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Rätsel der Woche: Wettrennen auf der Rolltreppe
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Ein Mann geht eine fahrende Rolltreppe nach oben - plötzlich rennt ihm eine Frau hinterher und holt ihn tatsächlich ganz am Ende ein. Wie viele Stufen hat die Treppe?

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noalk 14.11.2016, 16:51
50. Grenzwert

Zitat von comeback0815
Mag sein. Die Originalfrage befasste sich allerdings damit, warum der Marathonläufer die Schildkröte niemals einholt. Denn beide bewegen sich fortwährend und immer wenn der Marathonläufer an Stelle X ankommt, ist die Schildkröte X + e weiter. e wird natürlich beliebig klein, aber eben nicht 0...
e wird in der Tat nicht 0, aber die Summe aller e strebt gegen einen endlichen Wert, und darum hat die Schildkröte keine Chance ...

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qewr 14.11.2016, 18:05
51.

Zitat von Bastian__
Die Rolltreppe hat an der Oberseite 36 Stufen und genauso viele Stufen laufen an der Unterseite wieder zurück, also zusammen 72 Stufen.
Das stimmt auch nicht: Wenn es 36 sichtbare Stufen gibt, liegen denen gegenüber ebenfalls 36 plus mindestens je zwei am Ende und am Anfang auf der Rolle.

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makromizer 14.11.2016, 19:00
52.

Das Beste an diesen Rätseln sind doch immer die Kommentare.
Mein Vorschlag für das nächste Rätsel mit ein bisschen mehr Praxisbezug: Wie schafft man es, versetzt zu werden, wenn man sowohl in Mathe als auch in Deutsch mit ungenügend benotet wird?

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permissiveactionlink 14.11.2016, 23:33
53. #48, WernerGg

Darum ging es in dem Kommentar #45 des Foristen marubo aber gar nicht. Offenbar hast Du den nicht gelesen. marubo stellt fest, dass die Lösung, bei der der Mann auf der zweiten Hälfte des Weges nach oben 12 Stufen läuft nur funktioniert, wenn die Rolltreppe stillsteht. In diesem Fall ist die Geschwindigkeit der Frau doppelt so hoch wie die des Mannes, und nicht viermal so hoch (wie in Dambecks Lösung). Bewegt sich aber die Rolltreppe, dann können Mann und Frau angeblich unendlich weiterlaufen, bevor die Frau den Mann erreicht (Unendliche Rolltreppenlänge). Auf einer endlich langen Rolltreppe mit v größer Null kommt der Mann dann immer zuerst an. Und selbst wenn v gleich Null ist : Die Bewegung der beiden auf der Rolltreppe erinnert sehr wohl an Zenon : der Mann hat die ganze Zeit einen Vorsprung. Zenon behauptete, die Frau könne den Mann niemals einholen. Damit lag er falsch. Bewegt sich aber auch die Rolltreppe, und die Frau ist doppelt so schnell im Stufen steigen wir der Mann, kann sie ihn nicht oben abfangen. Dafür muss sie mehr als doppelt so schnell sein. Ob die Begegnung dann tatsächlich erst am Ende einer unendlichen Treppe geschieht, oder schon früher, solltest Du mit marubo diskutieren. Meiner Meinung nach trifft die Frau sehr viel früher auf den Mann, der Treffpunkt wird nur durch die Bewegung der Rolltreppe weiter nach oben geschoben, nicht aber ins Unendliche. Denn im Inertialsystem der sich bewegenden Rolltreppe spüren die beiden Läufer selbst keinen Unterschied : Sie treffen sich nach 24 Stufen. Nur ein Beobachter, der von außen zusieht, bemerkt einen Unterschied der Länge vom Startpunkt der Frau bis zum Punkt, wo die Frau den Mann einholt.

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comeback0815 14.11.2016, 23:36
54.

Zitat von makromizer
Das Beste an diesen Rätseln sind doch immer die Kommentare. Mein Vorschlag für das nächste Rätsel mit ein bisschen mehr Praxisbezug: Wie schafft man es, versetzt zu werden, wenn man sowohl in Mathe als auch in Deutsch mit ungenügend benotet wird?
Wenn man dem allgemeinen Tenor glauben schenken darf, kann man das mit Kunst und Religion ausgleichen.

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cptlars 15.11.2016, 07:51
55. Ergebnis ist 24

Wenn der Mann 12 Stufen läuft und auf der Mitte is...

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permissiveactionlink 15.11.2016, 10:13
56. Ergänzung zum Grenzwert

Setzt man bei ruhender Rolltreppe die Länge von 24 Stufen gleich 1, dann startet die Frau bei Null, der Mann bei 1/2. Bewegt er sich um 1/4 weiter, dann hat die Frau 1/2 erreicht. Bewegt er sich ein weiteres 1/8 weiter, dann ist die Frau 1/4 weiter und auf 3/4 der Rolltreppe angelangt. Halbiert man die Strecken des Mannes und der Frau immer wieder, dann liegt immer der Mann knapp vorne. Genau dies hat Zenon als Paradox bezeichnet. Betrachtet man aber die Grenzwerte der Reihen (1/2 +) 1/4 + 1/8 + 1/16 + ........ für unendlich viele Summanden , dann erhält man 1 für die Frau bzw. 1/2 für den Mann. Da dieser bei 1/2 startet, treffen sich beide bei 1. Und nein, das dauert nicht unendlich lang. PS : Mit allen Naturwissenschaften sowie Mathematik und Informatik bis zum Abitur, als auch mit einer 1 vor dem Komma, muss ich mich von den herablassenden und hämischen Kommentaren hier nicht wirklich angesprochen fühlen. Und gelegentliche Deutschfehler sind Tippfehler oder eigenmächtige Eingriffe meines Tastaturprogrammes. Auch da ist bei mir alles im grünen Bereich.

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WernerGg 15.11.2016, 15:20
57. @permissiveactionlink, marubo - Grenzwert, etc.

Zitat von permissiveactionlink
Setzt man bei ruhender Rolltreppe die Länge von 24 Stufen gleich 1, dann startet die Frau bei Null, der Mann bei 1/2. Bewegt er sich um 1/4 weiter, dann hat die Frau 1/2 erreicht. Bewegt er sich ein weiteres 1/8 weiter, dann ist die Frau 1/4 weiter und auf 3/4 der Rolltreppe angelangt. Halbiert man die Strecken des Mannes und der Frau immer wieder, dann liegt immer der Mann knapp vorne. Genau dies hat Zenon ......
@p.: Ich hoffe, du meinst mit "Häme" nicht mich. Das läge mir vollkommen fern.

Ich weise lediglich darauf hin, dass die ganze Aufgabe nicht das Geringste mit Grenzwerten oder gar unendlich langen Treppen zu tun hat. Sowenig wie übrigens das sogenannte Paradoxon von Achill und der Schildkröte. Die Verwirrung ergibt sich erst, wenn man die kontinuierlichen Bewegungen der beiden Läufer künstlich in Intervalle teilt und fragt, wo ist die Schildkröte/Mann, wenn Achill/Frau an der Stelle ist, wo erstere zuletzt waren. Ein Stück weiter vorne natürlich. Daraus folgt aber nicht, dass Achill/Frau die Schildkröte/Mann nie einholt, oder nur im Sinne es Grenzwerts und schon gar nicht nach unendlich langer Zeit oder Strecke.

Tatsächlich holt der Schnellere den Langsameren in endlicher Zeit und Strecke ein und überholt ihn dann sogar. Wann und wo, ist eine banale Rechnung, um den Schnittpunkt zweier Geraden (s=v*t+s0) zu bestimmen.

Ob sich das Ganze auf einer ruhenden Rennbahn oder auf einer fahrenden Rolltreppe, Laufbahn, Zug abspielt, spielt keinerlei Rolle, weil es in der Frage des Einholens ausschließlich um die Relativgeschwindigkeiten zu Rolltreppe, Laufbahn, Zug geht; also in einem mitbewegten Koordinatensystem. Wie sich dieses Koordinatensystem selbst bewegt, ist vollkommen gleichgültig. Es muss sich nicht mal gleichförmig bewegen, sondern kann beliebige Beschleunigungen, Verzögerungen und sogar Sprünge machen.

Erst wenn es darum geht, die absolut zurückgelegte Strecke der Frau bis zum Einholen zu bestimmen, also die Länge der Rolltreppe, kommt deren Eigenbewegung ins Spiel, was aber im Fall konstanter Rolltreppengeschwindigkeit v wiederum banal ist. Im Fall eines beliebigen v(t) braucht man eine Integration über v(t), um den zurückgelegten Weg des mitbewegten Koordinatensystems (=der Rolltreppe) zu bestimmen.

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permissiveactionlink 15.11.2016, 16:14
58. #57, WernerGg

Nein, Du warst ganz ausdrücklich nicht gemeint... Mein Fehler war morgens passiert, als ich durch anderes abgelenkt marubo zu schnell abnahm, die Bewegung der Rolltreppe führe dazu, dass die Frau den Mann nie erreicht. Dann fiel noch der Hinweis auf Zenon. Natürlich ist mir klar, dass der olle Philosoph da falsch liegt. Und gerade der Grenzwert der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 +.... = 1 beweist ja sogar, dass er falsch liegt. Wie ich dann später (mit etwas Zeit zum Nachdenken) auch selber schrieb, treffen sich Frau und Mann immer nach 24 bzw. 12 gelaufenen Stufen, egal wie schnell sich die Rolltreppe selbst bewegt. Die Rolltreppe selbst mit den beiden Personen stellt ein abgeschlossenes Inertialsystem dar. marubo hatte aber insofern Recht, dass die Frau den Mann nicht erreichen kann, wenn sich die Rolltreppe bewegt und nur eine Länge von 24 Stufen hat. Dann müsste die Frau mehr als doppelt so viele Stufen laufen wie der Mann. Ich knobele immer noch an Weidmanns Aufgabe von letzter Woche, die raubt mir den letzten Nerv. Und ja, Du hast natürlich Recht : Wenn die Rolltreppe beschleunigt, dann benötigt man die Integralrechnug, um den Treffpunkt der beiden Läufer zu berechnen.

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Inbetween 15.11.2016, 16:28
59. Unrealistisch

Unerwartet kam ich zwar auf die Anzahl - aber dieses Rätsel ist ziemlich unrealistisch. Meiner Beobachtung nach bleiben nämlich Frauen auf Rolltreppen grundsätzlich stehen. Genauso, wie sie an der Supermarkstkasse neben ihren Einkäufen stehen bleiben und nicht weiter vorrücken.
Da muss also war ganz Schlimmes vorher passiert sein...

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