf Vektoren zwischen den Eckpunkten des Fünfeckes paarweise kollinear sind. Das hatte ich auch übersehen, und erst in der Lösung durchschaut. Wenn man es nämlich auf einem Blatt Papier perspektivisch hinzeichnet, vermutet man zuerst noch, es könnte eine Lösung für ein regelmäßiges Fünfeck geben....

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adS 03.02.2019, 14:12
14. Zusatzfrage

Welcher ebene Schnitt durch einen Würfel hat die größte Fläche?

Schönen Gruß,

Rainer aus dem Spring

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IQ149 03.02.2019, 14:18
15. Schnittflächen der Gegenstücke (#7, #8)

Ich hatte in der Tat zunächst vermutet, das regelmäßige Fünfeck wäre evtl. auf der Schnittfläche eines der abgetrennten Teile verborgen. Aber das Argument, dass die Schnittflächen der Gegenstücke kongruent zum jeweils sichtbaren Teil sind, hat mich inzwischen doch davon überzeugt, dass in diesem Rätsel keine der beiden Seiten einen Vorteil hat. Meine diesbezüglichen Erfahrungen basieren auf stumpfen Messern und überreifen Honigmelonen und haben mich wohl etwas in die Irre geführt.

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permissiveactionlink 03.02.2019, 14:28
16. #12, hermann gottschewski

Ja, Sie haben Recht. Ich hatte mich zu sehr an der Darstellung in der Lösung orientiert, wo die vier oberen Fünfecks-Ecken paarweise auf derselben Höhe (Koordinate z) liegen. Wenn man den Schnitt so durchführt, dass eine Ecke des Fünfecks unten rechts mit der Ecke des Würfels zusammenfällt, der Schnitt auf der vorderen Würfelfläche die Steigung 1/2 hat (Würfelkantenlänge sei 1LE) und auf der rechten Würfelfläche 3/4, dann kann gar kein Quadrat die Ausgangsfläche des Fünfecks sein, weil schon diese beiden Schnittseiten unterschiedliche Längen besitzen (1,118 bzw. 1,25 LE) Vielleicht habe ich heute nachmittag noch Lust, das Ganze mit analytischer Geometrie durchzurechnen, und die Winkel zwischen den dabei entstehenden Schnittseiten zu bestimmen. Es ist sehr wahrscheinlich, dass sich diese Winkel deutlich von 90° unterscheiden. Ein Parallelogramm, aus dem ein Dreieck an einer Ecke herausgeschnitten wird, ist deshalb vermutlich eher zutreffend...

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xtraa 03.02.2019, 14:41
17. Ein Punkt ist nur eine virtueller Link in einem Koordinatensystem

Insofern ist in der Realität ein Dreieck immer nur ein Sechseck mit sehr kleinen Seiten. Selbst ein Atom hätte einen Durchmesser. Das wiederum bedeutet, dass die dadurch entstehenden neuen Ecken wiederum... usw. also haben wir unendliche vielecke, in jeder geometrischen Form. Das bekannteste ist der Kreis.

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archie21 03.02.2019, 15:04
18.

Zitat von permissiveactionlink
Man muss dabei aber sehr genau lesen : Die Paarweise Parallelität der Würfelflächen, auf denen die Fünfeckseiten liegen müssen, reicht noch nicht aus : Erst die Tatsache, dass dieses Fünfeck eine Ebene aufspannt führt zusätzlich dazu, dass vier der Fünfeckseiten paarweise parallel verlaufen
Jetzt überlege ich gerade, wie ein "gerader Schnitt" durch einen Würfel, so wie er unübersehbar in der Aufgabe gefordert wird (schon in der Überschrift!), eine Schnittfläche erzeugen könnte, deren Kanten *nicht* in einer Ebene liegen. Einen geschlossenen Weg mit fünf gleich langen Strecken auf der Oberfläche eines Würfels können sie übrigens leicht erzeugen, wobei diese Strecken jeweils an den Kanten des Würfels enden. Das würde ich aber nicht mehr als "Schnitt" bezeichnen, schon gar nicht als einen "geraden".

Mit dem "verstehenden Lesen" - oder auch "Zuhören" - ist es so eine Sache. Laut PISA-Studie (? die ist schon über zehn Jahre her, glaube ich) können das in D nur wenige. Weil schon nach dem ersten oder zweiten Satz, den jemand sagt oder schreibt, die Gedanken zu den eigenen Ideen abschweifen und "kreativ" eine Neufassung erzeugen, was derjenige wohl gemeint haben könnte. Wahrscheinlich ist das meistens einfacher und weniger anstrengend, führt aber leider oft zu Missverständnissen. Gerade hier im Forum zu den "Mathe-Aufgaben" kann man das immer wieder sehr gut beobachten. Wobei ich mich selbst gar nicht völlig ausschließen will, denn auch mir sind schon gelegentlich Details der Aufgabenstellungen schlicht entgangen.

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archie21 03.02.2019, 15:50
19.

Zitat von adS
Welcher ebene Schnitt durch einen Würfel hat die größte Fläche? Schönen Gruß, Rainer aus dem Spring
Das dürfte jenes Rechteck sein, welches durch zwei gegenüberliegende Kanten des Würfels definiert wird (Fläche 1,4142). Aber wie beweist man das, also dass diese Fläche die Maximale ist? Wir brauchen natürlich einen Beweis, der - sagen wir - fünf Zeilen nicht übersteigt. Sonst versteht es keiner mehr.

Das regelmäßige Sechseck ist es jedenfalls nicht, denn das hat nur die Fläche 1,299.

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