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Rätsel der Woche: Wie teilt man das Quadrat?
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Ein Quadrat in 4 oder 16 kleinere Quadrate zerlegen - das ist einfach. Aber schaffen Sie eine Aufteilung in 12, 20 oder 100 Quadrate?

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rotella 15.04.2018, 15:39
20.

Zitat von permissiveactionlink
Wahrscheinlich war mir mein Kommentar gestern Abend nicht sonderlich gelungen. Es geht um die Frage, auf wieviele Arten man eine Summe von n Quadratzahlen bilden kann, wobei die Summe selbst wieder eine Quadratzahl ist. Und natürlich müssen sich auch alle Summandenquadrate perfekt zum Summenquadrat zusammenlegen lassen. Bleiben wir beim Beispiel n = 12. Dambecks Lösung mit elf 1x1 Quadraten und einem 5x5 Quadrat ist aber nur ein Beispiel. Es geht auch mit sieben 1x1 Quadraten, zwei 2x2 Quadraten, zwei 3x3 Quadraten und einem 4x4 Quadrat. Es wäre interessant zu wissen, wieviele Lösungen für gegebenes n existieren, wenn es auf die Reihenfolge der Summanden nicht ankommt, und auch nicht darauf, wie die kleineren Quadrate zum Großen zusammengelegt werden.
Zuerst einmal müssen wir die trvialen Lösungen ausschließen, also alle Lösungen, die bis auf eine einheitliche Skalierung aller Seitenlängen der Quadrate auf eine bereits bekannte Lösung basieren. Also zum Beispiel Lösungen wie sieben 2x2 Quadrate, zwei 4x4 Quadrate, zwei 6x6 Quadrate und einem 8x8 Quadrat.

Dann wird es aber schwierig, weil wir nicht nur analytisch eine Partitionierung aller Quadratzahlen in die Summe von n Quadratzahlen untersuchen müssen, was vielleicht ähnlich wie bei einfachen ganzen Zahlen geschlossen möglich wäre, sondern auch noch geometrisch passend ein Quadrat ergeben müssen.
Ein Lösung abseits von für jedes n tatsächlich (am PC per Algorithmus) durchprobieren sehe ich da nicht.

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emil_erpel8 15.04.2018, 16:36
21.

Zitat von hermann gottschewski
Gibt es auch irgend eine vollständige Einteilung eines Quadrates in Teilquadrate, bei der die Proportion der Seitenlängen zweier Teilquadrate eine irrationale Zahl ist?
Trivialerweise nein. Sei die Länge des Gesamtquadrats der Einfachheit halber 1. Sei weiterhin r eine irrationale Zahl 0 < r < 1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehme man nun ein Teilquadrat der Größe r*r in der linken oberen Ecke des Gesamtquadrats an. die verbelibenden rechteckigen Flächen rechts und unten vom Teilquadrat haben die Seitenlängen r und 1-r.

Damit diese Fläche in Quadrate aufteilbar ist, muß das seitenverhältnis rational sein. D.h. es existieren natürliche Zahlen p und q, so daß gilt:

r/(1-r) = p/q

Das löst man auf zu

r = p/(p+q).

Folglich ist r rational. Widerspruch zur Irrationalität von r, d.h. ein solches r existiert nicht.

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emil_erpel8 15.04.2018, 16:42
22.

"Elegant" nennt man übrigens in der Regel Beweise, die durch eine clevere Idee den Beweisvorgang stark verkürzen im Vergleich zu stumpfem Durchgrechnen. So war die Lösung damals für die Aufgabe, eine Insel mit zehn Tankstellen zu umrunden elegant, die Lösung dieses Rätsels hier jedoch in keiner Weise; das ist nämlich langweilige Rechnerei. Übrigens fehlt in der Lösung der Nachweis daß es keine Lösung für n=2 gibt.

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IQ149 15.04.2018, 17:21
23. Quadratur des Quadrates (#15)

Wikipedia zu o.g. Thema: Der deutsche Geometer Max Dehn bewies 1903, dass die Seiten eines mit Quadraten parkettierten Rechteckes (also auch die eines Quadrates) mit den Seiten der Teilquadrate kommensurabel sein müssen. Dies bedeutet, dass die Seitenlängen des quadrierten Rechtecks und die aller Teilquadrate ganzzahlige Vielfache einer einzigen Zahl sind; bei geeigneter Wahl der Längeneinheit sind dann alle Seitenlängen ganze Zahlen.

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emil_erpel8 15.04.2018, 23:36
24.

Zitat von IQ149
Wikipedia zu o.g. Thema: Der deutsche Geometer Max Dehn bewies 1903, dass die Seiten eines mit Quadraten parkettierten Rechteckes (also auch die eines Quadrates) mit den Seiten der Teilquadrate kommensurabel sein müssen. Dies bedeutet, dass die Seitenlängen des quadrierten Rechtecks und die aller Teilquadrate ganzzahlige Vielfache einer einzigen Zahl sind; bei geeigneter Wahl der Längeneinheit sind dann alle Seitenlängen ganze Zahlen.
Oder einfacher ausgedrückt: Rationale Bruchteile der Seitenlängen.

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he-monsta 16.04.2018, 09:56
25. Abweichende Lösung

Wenn man sich von der Vorstellung löst, das kleinteiligere Quadrate nur über das „Zerschneiden“ größerer Quadrate entstehen können, kommt man zu einem anderen Lösungsansatz und einer abweichenden Lösung. Insbesondere da die Aufgabenstellung nicht Präzise ist: ergibt ein in 4 Teile zerschnittenes Teilquadrat 4 oder 5 Zähler? Also ist das mittlere der Beispiele in 7 oder 8 Teilquadrate unterteilt? M.E. 8, das ändert an der folgenden Lösung allerdings nur den Startpunt der ungeraden Reihe

Lösung: alle geraden Anzahlen ab 4 + alle ungeraden ab 9

Begründung: wir zerschneiden nicht sondern verteilen um. Gehen wir von 2*2 aus und fügen an der rechten Kante unten und an der oberen Links ein Quadrat hinzu, ergeben sich 3 gleiche Quadrate an der linken Kante, 3 gleich an der unteren, bei denen eines bereits an der letzten linken Kante enthalten ist, sowie 1 größeres in der rechten oberen Ecke. Das lässt sich nun unendlich oft wiederholen, es werden stets 2 Quadrate mehr

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he-monsta 16.04.2018, 10:01
26. Für ungerade ...

Unterteilt man das Quadrat in die kleinste Anzahl ungerader 3*3 um geht wie oben beschrieben vor, behält man 4 größere Quadrate in der rechten oberen Ecke und eine ungerade Anzahl in Summe an linker und oberer Kante, die sich ab 5 beliebig um ein Vielfaches von 2 steigern lässt.

7 ist im übrigen keine Lösung, sofern unterteilte Quadrate selbst ein Teilquadrat bleiben. Anderen Falls startet die Reihe der ungeraden Lösungen bei 7

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Tinkywinky 16.04.2018, 20:21
27. Zusatzaufgabe

Man zerlege ein Quadrat in n > 1 Quadrate, sodass alle Quadrate unterschiedliche Größe haben. (Tipp: Das kleinste n, für das dies möglich ist, ist 21. Die Zerlegung wurde 1978 entdeckt.) Spoiler: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratur_des_Quadrates

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hermann gottschewski 17.04.2018, 10:53
28.

Zitat von emil_erpel8
Trivialerweise nein. Sei die Länge des Gesamtquadrats der Einfachheit halber 1. Sei weiterhin r eine irrationale Zahl 0 < r < 1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehme man nun ein Teilquadrat der Größe r*r in der linken oberen Ecke des Gesamtquadrats an. die verbelibenden rechteckigen Flächen rechts und unten vom Teilquadrat haben die Seitenlängen r und 1-r. Damit diese Fläche in Quadrate aufteilbar ist, muß das seitenverhältnis rational sein. D.h. es existieren natürliche Zahlen p und q, so daß gilt: r/(1-r) = p/q Das löst man auf zu r = p/(p+q). Folglich ist r rational. Widerspruch zur Irrationalität von r, d.h. ein solches r existiert nicht.
Wenn das trivial ist - dann erläutern Sie bitte für mich, dem die Trivialität nicht einleuchtet, den Satz "Damit diese Fläche in Quadrate aufteilbar ist, muss das Seitenverhältnis rational sein." Irgendwie scheint mir schon, dass Sie recht haben, aber ich finde keine schlüssige Argumentation, die das wirklich belegt. Schließlich ist nicht gefordert, dass die Quadrate, in die wir das Rechteck mit irrationalem Seitenverhältnis aufteilen, ihrerseits paarweise rationale Seitenverhältnisse aufweisen. Außerdem ist ja nicht gesagt, dass diese Rechtecke jedes für sich mit Quadraten gefüllt werden, weil sie auch noch an das andere Eckquadrat angrenzen, mit dem sich die zur Füllung verwendeten Quadrate überlappen könnten.

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hermann gottschewski 17.04.2018, 10:57
29.

Zitat von IQ149
Wikipedia zu o.g. Thema: Der deutsche Geometer Max Dehn bewies 1903, dass die Seiten eines mit Quadraten parkettierten Rechteckes (also auch die eines Quadrates) mit den Seiten der Teilquadrate kommensurabel sein müssen. Dies bedeutet, dass die Seitenlängen des quadrierten Rechtecks und die aller Teilquadrate ganzzahlige Vielfache einer einzigen Zahl sind; bei geeigneter Wahl der Längeneinheit sind dann alle Seitenlängen ganze Zahlen.
Danke. Das habe ich erst gelesen, nachdem ich den vorigen Beitrag abgeschickt hatte. Das beantwortet meine Frage vollständig (jedenfalls, wenn man den Beweis nachliest).

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