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Rätsel der Woche: Wie viele neue Bahnhöfe gibt es?
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Auf jedem Bahnhof werden Fahrkarten zu jedem anderen Bahnhof verkauft. Dann wird das Streckennetz erweitert, und 34 neue Fahrkarten kommen hinzu. Wie viele Bahnhöfe gibt es nun?

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ps71 17.09.2018, 09:19
80. @emil_erpel8

--- Fortsetzung ---

(5) Sie haben mir nicht 'zig Schwachstellen in meinem Konstrukt' aufgezählt. Alle Ihre Gegenargumente laufen doch darauf hinaus, dass Sie die zufällige Verteilung der Anzündpunkte nicht akzeptieren (und mir darum z.B. auch unterstellen, ich würde mit unzulässigen Vergleichen unendlicher Mengen argumentieren). Interessanterweise haben Sie aber schon in Ihrem ersten Beitrag zu diesem Rätsel geschrieben '..., da der Anzündpunkt der mittleren Flammen vollkommen zufällig ist'. Und dass Sie mir vorwerfen, ich würde das Verfahren 'verteidigen' ist ja der blanke Hohn, wenn Sie offenbar alles daran setzen, das Verfahren 'anzugreifen'.

Ich nenne das Ganze auch absichtlich 'Verfahren' und nicht Algorithmus. Und wenn Sie schon zugeben, dass man bei einem Experiment von einer zufälligen Verteilung ausgehen kann, dann nennen Sie das von mir aus 'Verfahren zur praktischen Durchführung eines Zufallsexperimentes' oder wie auch immer. Meine Güte, war die Aufgabenstellung 'entwickeln Sie einen Algorithmus, der für eine beliebige Folge von Anzündpunkten ein korrektes Ergebnis liefert'? So, wie die Aufgabe formuliert ist, war doch ein praktisches Verfahren gefragt, mit dem ich die Zeit messen kann. Und damit ist für mich die Aufgabe gelöst.

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emil_erpel8 20.09.2018, 00:13
81.

Zitat von ps71
--- Fortsetzung --- (1) Alle Ihre Gegenargumente laufen doch darauf hinaus, dass Sie die zufällige Verteilung der Anzündpunkte nicht akzeptieren (2) (und mir darum z.B. auch unterstellen, ich würde mit unzulässigen Vergleichen unendlicher Mengen argumentieren). (3) Interessanterweise haben Sie aber schon in Ihrem ersten Beitrag zu diesem Rätsel geschrieben '..., da der Anzündpunkt der mittleren Flammen vollkommen zufällig ist'. (4) Und dass Sie mir vorwerfen, ich würde das Verfahren 'verteidigen' ist ja der blanke Hohn, wenn Sie offenbar alles daran setzen, das Verfahren 'anzugreifen'. (5) Und wenn Sie schon zugeben, dass man bei einem Experiment von einer zufälligen Verteilung ausgehen kann, (6) dann nennen Sie das von mir aus 'Verfahren zur praktischen Durchführung eines Zufallsexperimentes' oder wie auch immer. (7) Meine Güte, war die Aufgabenstellung 'entwickeln Sie einen Algorithmus, der für eine beliebige Folge von Anzündpunkten ein korrektes Ergebnis liefert'? (8) So, wie die Aufgabe formuliert ist, war doch ein praktisches Verfahren gefragt, mit dem ich die Zeit messen kann.
(1) Nein.
(2) Das ist völlig unabhängig voneinander.
(3) Ja und? "Zufällig, ohne jede Kenntnis irgendwelcher Wahrscheinlichkeiten" ist ja etwas vollkommen anderes als der angebliche Worstcase einer zufälligkeit mit gleichverteilten Wahrscheinlichkeitsdichten.
(4) Sie sollten auch den zeitlichen Verlauf der Diskussion verfolgen. Damals haben Sie ja noch versucht, das Verfahren zu verteidigen, und sich erst nach und nach immer weiter davon entfernt.
(5) Ein Zufallsexperiment ist aber eben kein Algorithmus. Die Natur darf sich des echten Zufalls bedienen. Die Autorin oder Anwenderin eines Algorithmus aber nicht, mangels Durchführbarkeit.
(6) Ein "praktisches Verfahren zur Durchführung" *ist* ein Algorithmus. Auch wenn das Wort kompliziert klingt, definiert es sich einfach über selbstverständliche Eigenschaften, die für ein zuverlässiges, praktisches Verfahren zwingend nötig sind (Ausführbarkeit der Schritte, Abbruchbedingung, Endlichkeit).
(7) Ja, genau das war sie.
(8) Genau. Ein Algorithmus.

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emil_erpel8 20.09.2018, 01:05
82.

(0) Nein, ich lasse Sie mit diesem Quatsch hier nicht das letzte Wort haben.

(1) Herrje, versuchen Sie doch mal zu verstehen, was ich schreibe. Ihre Vorstellung von "zufällig" stammt vielleicht aus einem Statistikbuch, aber selbst die geben immer an, welche Wahrscheinlichkeitsdichten vorausgesetzt sind. Ohne dieses Wissen weiß man *gar nichts* über die Zufallswerte, außer daß man keine Eigenschaften über sie vorhersagen kann.

(2)+(3) Ohne irgendwelche Informationen über die Wahrscheinlichkeitsdichten ist es "gleich wahrscheinlich" (wenn man das so ausdrücken will), daß von hunderttausend Werten aus dem Intervall [0, 100]:
a) Alle in [50, 100] liegen,
b) alle in [0, 10] liegen,
c) alle in [0, 1] liegen,
d) alle in (1, 100] liegen,
e) alle in [0, 0,000000000000000000000000000001] liegen,
f) alle in [pi, 2pi] liegen,
g) alle Werte irrational sind.

(3') Das Verfahren konvergiert sowieso nicht, da es per Definition nach endlich vielen Schritten abbricht.

(3'') Nö, es existiert überhaupt keine "Folge" von Epsilons, die gegen irgendetwas konvergieren könnte oder müßte. Sie bestreiten die Existenz einer "sinnvollen" Anzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die die vorgeschlagene Verfahrensskizze scheitern lassen. Eine beliebige Anzahl solcher Verteilungen ist aber ganz leicht konstruiert:

Sei x eine irrationale Zahl, 0 < x < 0,25. Seien r < s die Längen der beiden beidseitig brennenden Zündschnurstücke (eventuell existiert nur ein Stück). Dann wird die neue Flamme (egal an welchem Stück) an der Position xr angezündet, d.h. an dieser Stelle ist die Wahrscheinlichkeit gleich eins und überall sonst null.

Mit solchen Verteilungen kann man so viele Schritte ausführen, wie man will, man kommt trozdem nie über 30 s abgebrannter Schnur hinaus. (Und das würde ich mal ganz keck nicht als Näherung für 60 s gelten lassen.)

Selbstredend gibt es auch keinerlei Grund anzunehmen, daß die Verteilung beim Anzünden der ersten Flamme genauso sein müßte wie bei irgendeiner späteren Flamme.

=> Es ist mitnichten so, daß nur eine einzige Verteilung (nämlich die mit p=1 für x=0) die Verfahrensskizze scheitern läßt, und auch nicht eine verschwindende Minderheit aller Verteilungen.

(4) Es mag ja sein, daß Sie sich das vorstellen können. Eine Begründung, warum Ihnen das gelingen sollte geben Sie aber nicht, und ebenso, wie Sie das eigentlich praktisch umsetzen wollen (von wegen Algorithmus = praktisches Verfahren). Die Aufgabenstellung schließt bei genauer Betrachtung schon aus, daß man auch nur eine ungefähre Ahnung halt, wo die "Mitte" eines Stückes Schnur liegt. Das Stück könnte einen Attometer lang sein oder fünf Billiarden Lichtjahre.

(4') Es wird sich gar nichts einstellen, denn die Verfahrensskizze bricht nach endlich vielen Schritten ab.

(4'') Das ist deswegen Bestcase, weil eine Verteilung mit "noch besseren" Eigenschaften nur durch Magie oder Hellseherei zu erreichen ist.

(4''') Das ist falsch, siehe (3'').

(4'''') Nein, das können Sie nicht, denn die in (3'') angegebenen Verteilungen führen dazu, daß höchstens die halbe Schnur überhaupt abbrennt. Da können Sie so viele Schritte durchführen, wie Sie wollen.

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emil_erpel8 20.09.2018, 01:08
83.

(1) Herrje, versuchen Sie doch mal zu verstehen, was ich schreibe. Ihre Vorstellung von "zufällig" stammt vielleicht aus einem Statistikbuch, aber selbst die geben immer an, welche Wahrscheinlichkeitsdichten vorausgesetzt sind. Ohne dieses Wissen weiß man *gar nichts* über die Zufallswerte, außer daß man keine Eigenschaften über sie vorhersagen kann.

(2)+(3) Ohne irgendwelche Informationen über die Wahrscheinlichkeitsdichten ist es "gleich wahrscheinlich" (wenn man das so ausdrücken will), daß von hunderttausend Werten aus dem Intervall [0, 100]:
a) Alle in [50, 100] liegen,
b) alle in [0, 10] liegen,
c) alle in [0, 1] liegen,
d) alle in (1, 100] liegen,
e) alle in [0, 0,000000000000000000000000000001] liegen,
f) alle in [pi, 2pi] liegen,
g) alle Werte irrational sind.

(3') Das Verfahren konvergiert sowieso nicht, da es per Definition nach endlich vielen Schritten abbricht.

(3'') Nö, es existiert überhaupt keine "Folge" von Epsilons, die gegen irgendetwas konvergieren könnte oder müßte. Sie bestreiten die Existenz einer "sinnvollen" Anzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die die vorgeschlagene Verfahrensskizze scheitern lassen. Eine beliebige Anzahl solcher Verteilungen ist aber ganz leicht konstruiert:

Sei x eine irrationale Zahl, 0 < x < 0,25. Seien r < s die Längen der beiden beidseitig brennenden Zündschnurstücke (eventuell existiert nur ein Stück). Dann wird die neue Flamme (egal an welchem Stück) an der Position xr angezündet, d.h. an dieser Stelle ist die Wahrscheinlichkeit gleich eins und überall sonst null.

Mit solchen Verteilungen kann man so viele Schritte ausführen, wie man will, man kommt trozdem nie über 30 s abgebrannter Schnur hinaus. (Und das würde ich mal ganz keck nicht als Näherung für 60 s gelten lassen.)

Selbstredend gibt es auch keinerlei Grund anzunehmen, daß die Verteilung beim Anzünden der ersten Flamme genauso sein müßte wie bei irgendeiner späteren Flamme.

=> Es ist mitnichten so, daß nur eine einzige Verteilung (nämlich die mit p=1 für x=0) die Verfahrensskizze scheitern läßt, und auch nicht eine verschwindende Minderheit aller Verteilungen.

(4) Es mag ja sein, daß Sie sich das vorstellen können. Eine Begründung, warum Ihnen das gelingen sollte geben Sie aber nicht, und ebenso, wie Sie das eigentlich praktisch umsetzen wollen (von wegen Algorithmus = praktisches Verfahren). Die Aufgabenstellung schließt bei genauer Betrachtung schon aus, daß man auch nur eine ungefähre Ahnung halt, wo die "Mitte" eines Stückes Schnur liegt. Das Stück könnte einen Attometer lang sein oder fünf Billiarden Lichtjahre.

(4') Es wird sich gar nichts einstellen, denn die Verfahrensskizze bricht nach endlich vielen Schritten ab.

(4'') Das ist deswegen Bestcase, weil eine Verteilung mit "noch besseren" Eigenschaften nur durch Magie oder Hellseherei zu erreichen ist.

(4''') Das ist falsch, siehe (3'').

(4'''') Nein, das können Sie nicht, denn die in (3'') angegebenen Verteilungen führen dazu, daß höchstens die halbe Schnur überhaupt abbrennt. Da können Sie so viele Schritte durchführen, wie Sie wollen.

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emil_erpel8 20.09.2018, 01:08
84.

Zitat von ps71
(1) Wer spricht denn von einer 'absichtlich zufälligen Auswahl'. Sie argumentieren ja mit der praktischen Durchführbarkeit. Wenn ich in der Praxis ohne irgendwelche Hilfsmittel einen Punkt auf der Schnur anzünde, dann werde ich doch immer einen zufälligen Punkt erwischen. D.h. wenn ich das Verfahren durchführe, dann sind die Anzündpunkte zufällig verteilt (weil ich gar keine Möglichkeit habe, einen Punkt gezielt auszuwählen, dazu müsste ich ja die Position messen können). (2)+(3) Natürlich sind im Intervall zwischen 0 und 1 nicht 'weniger' Zahlen als im Intervall zwischen 1 und 100. Aber wenn ich Zufallszahlen aus dem Intervall [0,100] betrachte, dann fällt (natürlich abhängig von der Verteilung) ein gewisser Anteil der Zahlen in das Intervall [0,1]. (3') Und damit das Verfahren nicht konvergiert (bzw. genauer: gegen den falschen Wert konvergiert), (3'') müsste für jede noch so kleine Zahl e der Anteil der Zufallszahlen, der in das Intervall [0,e] fällt, gegen 1 gehen. Und das ist nur möglich, wenn die Verteilungdichte der Zufallszahlen bei 0 gegen unendlich geht. Für jede sinnvolle WS-Verteilung konvergiert das Verfahren also gegen den korrekten Wert. (4) Um ein Abbruchkriterium zu berechnen, brauche in dann wie gesagt mehr Informationen zur WS-Verteilung. Zu 'versuchen, die Mitte des Intervalls zu treffen' war sicher etwas unglücklich formuliert. Das gleiche Argument gilt aber, unabhängig davon, welchen Punkt ich treffen möchte. Ich kann mir auch vorstellen, erst einen Punkt auszuwählen, den ich treffen 'möchte' und dann davon ausgehen, dass ich - mit einer 'gauss-artigen' Verteilung um den Punkt herum - daneben liege. (4') Es wird sich, wenn die Abweichung gegen unendlich geht, eine Gleichverteilung einstellen, solange nicht irgendetwas dafür sorgt, dass ich immer eher die Ränder des Intervalls treffe. (4'') Und die Gleichverteilung ist nicht der Best-Case für das Verfahren, jede Verteilung, die in der Mitte des Intervalls eine höhere Dichte hat, wäre besser. (4''') Nur Verteilungen, bei denen die Dichte an den Rändern größer ist, sind schlechter, (4'''') und solche Verteilungen werden meiner Meinung nach bei der praktischen Durchführung nicht auftreten. Und selbst wenn, könnte ich immer noch ein Abbruchkriterium berechnen.
(1) Ihre Vorstellung von "zufällig" stammt vielleicht aus einem Statistikbuch, aber selbst die geben immer an, welche Wahrscheinlichkeitsdichten vorausgesetzt sind. Ohne dieses Wissen weiß man *gar nichts* über die Zufallswerte, außer daß man keine Eigenschaften über sie vorhersagen kann.

(2)+(3) Ohne irgendwelche Informationen über die Wahrscheinlichkeitsdichten ist es "gleich wahrscheinlich" (wenn man das so ausdrücken will), daß von hunderttausend Werten aus dem Intervall [0, 100]:
a) Alle in [50, 100] liegen,
b) alle in [0, 10] liegen,
c) alle in [0, 1] liegen,
d) alle in (1, 100] liegen,
e) alle in [0, 0,000000000000000000000000000001] liegen,
f) alle in [pi, 2pi] liegen,
g) alle Werte irrational sind.

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emil_erpel8 20.09.2018, 01:09
85.

(2)+(3) Ohne irgendwelche Informationen über die Wahrscheinlichkeitsdichten ist es "gleich wahrscheinlich" (wenn man das so ausdrücken will), daß von hunderttausend Werten aus dem Intervall [0, 100]:
a) Alle in [50, 100] liegen,
b) alle in [0, 10] liegen,
c) alle in [0, 1] liegen,
d) alle in (1, 100] liegen,
e) alle in [0, 0,000000000000000000000000000001] liegen,
f) alle in [pi, 2pi] liegen,
g) alle Werte irrational sind.

(3') Das Verfahren konvergiert sowieso nicht, da es per Definition nach endlich vielen Schritten abbricht.

(3'') Nö, es existiert überhaupt keine "Folge" von Epsilons, die gegen irgendetwas konvergieren könnte oder müßte. Sie bestreiten die Existenz einer "sinnvollen" Anzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die die vorgeschlagene Verfahrensskizze scheitern lassen. Eine beliebige Anzahl solcher Verteilungen ist aber ganz leicht konstruiert:

Sei x eine irrationale Zahl, 0 < x < 0,25. Seien r < s die Längen der beiden beidseitig brennenden Zündschnurstücke (eventuell existiert nur ein Stück). Dann wird die neue Flamme (egal an welchem Stück) an der Position xr angezündet, d.h. an dieser Stelle ist die Wahrscheinlichkeit gleich eins und überall sonst null.

Mit solchen Verteilungen kann man so viele Schritte ausführen, wie man will, man kommt trozdem nie über 30 s abgebrannter Schnur hinaus. (Und das würde ich mal ganz keck nicht als Näherung für 60 s gelten lassen.)

Selbstredend gibt es auch keinerlei Grund anzunehmen, daß die Verteilung beim Anzünden der ersten Flamme genauso sein müßte wie bei irgendeiner späteren Flamme.

=> Es ist mitnichten so, daß nur eine einzige Verteilung (nämlich die mit p=1 für x=0) die Verfahrensskizze scheitern läßt, und auch nicht eine verschwindende Minderheit aller Verteilungen.

(4) Es mag ja sein, daß Sie sich das vorstellen können. Eine Begründung, warum Ihnen das gelingen sollte geben Sie aber nicht, und ebenso, wie Sie das eigentlich praktisch umsetzen wollen (von wegen Algorithmus = praktisches Verfahren). Die Aufgabenstellung schließt bei genauer Betrachtung schon aus, daß man auch nur eine ungefähre Ahnung halt, wo die "Mitte" eines Stückes Schnur liegt. Das Stück könnte einen Attometer lang sein oder fünf Billiarden Lichtjahre.

(4') Es wird sich gar nichts einstellen, denn die Verfahrensskizze bricht nach endlich vielen Schritten ab.

(4'') Das ist deswegen Bestcase, weil eine Verteilung mit "noch besseren" Eigenschaften nur durch Magie oder Hellseherei zu erreichen ist.

(4''') Das ist falsch, siehe (3'').

(4'''') Nein, das können Sie nicht, denn die in (3'') angegebenen Verteilungen führen dazu, daß höchstens die halbe Schnur überhaupt abbrennt. Da können Sie so viele Schritte durchführen, wie Sie wollen.

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emil_erpel8 20.09.2018, 01:24
86.

Oder nochmal ganz simpel formuliert:

Egal welche (natürlich endliche) Anzahl Schritte ausgerechnet wird, und egal welches Epsilon (< 30 s) gefordert wird: In (3'') werden überabzählbar viele mögliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen genannt, bei denen die Verfahrensskizze nicht das gewünschte Ergebnis liefert.

Sie können auch gerne behaupten, daß diese Verteilungen alle doof und gemein und böswillig sind, aber es sind *genauso viele Verteilungungen* wie die, bei denen die Methode klappt.

--

Übrigens finde ich es empörend, daß Sie im Laufe der Diskussion stillschweigend, ohne jeden Beleg und entgegen Ihren früheren Behauptungen umgeschwenkt sind von

"die Methode hält mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Toleranz ein, in der der gemessene Wert mit hoher Wahrscheinlichkeit höchstens so groß wie die gesuchte Toleranz ist"

über

"die Methode hält *immer* eine Toleranz ein, in der der gemessene Wert mit hoher Wahrscheinlichkeit höchstens so groß wie die gesuchte Toleranz ist"

zu

"die Mehtode hät immer die geforderte Toleranz" ein.

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emil_erpel8 20.09.2018, 02:09
87.

Und noch ein Gegenargument: Selbst wenn Sie in der Lage sind, die angepeilten Stellen exakt zu treffen; nirgendwo wird gefordert, daß die Zündschnur gleichmäßig abbrennt. Ob die auf dem ersten Zentimeter 59,99999999 Sekunden verbraucht und für das hintere Lichtjahr den Rest ist genauso möglich wie gleichmäßiges Abbrennen. Ohne zusätzliche Forderungen an die Funktion, die die Brenngeschwindigkeit über die Länge beschreibt (z.B. daß sie steig und beschränkt ist), hilft das alles nichts.

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emil_erpel8 20.09.2018, 02:21
88.

Ah, ich lese gerade in einem Ihrer früheren Beiträge, daß die angegebene Konstruktion eines Gegenbeispiels "albern" sei. Konsequent weitergedacht ist also die Quintessenz Ihrer Argumente, daß jeder, der Ihnen widerspricht, doof ist. Vielen Dank für's Gespräch, bitte halten Sie Sich falls möglich von Tätigkeiten fern, in denen robuste Lösungen für sensible Probleme gefordert sind.

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ps71 20.09.2018, 12:34
89. @emil_erpel8

Sie wollen mich nicht das letzte Wort haben lassen: Ja, das hatte ich bereits bemerkt. Aber ich möchte Ihre zunehmend verzweifelten Einwände auch nicht einfach so stehen lassen.

Ich habe bereits zu Beginn der Diskussion das gleiche behauptet wie ich jetzt behaupte: Das Verfahren, so wie es in der Lösung angegeben ist, funktioniert. Davon habe ich mich überhaupt nicht entfernt, ich habe nur auf Ihre immer wortreicheren Erwiderungen reagiert, und begründet, warum es funktioniert.

Ich verstehe schon, was Sie schreiben. Ihr erstes Argument war, dass es unendlich viele Punktfolgen gibt, für die das Verfahren nicht konvergiert und dass es unendlich viele gibt, für die es konvergiert. Daraus leiten Sie ab (Sie haben das zumindest zun Anfang so formuliert), dass das Verfahren nur in Ausnahmefällen funktioniert. Warum die konvergenten Folgen die Ausnahme sein sollen sei einmal dahingestellt (vor allem, weil Sie mir ja vorwerfen, ich würde die nicht konvergenten Fälle als Ausnahme sehen, obwohl man nicht angeben könne, welche häufiger sind). Mit diesem Argument könnte ich Ihnen übrigens auch zeigen, dass z.B. das Newton-Raphson-Verfahren nicht funktioniert. Es gibt nämlich (überabzählbar) unendlich viele Funktionen, für die bei (überabzählbar) unendlich vielen Startwerten das Verfahren nicht konvergiert. Damit funktioniert es nur in Ausnahmefällen und ist somit mathematischer Humbug. Dennoch (und obwohl im Gegensatz zu unserem Problem die nicht konvergenten Fälle tatsächlich auch in der Praxis auftreten), wird das Verfahren gerne und erfolgreich eingesetzt.

Dass die Anzündpunkte zufällig verteilt sind, haben Sie bestritten (obwohl Sie das in Ihrem ersten Beitrag bereits selbst behauptet hatten). Nun haben Sie Ihr Argument dahingehend erweitert, dass es - bei zufälliger Verteilung - unendlich viele WK-Dichten gibt, für die das Verfahren konvergiert, aber auch unendlich viele, für die es nicht konvergiert, daraus leiten Sie dann wohl wieder ab, dass es nur in Ausnahmefällen konvergiert.

Ich habe nie bestritten, dass es Punktfolgen gibt, für die das Verfahren nicht konvergiert. Genausowenig habe ich bestritten, dass es WK-Dichten gibt, für die es nicht konvergiert. Ich habe nur behauptet (und behaupte es immer noch), dass die WK-Dichten, für die es nicht konvergiert, bei der praktischen Durchführung nicht auftreten können. Nicht weil sie 'doof' sind, sondern weil es eben Verteilungen sind, deren Dichte an einem Punkt gegen unendlich geht. D.h. es gibt keine Zufälligkeit, ich zünde immer am gleichen Punkt an. Das kann bei der praktischen Durchführung nicht passieren, weil ich eben nie exakt eine Stelle treffen kann. Und darauf weisen Sie ja zu Recht auch immer hin. Ich beschreibe den Anzündpunkt übrigens relativ (d.h. Position / aktuelle Restlänge), damit sind die Anzündpunkte Zufallszahlen aus dem Intervall [0,1]. Und dann gibt es tatsächlich nur zwei WK-Verteilungen, für die das Verfahren nicht konvergiert, nämlich WK 1 bei 0 oder 1.

--- Fortsetzung folgt ---

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