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Rätsel der Woche: Unendlich viele Quadrate
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Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate zerlegt, manche davon werden blau gefärbt. Welche Fläche belegen die unendlich vielen blauen Quadrate?

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Sibylle1969 19.01.2019, 14:46
1. Konvergiert

Das ist ein Spezialfall der geometrischen Reihe. Und diese konvergiert, wenn der Summand

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RealSim 19.01.2019, 14:50
2. Ja hingucken ist schneller

Das stimmt natürlich. Die Lösung ist 1/3. Aber, dass es zu einem Rätsel mit Grenzwertberechnung keine Diskussionen geben wird glaub ich erst wenn ich es sehe ;)

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betonklotz 19.01.2019, 15:10
3. Da war das Rätsel letzte Woche effektiver

Gehen wir mal davon aus, dass es die Aufgabe des Rätselstellers ist, eine möglichst lange Debatte im Forum auszulösen. Plausibel, da SPon von den Clicks lebt. Dann wird diese Aufgabe wohl kaum an die von letzter Woche herankommen. Hier haben wir es mit einer simplen geometrischen Reihe zu tun, Lösung 4*(1/(1-1/4))=1/3, da ist der Klärungsbedarf eher klein. Früher war einfach mehr Lametta! ;)

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rotella 19.01.2019, 15:12
4. Geometrische Reihe (ohne das erste Element)

x = 1/(4) + 1/(4*4) + 1/(4*4*4)+...
4x = 1 + 1/(4) + 1/(4*4) + 1/(4*4*4)+...
4x - x = 3x = 1
x = 1/3

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permissiveactionlink 19.01.2019, 15:28
5. Die unendliche geometrische Reihe

s = 1+1/4+1/(4^2)+1/(4^3).... = a(0)/(1-q). Dabei ist a(n) = 1*(q^n), und a(0)=1 sowie q=1/4. Lösungen existieren nur für q kleiner 1. Hier erhält man 1/(1-1/4)=1/(3/4)=4/3. Multipliziert man jeden Summanden mit 1/4, dann gelangt man zu der Reihe in der Aufgabe : 1/4 + 1/16 + 1/256 + .....+ 1/(4^n) = 4/3 * 1/4 = 1/3. In diesem Fall sieht man das Ergebnis sofort, aber das ist bei geometrischen Reihen nicht immer so. Beispiel : Verwandeln Sie die Dezimalzahl 0,243 (mit Periodenstrich über 243) in einen Bruch. a ist jetzt 243/1000, und q = 1/1000. Denn 0,243(Periode) = 243/1000 + 243/1000 * 1/1000 + 243/1000 * (1/1000)^2 + ...... = (243/1000)/(1-1/1000) = 243/(1000 * 999/1000) = 243/999 = 9/37, da ggT(243,999) = 27

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Bundestrainer 19.01.2019, 15:38
6. Schöne Lösung

Die "optische" Lösung ist wirklich sehr schön und intuitiv!

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Websingularität 19.01.2019, 15:44
7. Das war ja einfach

Das ist eine gewöhnliche Rekursion.
Die geometrische Reihe führt auf das Ergebnis 1/3

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Hyacinth 19.01.2019, 15:51
8. Ich hab's tatsächlich gesehen :)

Rechnen könnte ich das nicht ;)

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IQ149 19.01.2019, 16:07
9. Nur 58 dunkle Quadrate

Wenn das Ausgangsquadrat eine Fläche von 1 Quadratmeter hat, dann liegt die Seitenlänge des 59. Quadrates bereits unterhalb der Planck-Länge (1E-35 m) und gehört somit zu den im Rätseltext erwähnten unendlich kleinen Quadraten. Dieses und alle folgenden Quadrate haben also die Fläche Null und tragen nichts mehr zur Summe der dunklen Quadrate bei, so dass diese (zwar geringfügig, aber unabweisbar) kleiner als 1/3 ist.

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