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Rätsel der Woche: Wie messen Sie sechs Liter ab?
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Wasser ist genug da - aber Sie brauchen exakt sechs Liter. Zum Abmessen dürfen Sie nur zwei Eimer benutzen. Einer fasst neun, der andere vier Liter. Wie müssen Sie vorgehen?

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IQ149 06.05.2018, 18:55
40. Schwierige Aufgabe (#38)

Nach längerer Rechnung komme ich auf 14. War es so gemeint?

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RealSim 06.05.2018, 21:19
41.

Zitat von permissiveactionlink
Deshalb hier noch folgende Aufgabe : Finden Sie die Volumina zweier verschieden großer Eimer, mit denen sich exakt (!) 13 Liter abmessen lassen, wie in Dambecks Aufgabe. Damit es nicht zu einfach wird, gelten folgende Zusatzforderungen : 1. Keiner dieser Eimer hat das Volumen 13l. 2. Das größere Volumen geteilt durch das kleinere Volumen hat nicht den Divisionsrest 13l und auch nicht den Rest 0l. Der erste Löser mit einem gültigen Lösungspaar hat dann meinen Segen, sich eine Gerstenkaltschale zu gönnen !
Eimer die 14 und 3 Liter fassen sollten die genannten Bedingungen erfüllen.

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befreitegeister 06.05.2018, 23:00
42. wassersparender gehts mit idealen Eimern

Angenommen die Eimer sind mathematisch 'ideal', haben also kein Eigengewicht, dann ergibt sich die aller-einfachste Lösung mit der geringsten Wasserverschwendung.:
1. Schritt: je 2 x 4 l aus dem kleinen in den großen Eimer füllen.
2. Schritt: dann noch einmal einen Liter aus dem vollen 4 Liter Eimer in den Großen einfüllen bis dieser randvoll ist.
3. Schritt: Dann den kleinen Eimer mit Rest Inhalt 3 l in den großen hinein stellen. Dadurch werden aus dem Großen durch Überlauf genau 3L verdrängt. Wie gesagt: Der "ideale" kleine Eimer selbst darf dazu nichts wiegen, sonst funktioniert es nicht, siehe archimedisches Prinzip. Jedenfalls verbleiben im großen Eimer nach der Verdrängung genau 6 Liter.
Verbraucht, bzw durch den Wasserhahn geflossen, sind auf diesem Lösungsweg nur 12 Liter. Alle anderen Lösungswege verschwenden deutlich mehr Wasser. Meistens entweder 18 oder 24 Liter...

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permissiveactionlink 06.05.2018, 23:49
43. #41, RealSim

Ja, Sie haben vollkommen Recht, dieses XY-Paar ist zweifellos ein Lösungspaar. Dies gilt aber z.B. auch für die Eimervolumina X=23 l und Y=11 l. Sie haben sich also die Gerstenkaltschale heute Abend redlich verdient ! Man erkennt an diesem Beispiel sehr gut, dass es deutlich aufwendiger ist XY-Lösungspaare bei gegebenem Z zu finden, als ein Lösungs-Z bei gegebenem XY-Paar.

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permissiveactionlink 07.05.2018, 09:00
44. Um 13 L exakt abzumessen,

gibt es mit Dambecks Zwei-Eimer-Methode genau fünf legitime Paare für die Volumina der beiden Eimer : (23;11), (20;9), (17;7), (14;5) sowie (14;3). Die Eimer selbst dürfen nicht das Volumen 13 L besitzen, auch darf die Differenz ihrer Volumina nicht 13 L sein. Und natürlich darf nicht die Möglichkeit bestehen, durch n-maliges Füllen des kleinen Eimers im großen Eimer auf 13 L Restvolumen zu kommen (X mod Y ungleich 13). Wie findet man die Lösungspaare ? Dazu werden drei Gleichungen aufgestellt : X ist der größere Eimer, Y der kleinere. 1) X mod Y = k bzw. n*Y + k = X (0 kleiner k kleiner Y) 2) Da k kleiner als Y sein muss, gilt Y = k + t. 3) Wenn man k in den leeren Eimer Y füllt, kann man aus dem vollen Eimer X also noch t Liter in Y füllen : Z = X -t (Z ist das gewünschte Volumen, hier 13 L) Auflösen von 2) nach t : t = Y - k. Einsetzen von t in 3) liefert X = Z + Y - k. Damit ersetzt man in 1) die rechte Seite und erhält nach Umformen : (n - 1)*Y + 2k = Z. Man erkennt sofort : n muss mindestens 2 sein. Für Z = 13 existieren vier Lösungspaare mit n = 2 und ein Lösungspaar mit n = 4 (letzteres hat der Forist RealSim gefunden). Diese Herleitung zeigt auch, dass mit X = Z + Y - k auch automatisch die Gleichung für Z stimmt, die ich zuvor vorgeschlagen hatte : Da k = X mod Y ist dann natürlich auch Z = X -Y + (X mod Y) für gegebene Volumina X und Y.

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Ralf1234 07.05.2018, 09:22
45. Alternativlösung

Sofern ich eine Uhr habe, kann ich ermitteln wie lange das befüllen des 4 l Eimers dauert. Teile die Zeit durch 4 , nehme das Ergebins mal 6. Ich lasse so lange Wasser in der 9 l Eimer laufen bis die ermittelte Zeit erreicht ist

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joachim.stiller 07.05.2018, 10:18
46. Das Problem ist nicht lösbar, wenn nicht...

Das Problem ist nicht lösbar, wenn man keine zusätzlichenn zwei Neun-Liter-Eimer zur Verfügung stellt... denn dann wäre das problem denkaber einfach... Neun litter eimer vollmachen, einmal 4 Liter abgießen, dann noch einmal 4 Liter abgießen, bleibt ein Liter im 9 Liter Eimer übrig... Den gießen wri schon einmal in den zweiten Zusatzeimer... Dann den 9 Liter Eimer noch einmal ganz vollmachen, und 4 Liter abgießen, dann bleiben 5 Liter übrigig und jetzt den einen Liter, den wir im ersten Durchgang reserviert haben, wieder obendrauf gießen, und schon haben wir 6 Liter abgemessen... Leute, Ihr müsst solche Aufgaben auch richtig stellen... Und nicht so dilettantisc, wie die Kultusministerkionferenz bei dne Abituraufgaben...

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varlex 07.05.2018, 11:57
47.

Zitat von joachim.stiller
Das Problem ist nicht lösbar, wenn man keine zusätzlichenn zwei Neun-Liter-Eimer zur Verfügung stellt... denn dann wäre das problem denkaber einfach... Neun litter eimer vollmachen, einmal 4 Liter abgießen, dann noch einmal 4 Liter abgießen, bleibt ein Liter im 9 Liter Eimer übrig... Den gießen wri schon einmal in den zweiten Zusatzeimer... Dann den 9 Liter Eimer noch einmal ganz vollmachen, und 4 Liter abgießen, dann bleiben 5 Liter übrigig und jetzt den einen Liter, den wir im ersten Durchgang reserviert haben, wieder obendrauf gießen, und schon haben wir 6 Liter abgemessen... Leute, Ihr müsst solche Aufgaben auch richtig stellen... Und nicht so dilettantisc, wie die Kultusministerkionferenz bei dne Abituraufgaben...
Oder, man löst die Aufgabe, wie sie denn dasteht, ohne sich irgendwelche Zusatzbedingungen auszudenken.

Die Aufgabe ist lösbar...

1. 9L vollmachen, 4L in kleinen Eimer gießen, kleinen Eimer leeren
2. 5L im großen Eimer, 4L in kleinen Eimer gießen, kleinen Eimer leeren
3. 1L im großen Eimer, 1L in kleinen Eimer gießen
4. 0L im großen Eimer, 9L auffüllen
5. 9L im großen Eimer, 1L im kleinen Eimer...somit kann man 3L vom großen in den kleinen kippen.

Voila, man hat 6L im großen Eimer.

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keinewerbunginfilmen 07.05.2018, 12:03
48. Einfach ohne 9l-Eimer!

Zitat von befreitegeister
Angenommen die Eimer sind mathematisch 'ideal', haben also kein Eigengewicht, dann ergibt sich die aller-einfachste Lösung mit der geringsten Wasserverschwendung.: 1. Schritt: je 2 x 4 l aus dem kleinen in den großen Eimer füllen. 2. Schritt: dann noch einmal einen Liter aus dem vollen 4 Liter Eimer in den Großen einfüllen bis dieser randvoll ist. 3. Schritt: Dann den kleinen Eimer mit Rest Inhalt 3 l in den großen hinein stellen. Dadurch werden aus dem Großen durch Überlauf genau 3L verdrängt. Wie gesagt: Der "ideale" kleine Eimer selbst darf dazu nichts wiegen, sonst funktioniert es nicht, siehe archimedisches Prinzip. Jedenfalls verbleiben im großen Eimer nach der Verdrängung genau 6 Liter. Verbraucht, bzw durch den Wasserhahn geflossen, sind auf diesem Lösungsweg nur 12 Liter. Alle anderen Lösungswege verschwenden deutlich mehr Wasser. Meistens entweder 18 oder 24 Liter... Zitat2 Ich fülle den 4 Liter-Eimer und schütte das Wasser in in den grossen Eimer. Dann fülle ich den 4 Liter Eimer nur zur Hälfte und schütte das Wasser zu den 4 Litern im grossen Eimer dazu. 4 + 2 sind 6.
Mein mathematisch idealer 4l-Eimer sei ein Zylinder (Dicke der Wand jedoch völlig egal) oder irgendein Quader (wichtig: Höhe senkrecht zum Boden), der jedoch mit 4 Litern exakt bis zum Rand gefüllt ist. Man füllt ihn einmal ganz (in das andere Gefäß kippen, das mindestens 6 Liter fasst), dann nochmal, aber man kippt so viel aus, dass die Wasserkante genau bis an den Rand des Bodens reicht, so dass er eben halb voll ist. Wieder in den anderen Eimer kippen - 6 Liter - fertig. Den 9-Liter-Eimer braucht man nicht wirklich dazu.

Klar, geht natürlich nicht mit Eimern, die nach oben hin größer werden!
;-)

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IQ149 07.05.2018, 12:14
49. Lösung überzeugt (noch) nicht (#46)

Sie müssen zum Schluss die 5 Liter aus dem 9-Liter Eimer und den Liter aus dem zweiten Zusatzeimer in den ersten Zusatzeimer gießen, weil Sie letzteren sonst gar nicht benutzt haben. Erst so wird es zu einer wirklich cleveren Lösung, die den Neid der Kultusminister ("mehr Eimer braucht keiner") hervor rufen wird.

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