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Rätsel der Woche: Seltsame Addition
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Jeder Buchstabe steht für eine Ziffer. Können Sie das Kyptogramm entschlüsseln?

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Tinkywinky 24.03.2019, 11:50
20. Verallgemeinerung

Man kann das Rätsel fortspinnen und etwa auf vier Ziffern ausweiten: Gibt es Ziffern w, x, y, z mit www + xxx + yyy + zzz = wxyz? Die Antwort ist Ja! Wähle w = 2, x = 9, y = 9, z = 7. Bei fünf Ziffern gibt es sogar drei Lösungen. Gibt es für jede Ziffernanzahl Lösungen?

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WernerGg 24.03.2019, 12:20
21. Lösung für beliebige Basis N

Die SPON-Lösung scheint mir viel zu kompliziert - und schlecht zu verallgemeinern. Viel einfacher ist es, wie schon von Kolb in #9 vorgeschlagen, die Bestimmungsgleichung aufzulösen. Ich schreibe [abc] für die Ziffernschreibweise (zu beliebiger Basis), um sie von der Multiplikation abc zu unterscheiden.

Die Bestimmungsgleichung ist dann für eine beliebige Basis N
[xx]+[yy]+[zz] = [xyz] mit 1 ≤ x,y,z ≤ N-1
x!=y!=z sind übrigens keine Forderung des Rätsels.

Aufgelöst mit [ab]=aN+b, [abc]=aN^2+bN+c ergibt das die Bestimmungsgleichung
(N^2-N-1)x = [zy]

Die größte darstellbare zweistellige Zahl ist N^2-1. Daher muss
x ≤ (N^2-1)/(N^2-N-1)
sein. Das ist aber für N=2 (Dualzahlen) gleich 3 und ab dann immer kleiner als 2 größer als 1. Somit kommt in jeder Basis nur x=1 in Betracht. Unsere ursprüngliche Bestimmungsgleichung wird daher
x= 1 und (N^2-N-1) = [zy]

Im Dualsystem ist das x=1 und 1 = [zy], was keine Lösung haben kann.

In jeder andren Basis lassen sich z und y eindeutig ausrechnen, und zwar gilt das, was rotella schon in #3 gesagt hat:

Für die Basis 2 gibt es keine Lösung. Für jede Basis N>2 gibt es genau eine Lösung, nämlich
x=1, y=N-1, z=N-2

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permissiveactionlink 24.03.2019, 13:15
22. rotellas zusatzaufgabe

lässt sich auch abwandeln, und dann wohnt ihr eine interessante Eigenschaft inne : Beginnend mit einer beliebigen Zahl, a d d i e r t man die gleichlange Zahl mit umgedrehter Zifferfolge hinzu. Das wiederholt man mit der Summe und ihrer umgedrehten Zahl. Dabei erhält man früher oder später als Ergebnis ein Palindrom. Beispiel : 6689 + 9866 = 16555, 16555 + 55561 = 72116, 72116 + 61127 = 133243, 133243 + 342331 = 475574 (ein Palindrom). Der Beweis, dass immer ein Palindrom herauskommt, ist m.W. bisher nicht geglückt. Zugegeben, wieder kein Partyknaller !

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rotella 24.03.2019, 14:19
23. #22; pal

Wem die Zusatzaufgabe mit dem Viererzyklus aus #19 zu schwer für einen Sonntagnachmittag ist (man MUSS nicht unbedingt einen Computer benutzen, man KANN sie auch per Hand lösen, ist aber eklig, wenn man sich einmal vertut) und die Vermutung von PAL aus #22 auch nicht beweisen möchte, kann vielleicht mit einer deutlich leichteren Aufgabe zum Partykracher werden: Man zeige, dass es zu jeder ganzen Zahl, die nicht auf Null endet, ein Vielfaches gibt, welches ein Palindrom ist! (Kleiner Tipp: Schubfachprinzip!)

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smickey 24.03.2019, 14:34
24. einfach

11+99+88=198

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IQ149 24.03.2019, 14:55
25. Lösung für Basis N (#21)

Einer: Wegen x+y+z = z (mod N) muss x+y = N sein, Übertrag 1. Zehner: Analog muss x+z+1 = N sein, Übertrag 1. Also ist x = 1 (Hunderter) und folglich y = N-1 und z = N-2 (vgl. #3).

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IQ149 24.03.2019, 15:50
26. Palindrom (#22)

Ich habe das Verfahren soeben Mal erprobt und mir rein zufällig die Zahlen 89 und 196 gewählt. Bei der ersten wurde das Palindrom schon 13-stellig, bei der zweiten habe ich bei 17 Stellen verzweifelt aufgegeben.

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Klekih_petra 24.03.2019, 15:59
27. Hmmmm,

ich hab erstmal angenommen, dass die größte erreichbare Zahl = 77+88+99 = 264 sein kann. Also kann x entweder 1 oder 2 sein. Dann muss x+y = 10 ergeben, damit die letzte Stelle der Summe = z ist. Dann ein bisschen mit EXCEL rumprobiert, und schon ergibt sich xyz = 198.

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WernerGg 24.03.2019, 17:00
28. An Klekih_petra, #27

Zitat von Klekih_petra
ich hab erstmal angenommen, dass die größte erreichbare Zahl = 77+88+99 = 264 sein kann. ...
Das darf man m. E. nicht annehmen, weil niemand verlangt, dass x, y, z paarweise verschieden sein müssen. Somit ist die größte erreichbare Zahl 99+99+99=297. Was man aber für die Lösung nicht braucht.

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querulant_99 24.03.2019, 17:32
29.

Zitat von WernerGg
Das darf man m. E. nicht annehmen, weil niemand verlangt, dass x, y, z paarweise verschieden sein müssen. Somit ist die größte erreichbare Zahl 99+99+99=297. Was man aber für die Lösung nicht braucht.
Wenn in der Aufgabenstellung steht:
"Jeder Buchstabe steht für eine Ziffer",
dann interpretiert das jeder normale Mensch so, dass es bei 3 verschiedenen Buchstaben auch 3 verschiedene Ziffern gibt.

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