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Rätsel der Woche Bühne frei für Rechenkünstler

Fünf Zahlen stehen an der Tafel. Alle sind zehnstellig. Aber nur eine davon ist die vierte Potenz einer natürlichen Zahl. Welche?
Foto: DER SPIEGEL

Bei einer Quizshow muss eine Kandidatin eine komplizierte Rechenaufgabe lösen. Sie bekommt dafür nur eine Minute Zeit. Der Showmaster erklärt ihr kurz, was zu tun ist:

»Wir zeigen dir gleich eine Tafel mit fünf zehnstelligen Zahlen. Nur eine davon ist die vierte Potenz einer natürlichen Zahl. Da hast eine Minute Zeit, diese zu finden! Hilfsmittel wie ein Taschenrechner sind leider nicht erlaubt.«

»Hmm«, sagt die Frau, »wie soll ich das anstellen?« Der Quizmaster antwortet: »Das weiß ich leider auch nicht. Aber dir bleiben noch fünf Minuten, dir etwas zu überlegen. Solange dauert die Werbepause. Wenn sie vorbei ist, wird die Tafel auf die Bühne gerollt.«

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Die Frau grübelt und grübelt – und hat dann offenbar eine Idee. Als ihr nach der Werbepause die fünf zehnstelligen Zahlen gezeigt werden, hat sie schon nach zehn Sekunden diejenige gefunden, die die vierte Potenz einer natürlichen Zahl ist. Wie hat sie das gemacht?

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Die Lösung lautet C).

Der Trick besteht darin, zunächst nur auf die Einerstellen der fünf Zahlen zu schauen.

Die vierte Potenz einer geraden natürlichen Zahl endet immer auf die Zahl 6. Das sieht man sofort, wenn man die zu potenzierende Zahl in der Form 10a + b schreibt. Über die Einerstelle von (10a + b)4 entscheidet allein die Einerstelle von b4. In allen anderen Summanden tritt als Faktor die 10 auf. Denn es gilt: (10a + b)4 = 10000a4 + 4000a3b + 600a2b2 + 40ab3 + b4)

Weil sowohl 24, 44, 64 und 84 auf 6 enden, gilt das auch für die vierte Potenz jeder beliebigen geraden natürlichen Zahl.

Auf gleiche Weise finden wir heraus, dass die vierte Potenz von Zahlen, die auf 1, 3, 7, 9 enden, als Einerstelle eine 1 haben muss. Endet eine Zahl auf 5, gilt das auch für ihre vierte Potenz. Endet sie auf 0, steht auch eine 0 an letzter Stelle der vierten Potenz.

Wir fassen zusammen: Die vierte Potenz einer natürlichen Zahl endet auf 0, 1, 5 oder 6. Damit fallen die Zahlen B), D) und E) schon mal heraus.

Es kommen also nur noch zwei Zahlen als Lösung in Frage: A) und C). Nun hilft eine weitere Besonderheit: Die vierte Potenz einer geraden Zahl ist stets durch 16 teilbar, denn es gilt:

(2a)4 = 24a4 = 16a4

Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn ihre letzten vier Ziffern durch 16 teilbar Zahl sind. Denn Vielfache von 10.000 sind stets durch 16 teilbar.

Durch 16 teilbar ist jedoch nur die Zahl C). Ihre letzten vier Ziffern lauten 8016. Bei A) sind nur die letzten drei Ziffern relevant, und 826 ist nicht durch 16 teilbar.

Daher kann die Lösung nur C) lauten. Tatsächlich gilt:

2524 = 4.032.758.016

Vielen Dank an den Leser Thomas Grimm, der dieses Rätsel vorgeschlagen hat.

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