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Rätsel der Woche: Zwölf Kugeln und eine Waage
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Wie gemein! Die zwölf Kugeln sehen völlig gleich aus. Aber das Gewicht einer Kugel weicht von dem aller anderen ab. Wie findet man diese Kugel? Sie dürfen eine Balkenwaage benutzen - aber nur drei Mal.

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schnitteuk 18.12.2017, 11:37
70.

Zitat von phboerker
Für mich passt die Lösung nicht zu der Bedingung der Aufgabenstellung, dass die Kugeln nicht optisch unterscheidbar sind. Wenn ich Kugeln von verschiedenen Wägungen mische, heißt das für mich, dass ich nicht mehr weiß, welche Kugeln bei welcher vorhergehenden Wägung auf welcher Schale lag. Anders wäre es gewesen, wenn die Kugeln laut Aufgabenstellung alle unterschiedlich gefärbt oder numeriert gewesen wären. Ich bin etwas enttäuscht...
"Nicht optisch unterscheidbar" schließt ja nicht aus, dass ich die einzelnen Kugeln an bestimmten Stellen ablege und so identifiziere, welche Kugel ich wann mal in welcher Gruppe gewogen habe. Es bedeutet nur, dass ich der Kugel nicht ansehe, ob sie leichter oder schwerer ist.

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hagen.peters 18.12.2017, 13:46
71.

Ich glaube, da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Bei Ihrem Experiment werden die Kugeln 9 und 11 immer gleiche behandelt: Beim ersten Versuch werden sie garnicht gewogen, beim zweiten Versuch liegen beide rechts und beim dritten Versuch liegen beide links. Daher sind sie auch nicht unterscheidbar, oder?

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m.ramsch 18.12.2017, 13:55
72. Sind alte Rätsel nur wegen des Alters schlecht?

Zitat von anderl1103
Der Herrn Dambeck scheint ein Problem zu haben und es fällt ihm nichts Gescheites mehr ein? Das Wiege-Rätsel ist ja nun wirklich alt. Sehr alt. […]
Bitte bedenken Sie, dass es ständig neue Menschen gibt (nennt sich anfangs Kinder), für die ein jedes Rätsel dieser Welt komplett neu ist.

Deshalb ist das Alter von Rätseln völlig egal, sondern nur, ob es ein gut, interessant, kniffelig oder ähnliches ist – also die Qualität!

Ist es für Sie wirklich schon zu viel der Wiederholungen, wenn etwas nach 50 Jahren "schon wieder" kommt? :-)

Rätsel, die _Sie_ schon kennen, können Sie ja einfach ignorieren! Aber gönnen Sie doch allen anderen den Spaß. Alles andere wäre eine sehr egozentrische Sichtweise …

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m.ramsch 18.12.2017, 14:28
73. Alternative korrigiert

Zitat von Stephan Lüttjohann
Ich möchte einen alternativen Lösungsansatz vorschlagen. […] Die Lösung unterscheidet sich von allen bisher vorgestellten dadurch, dass schon zu Beginn alle drei Wägungen vollständig definiert sind […]
Hallo Herr Lüttjohann,
ein schöner Lösungsansatz!

Vorweg: Der Kürze halber bezeichne ich die Kugeln 10, 11 und 12 mit A, B und C (wie Hexadezimalziffern :) ).

Leider haben Sie einen „Zifferndreher“ in Ihrer Lösung, d.h. in der geposteten Form (1. 1358⚖2467, 2. 137A⚖289B, 3. 169B⚖348C) funktioniert es nicht!

Denn die Fälle '=LL' und '=RR' führen zu Widersprüchen, ergeben also keine Aussage. Und der Fall '=LR' würde bedeuten, dass sowohl Kugel 9 als auch Kugel B leichter sind, analog würde Fall '=RL' bedeuten, dass diese beiden schwerer sind. Also auch im Widerspruch zur Aufgabe.

Wenn man in der 3. Wägung 9 und C vertauscht, dann passt es aber!
(3. 16BC⚖3489).

Dann ist diese Lösung sogar in gewisser Weise 'hübscher' als die von pihoch3, weil die Tabelle dann sortiert ist. :)

Ich hab' Spaßes halber mit PlanMaker gespielt und ein Rechenblatt gebaut (Excel-kompatibel), mit dem sich man leicht verschiedene 3er-Wäge-Abläufe anschauen kann, siehe https://c.gmx.net/@339359391243310730/H0H02kF8RbeRFyoGTwkMgA

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m.ramsch 18.12.2017, 14:36
74.

Zitat von pihoch3
Ich habe eine ähnliche Lösung wie ein Vorredner vorgeschlagen hat, bei der man dreimal wiegt ohne sich um das Resultat zu kümmern, aber nachher die gewünscht eKugel und schwerer/leichter als Information bekommt.
Zu diesem interessanten Lösungsweg von Ihnen und pihoch3 habe ich ein Rechenblatt gebastelt, mit dem man sich verschiedene Konfigurationen von drei festen Wägungen schön veranschaulichen kann. Sollte, hoffentlich auch Excel-kompatibel sein, auch wenn es mit Planmaker gemacht ist:
https://c.gmx.net/@339359391243310730/H0H02kF8RbeRFyoGTwkMgA

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Stephan Lüttjohann 18.12.2017, 15:19
75. @ m.ramsch

Hallo Herr Ramsch, vielen Dank für die Prüfung meiner Lösung und für die tolle Übersicht in der Excel-Tabelle. In meiner Lösung ist in der Tat ein Tipfehler drin. Aber ich denke, es ist kein Zahlendreher. =LL bedeutet bei mir, dass K9 leichter ist. Damit ist mit =RR zwangsläufig K9 schwerer. Die Option =RR habe ich aber gar nicht aufgeführt. Stattdessen steht in meiner Liste =RL zweimal, einmal für K11 schwerer und einmal für K9 schwerer, was natürlich falsch ist. Das zweite =RL muss durch =RR ersetzt werden. Ist wohl beim Abschreiben von meinem Schmierblatt entstanden.

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ManeGarrincha 18.12.2017, 16:58
76. Meine Lösung (ist wohl so oder so ähnlich schon vorgebracht worden)

Ich nummeriere die Murmeln von 1-12, x steht für eine Murmel, von der man schon weiß, dass sie nicht abweicht:

1) 1,2,3,4 vs 5,6,7,8,

falls 1,2,3,4 leichter oder 5,6,7,8 schwerer (das Selbe für 1,2,3,4, schwerer bzw. 5,6,7,8 leichter, nur vertauscht)

2) 1,2,5, vs 3,4,6

falls 1,2,5 leichter bzw. 3,4,6 schwerer

folgt 1 od. 2 leichter oder 6 schwerer

3) 1 vs 2

falls 1 leichter ——> 1 leichter q.e.d.

falls 2 leichter ——> 2 leichter q.e.d.

falls 1 = 2 ——> 6 schwerer q.e.d.

falls 1,2,5 schwerer bzw. 3,4,6, leichter

folgt 5 schwerer oder 3 od. 4 leichter

3) 3 vs 4

falls 3 leichter ——> 3 leichter q.e.d.

falls 4 leichter ——> 4 leichter q.e.d.

falls 3 = 4 ——> 5 schwerer q.e.d.


falls 1,2,5 = 3,4,6

folgt 7 oder 8 schwerer

3) 7 vs 8

7 schwerer q.e.d.

8 schwerer q.e.d.

falls 1,2,3,4 = 5,6,7,8

folgt 9, 10, 11, 12 leichter oder schwerer


2) 9,10,11 vs x,x,x

falls 9, 10, 11 leichter

3) 9 vs 10

falls 9 leichter ——> 9 leichter q.e.d.

falls 10 leichter ——> 10 leichter q.e.d.

falls 9 = 10 ——> 11 leichter q.e.d.

falls 9, 10, 11 schwerer

3 ) 9 vs 10

falls 9 schwerer ——> 9 schwerer q.e.d.

falls 10 schwerer ——> 10 schwerer q.e.d.

falls 9 = 10 ——> 11 schwerer q.e.d.

falls 9,10, 11 = x,x,x

12 leichter oder schwerer

3) 12 vs x

falls 12 schwerer ——> 12 schwerer q.e.d.

falls 12 leichter ——> 12 leichter q.e.d.

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cvk2 19.12.2017, 15:11
77. ein statischer Lösungsansatz

statisch := wir legen vor dem Wiegen fest, wie wir wiegen werden.
Kurze Vorbetrachtung: Es gibt 24 (nicht 12!) mögliche Lösungen, 3 Wägungen a 3 Ausgänge ergibt 27 verschiedene Ergebnisse
Erste Wägung, o.B.d.A Bezeichnung

abcd efgh / ijkl

zweite Wägung:

aeij bfgl / cdhk

dritte Wägung:

igcb jfdk / lahe

Man betrachte alle möglichen Lösungen, a+, a-, b+, b- ..., für jede mögliche Lösung unterscheidet sich die Sequenz, z.B. für a+: LL=

Herleitung: Wägung 1 ist naheliegend, d.h. wir bezeichnen einfach die Kugeln so
jedes Ergebnis von Wägung 1 schließt 16 von 24 Ergebnissen aus.
mögliche verbleibende Ergebnisse:
=: i+i-j+j-k+k-l+l-
/:a+b+c+d+e-f-g-h-
\:a-b-c-d-e+f+g+h+

Für die zweite Wägung ist es recht intuitiv wie folgt zu tauschen:
3 neue rein (2 davon links, 1 rechts), 2 links-rechts tauschen
wir werden sehen, daß wir damit dann die dritte Wägung konstruieren können.

Wenn man jetzt den Entscheidungsbaum aufmalt (Präfix ist erste Wägung), mögliche Lösungen:
==: k+k-
=/: i+j+l-
=\: i-j-l+
/=: c+d+h-
//: a+f-g-
/\: b+e-
\=: c-d-h+
\/: b-e+
\\: a-f+g+

Man beachte, daß zwei der Teilbäume sich ähneln, nur Vorzeichen gespiegelt.

Es macht Sinn, diese Gruppen wie folgt aufzuteilen, um sie unterscheiden zu können:
x+x- => x auf eine Seite
x+y+z- oder x-y-z+ => x und y auf verschiedene Seiten, z raus
x+y- => x auf eine Seite, y raus

Angewendet auf i+j+l- bzw. i-j-l+:

i j / l

dann afg:

ig jf / la

dann cdh:

igc jfd / lah

dann be:

igcb jfd / lahe

dann k

igcb jfdk / lahe

Fertig!

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nessaalk 19.12.2017, 16:51
78. Chapeau! @cvk2

Zitat von cvk2
statisch := wir legen vor dem Wiegen fest, wie wir wiegen werden. Kurze Vorbetrachtung: Es gibt 24 (nicht 12!) mögliche Lösungen, 3 Wägungen a 3 Ausgänge ergibt 27 verschiedene Ergebnisse ...
..das ist beeindruckend, dass man vorher festlegen kann, welche Wägungen man machen wird. Wenn das so stimmt (ich bin nicht durch alle Verästelungen hindurch gewandert) dann wäre es auch egal, in welcher Reihenfolge Sie die drei Wägungen machen, oder? Damit haben Sie einem ziemlich alten Problem eine ziemlich neue Lösungsvariante hinzugefügt.

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Vertauscher 19.12.2017, 17:28
79.

Hier eine kompakte Lösungsanleitung unter der Annahme, daß es eine entweder abweichend leichte Kugel L oder eine abweichend schwere Kugel S gibt. Die anderen 11 sind normale Kugeln N. Zunächst liegen 12 unbekannte Kugeln X vor.

1. Wägung: 6 X links und 6 X rechts. Ergebnis: Wir kennen nun 6 X welche oben liegen (o). Diese Kugeln enthalten 0 oder 1 leichte Kugel L. Entsprechend kennen wir 6 X die unten liegen (u)
und 1 oder 0 schwere Kugeln S enthalten.

2. Wägung: 2 X u und 2 X o werden entnommen. Zusätzlich werden 2 der verbliebenen 4 o-Kugeln gegen zwei der verbliebenen 4 u-Kugeln
getauscht. Im Gleichgewichtsfall verbleiben die 2 entnommenen u- bzw. o- Paare im Spiel. Wenn sich die Lage der Schalen nicht verändert, so waren die Tauschpartner gleich schwer und sind als N-Kugeln aus dem Spiel. Die beiden nicht bewegten Kugelpaare 2 X o und 2 X u verbleiben im Spiel. Ändert sich die Lage der Wagschalen so waren daran die bewegten Kugelpaare schuld und verbleiben als 2 X o und 2 X u im Spiel.

3. Wägung: In jeden der Fälle stehen für die dritte Wägung 2 Kugelpaare zur Verfügung - Von 2 X o wissen wir, dass hier 0 oder 1 Kugel L enthalten ist. Von 2 X u wissen wir, dass hier 1 oder 0 Kugeln S enthalten sein muss.
Wir tauschen nun eine bekannte Kugel N gegen eine X o und die andere X o gegen eine X u und starten die Wägung.
Im Gleichgewichtsfall ist die entnommene Kugel X o eine leichte Kugel L, da sie von oben entnommen wurde. Wenn die Position der Wagschalen unverändert bleibt, so waren die Tauschpartner gleich schwer und sind als erkannte N aus dem Spiel. Es verbleibt eine unbekannte Kugel X u und die muss eine schwere Kugel S sein da die andere Kugel oben ja eine bekannte N war. Ändert sich aber die Position der Wage so mus von ehemals unten eine schwere Kugel noch oben getauscht worden sein. Mithin liegt nun unten die Kugel N neben der nun identifizierten Kugel S. qed.

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