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Rätsel der Woche: Wie viele Mädchen sind in der Gastfamilie?
Corbis

Christina freut sich auf ihr Jahr als Austauschschülerin in England. Sie kommt in eine Familie mit zwei Geschwistern, mindestens eins davon ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Mädchen sind?

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h.weidmann 23.08.2015, 17:36
1.

1/3 würde ich mal sagen, aber die SPON-Mathemathik-Foristen-Spezialisten werden das locker widerlegen.

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Munku 23.08.2015, 18:10
2. Jungen

Und was ist mit der Verteilung der Jungen auf die Familie?
Die MJ / JM - Familien werden doch auch auch männliche Austauschschüler vermittelt.

D.h. eine MJ und dein JM-Familie bekommt jeweils zu 50% ein Mädchen oder einen Jungen. Die JJ-Familie zu 100% einen Jungen, und die MM-Familie zu 100% ein Mädchen.

Ist man selbst Mädchen, hat man stattdessen 50% zwei weibliche Gastgeschwister, so wie Christina es sagt.

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Sibylle1969 23.08.2015, 18:12
3. Das leichteste Rätsel seit langem

Das war jetzt wirklich das leichteste Rätsel seit langer Zeit. Und endlich mal eines, wo es keine missverständlichen Formulierungen oder ungeschriebene Annahmen gab. Simpelste Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Möglichkeiten durch Anzahl aller Möglichkeiten, und das mit Null Kombinatorik. Das ist aus meiner Sicht eine Aufgabe, die man in Mathematik stellen kann, wenn zum allerersten Mal Wahrscheinlichkeitsrechnung dran kommt (war glaube ich bei mir in der 7. oder 8. Klasse der Fall, kann mich aber nicht mehr genau erinnern).

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Nellodee 23.08.2015, 18:12
4. Äh?

Irgendwo liegt ein Logikfehler - vermutlich bei mir, denn ich bin eine Matheniete - aber: Wenn ich das richtig verstehe, basiert die 1/3-Wahrscheinlichkeit auf der Prämisse, dass es drei Kombinationsmöglichkeiten bei Geschwisterkindern gibt. MM, JM und MJ. Aber die letzten beiden Möglichkeiten sind doch identisch, oder? Junge und Mädchen, Mädchen und Junge. Okay, das Mädchen ist entweder das ältere oder jüngere Geschwisterkind - aber immer noch ein Mädchen. Und da es nicht ums Alter geht, sondern ums Geschlecht, bleiben zwei Möglichkeiten, nicht drei: MM oder JM/MJ. Also doch 50:50? Oder hat die Matheniete wieder nix kapiert? Wäre ernsthaft an einer Antwort interessiert...

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Vorzeichen 23.08.2015, 18:34
5. (M,J) ist nicht (J,M)

Zitat von Nellodee
Irgendwo liegt ein Logikfehler - vermutlich bei mir, denn ich bin eine Matheniete - aber: Wenn ich das richtig verstehe, basiert die 1/3-Wahrscheinlichkeit auf der Prämisse, dass es drei Kombinationsmöglichkeiten bei Geschwisterkindern gibt. MM, JM und MJ. Aber die letzten beiden Möglichkeiten sind doch identisch, oder? Junge und Mädchen, Mädchen und Junge. Okay, das Mädchen ist entweder das ältere oder jüngere Geschwisterkind - aber immer noch ein Mädchen. Und da es nicht ums Alter geht, sondern ums Geschlecht, bleiben zwei Möglichkeiten, nicht drei: MM oder JM/MJ. Also doch 50:50? Oder hat die Matheniete wieder nix kapiert? Wäre ernsthaft an einer Antwort interessiert...
Die Wahrscheinlichkeit für die Kombination (J und M) ist 1/2, die für JJ bzw. MM hingegen 1/4. Oder anders gesagt: Das Paar (J,M) unterscheidet sich vom Paar (M,J)

Sie müssen auch nicht das Alter heranziehen, sondern können die Kinder auf Stühle setzen, um sie zu unterscheiden. Oder Sie nehmen das Beispiel mit den Münzen.

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ArRah 23.08.2015, 18:38
6.

Zitat von Nellodee
Irgendwo liegt ein Logikfehler - vermutlich bei mir, denn ich bin eine Matheniete - aber: Wenn ich das richtig verstehe, basiert die 1/3-Wahrscheinlichkeit auf der Prämisse, dass es drei Kombinationsmöglichkeiten bei Geschwisterkindern gibt. MM, JM und MJ. Aber die letzten beiden Möglichkeiten sind doch identisch, oder? Junge und Mädchen, Mädchen und Junge. Okay, das Mädchen ist entweder das ältere oder jüngere Geschwisterkind - aber immer noch ein Mädchen. Und da es nicht ums Alter geht, sondern ums Geschlecht, bleiben zwei Möglichkeiten, nicht drei: MM oder JM/MJ. Also doch 50:50? Oder hat die Matheniete wieder nix kapiert? Wäre ernsthaft an einer Antwort interessiert...
Die möglichen Kombinationen MM JJ MJ und JM haben jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 25%.
Sie können gerne JM und MJ als eine Kombination ansehen, das ändert aber nichts an der Tatsache, dass diese Kombination doppelt so oft vorkommt wie die Kombination MM. Am Ergebnis ändert das also nichts.

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logiker1597 23.08.2015, 18:40
7. kein Logikfehler

In gewisser Weise haben Sie Recht, nachdem nach keinen weiteren Merkmalen als dem Geschlecht gefragt wurde als dem Geschlecht, sind die Ereignisse J/M und M/J nicht wirklich unterscheidbar. Aber irgendwie auch doch. Stellen Sie die Situation mal mit einem Münzwurf nach (K für Kopf, Z für Zahl), die Wahrscheinlichkeiten für KK, KZ, ZK, und ZZ liegen jeweils bei 25%. Wenn wir aber KZ und ZK nicht voneinander unterscheiden wollen (äquivalent: wir fragen nicht ob der Junge oder das Mädchen das ältere Geschwister ist) können diese beiden Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zusammengefasst werden.

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weltgedanke 23.08.2015, 18:46
8. Meines Erachtens...

ist die Aufgabe in mehrfacher Hinsicht unzureichend spezifiziert, um sie mit einer klaren Antwort zu lösen.
Im wesentlichen ist das Problem, dass wir nicht wissen, wie die Agentur Gastfamilien den Bewerbern zuordnet und ob überhaupt alle Bewerber in eine Gastfamilie vermittelt werden.

Ich mache ein Beispiel für die Problematik:
Nehmen wir an, alle Bewerber würden garantiert vermittelt (*) und es gibt nur Gastfamilien mit genau zwei Kindern (*) und die Bewerber sind 50:50 Jungen und Mädchen (*), dann könnte die Agentur irgendwo zwischen zwei Extremen arbeiten:
1. Genau die Hälfte der Mädchen kommt in Gastfamilien mit zwei Mädchen, die andere Hälfte kommt in Gastfamilien mit einem Mädchen, der Rest der Gastfamilien geht an Jungs.
2. Mädchen-Bewerber bekommen stets die Gastfamilien mit einem Jungen und einem Mädchen, die Jungs-Bewerber kommen in die Gastfamilien mit zwei Jungs oder zwei Mädchen.

Im ersten Fall wäre die Wahrscheinlichkeit, dass eine konkrete Mädchen-Bewerberin in eine Familie mit zwei Mädchen kommt tatsächlich 1/2, im zweiten Fall glatt 0. Aber auch das gilt nur unter den gesetzten Annahmen (*), die alle willkürlich sind. Sobald wir hier variieren, weil die Aufgabe das nun mal zulässt, können sich noch ganz andere Wahrscheinlichkeiten ergeben.

Mein Fazit ist, dass die Aufgabe genauer gestellt werden sollte. Die Rahmenbedingungen sollten klarer sein.
Ehrlich gesagt kann ich nicht einmal herauslesen, wie es gemeint sein KÖNNTE. Ich müsste die Lösung lesen.

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bambata 23.08.2015, 18:53
9.

Zitat von Nellodee
Irgendwo liegt ein Logikfehler - vermutlich bei mir, denn ich bin eine Matheniete - aber: Wenn ich das richtig verstehe, basiert die 1/3-Wahrscheinlichkeit auf der Prämisse, dass es drei Kombinationsmöglichkeiten bei Geschwisterkindern gibt. MM, JM und MJ. Aber die letzten beiden Möglichkeiten sind doch identisch, oder? Junge und Mädchen, Mädchen und Junge. Okay, das Mädchen ist entweder das ältere oder jüngere Geschwisterkind - aber immer noch ein Mädchen. Und da es nicht ums Alter geht, sondern ums Geschlecht, bleiben zwei Möglichkeiten, nicht drei: MM oder JM/MJ. Also doch 50:50? Oder hat die Matheniete wieder nix kapiert? Wäre ernsthaft an einer Antwort interessiert...
Zwar sind MJ und JM prinzipiell identisch, kommen aber gemäß der zu erwartenden Gleichverteilung von JJ, JM, MJ und MM innerhalb der Bevölkerung doppelt so häufig vor, wie MM. Mit anderen Worten: in einer hinreichend großen Bevölkerung (Gesetz der großen Zahlen) mit durchschnittlich 2 Kindern je Elternpaar kommen die Varianten JJ, JM, MJ und MM gleich häufig vor (25%, 25%, 25%, 25%), Addieren Sie jetzt die Werte von JM und MJ erhalten Sie 50%. Da JJ ausgeschlossen wird, verhalten sich die 50% MJ und JM zu den 25% von MM wie 2:1 oder 66,6% zu 33,3%. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, in eine Familie mit MM zu kommen bei 33,3% oder 1/3.

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